leetcode - [栈] -柱状图中的最大矩形（84）

1、问题描述

给定n个非负整数，用来表示柱状图中每个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为1.
求柱状图中能勾勒出的最大面积。

2、解题思路

方法1：暴力法。在柱子$i$和柱子$j$构成的区间中，最大的矩形面积为区间长度*区间内最矮柱子的高度，即 ( j − i + 1 ) × m i n { h e i g h t } (j-i+1) \times min\{height\} (j−i+1)×min{height}，因此我们可以枚举所有的区间，然后找到每个区间的最小值，并计算该区间内最大矩形的面积。最后这些面积中选择最大的那个。
这种方法的时间复杂度为$O(n^3)$。枚举所有的区间需要$O(n^2)$的时间复杂度，在区间中寻找最小值需要$O(n)$的时间复杂度。空间复杂度为$O(1)$。

方法2：暴力法的优化。对于每个区间，上述暴力法都会扫描一遍以找到最小值，但其实这不是必须的，比如对于$[2,0,1]$和$[2,0,1,3]$这两个区间，由于后一个区间包含前一个区间，故后一个区间的最小值很有可能和前一个区间相等，因此在求后一个区间的最小值时，只需将后一个区间拓展的元素和前一个区间的最小值比较，如果小于则更新该区间的最小值。
这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(1)$。

方法3：单调栈。我们可以换个角度来看这个问题。以$[1,2,4,5,3]$为例：
对于高度为4的柱子而言，如何计算以4为高度的矩形的最大面积？
很显然，我们需要找到柱子4的左、右边界。然后计算它的高度与左右边界形成的区间的乘积。
什么是它的左右边界? 左边第一个高度小于它的柱子就是它的左边界，右边第一个高度大于它的柱子就是它的右边界。
像这种涉及$nextgreater$、$nextsmaller$的问题，都可以使用单调栈来解决。维持一个单调递增栈，对于栈顶元素$height[s(top)]$，次栈顶元素即为它的左边界（即左边第一个小于它的元素），如果当前遍历元素$height[current]$大于栈顶元素，那么当前元素即为它的左边界，这时可以求得以栈顶元素作为高的矩形最大面积为：
$$area=height[s(top)]\times (current-s(top-1)-1)$$
注意，当遍历完最后一个元素时，
对于栈中剩下的每个元素，以其为高构成的最大矩形面积为：
$$area=height[s(top)]\times (height.length-s(top-1)-1)$$
对于该算法的动态演化过程，可参考：
这种方法的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(n)$.

3、代码实现

class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
        int len = heights.size();
        int maxarea = 0;
        stack<int> s;
        s.push(-1);
        for(int i = 0; i < len; i++){
            while(s.top() != -1 && heights[i] < heights[s.top()]){
                int top = s.top();
                s.pop();
                maxarea = max(maxarea, heights[top] * (i - s.top() - 1));
            }
            s.push(i);
        }
        while(s.top() != -1){
            int top = s.top();
            s.pop();
            maxarea = max(maxarea, heights[top] * (len - s.top() - 1));
        }
        return maxarea;
        
    }
};