量子力学试卷A(2007级)

武汉理工大学考试试题纸（ A卷） 课程名称 量子力学 题号 一 题分 15 二 20 三 15 四 50 五 六 七 专业班级 电子0701－03 八 九 十 总分 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、 选择题（只有一个正确答案，每题3分，共15分） 1、设波函数xAe1/22x2，为常数，则归一化常数A为 （ ） 2（A） 1/2 （B） 21/2 （C） 1/4221/41/4 （D）  1/41/22、设粒子归一化波函数为x,y,z，则在x,xdx范围内找到粒子的几率为（ ） （A）dy （B）2 （C）dydzdx （D）2dydzdx dxdz223、角动量分量对易关系式正确的是（ ） ˆ,LˆiLˆ （B）Lˆ,LˆiLˆ （C）Lˆ,LˆLˆ （D）Lˆ,Lˆ0 （A）Lxyzxyyxyzxy4、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来， 这称为（ ） （A）受激辐射 （B）自发和受激吸收 （C）光的吸收 （D）自发辐射 5、电子气的按能量分布的态密度与能级E关系正确的是（ ） （A）正比于E （B）正比于E （C）反比于E （D）反比于E 二、填空题 (每空2分，共20分） 1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数r，一般要求波函数满足三个条件即 （1） ；（2） ；（3）连续的。 2、根据态叠加原理的要求，表示力学量的算符必须是 ；又因为力学量 是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是 。 3、与体系的Hamilton量对易的不显含时间的力学量，称为守恒量，其 和 在体系的任何态下，都不随时间变化。 4、在氢原子中，如果波函数用nlm表示，那么n＝2时，有 个波函数与这个能级对应， 它们分别是 。  5、Hartree自洽场理论把原子中的电子受到的作用用 来近似代替，在此近似下， 原子基态波函数可表示为各电子波函数之 。 三、证明题（共15分，要有详细证明步骤，否则不给分） 1i1iˆˆ和aˆˆ，对于一维谐振子，证明： xpxp已知a22ˆ（1）a,a1 （2）aa,aa aa,aa（3）Haa2 1四、计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分,要求有具体计算步骤） 1、 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： x4xxsincos2 aaa描述,求 (1) 粒子能量的可能测量值及其相应的几率; (2)处于这种状态下粒子的能量平均值; (3) 粒子随时间变化的波函数为x,t （15分） 2、（1）在z表象中，求n的本征态，已知nsincosexsinsineycosez ˆz本征态1/2下，求n的可能测值及相应的几率。 （15分） （2）在sˆ的矩阵为： 3、设在H0表象中，HE1(0) H0b*0(0)E2a*baE3(0)(0)(0)E1(0)E2E3(1) （10分） 试用微扰论求能量的二级修正。（提示：先找到H0和微扰H） 4、设质量为，荷电为q的带电粒子在相互垂直的均匀电场和磁场中运动，设电场沿y轴方向即E0,,0，磁场沿z轴方向即B0,0,B，矢势ABy,0,0 （1）写出运动粒子的哈密顿算符 ˆ和Pˆ为守恒量，写出它们的本征值和本征函数 （2）证明：Pxz （3）写出守恒量完全集 （10分） 武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）

1. 单值的，平方可积的 2. 线性算符，厄米算符 3. 平均值 几率分布

4. 4 200，211，210，211 5. 平均场 积

三、 证明题（共15分）

证明：（1）

11iiˆˆ,ˆˆxpxpa,a221i11i1iiˆˆˆˆˆˆˆˆx,xx,pp,xp,p 2222iiˆ,pˆpˆ,xˆ1x22ˆ,pˆi （6分） 其中利益xaa,aaa,aa,aaaaa,aaa,aa,aaa （2） （4分） ˆ（3）可以求得：x12aˆa piaa系统Hamilton为 2222ˆp1111ˆˆ2aaaaH2x22222111aaaa2aa1aa222 （5分）

四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）

1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是nx2nx （2分） sinaa 利用三角函数积化和、差，将x改写 x4xx2x2xsincos2 sin1cosaaaaaa 1axx2x12sin2sincosaaaa3xx sinsinaa12x23x1sinsin 1x3x （4分） aaaa22 x是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在1x2x sinaa122 出现几率为，能量为E1

22ma2192223x 部分处在3x，出现几率为，能量为E3 （2分） sin222maaa(2)处于这种状态下粒子的能量平均值

11522EE1E3 （3分）

222ma2 （3）粒子随时间变化的波函数为 x,tii912x2ma2t123x2ma2tsin （4分） easinaeaa2222CnneiEnt 2、解：（1）在z表象中，x010i10 yz （3分） 10i001cos nxnxynyznzisinecosisinesinei，其本征方程为

cossineiaacossineia0 icosbcosbbsinecossinei有非零解的条件为

sineicos01 （4分）

cos/2 isin/2esin/2 （2分） icos/2e当1时，对应的本征态为1当1时，对应的本征态为2ˆz本征态1/2下，n的可能测值为1 （2）在s故n的可能测值为1的几率为

11/221cos/2,sin/2eicos2/2 （3分）

0i1sin/2,cos/2esin2/2 （3分）

022故n的可能测值为1的几率为

21/22 3、解：微扰算符的的矩阵是

'H11' H'H21'H31'H12'H22'H32'0H130'H23'H33b00aba （1） 0根据无简并微扰论，一级能量修正量是： Hkk

从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量

E1(0)(0)(0)E2E30 （2分）

2(0)又二级能量公式是： Ek(2)nnk'HnkEk(0)En （2分）

'所需的矩阵元Hnk已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：

E1(2)nHE(0)1'2n1(0)nE2HE(0)1'221(0)2E2HE(0)1'231(0)3E2bE(0)12(0)3Ea2（2分）

E2(2)Enn'Hn2(0)2(0)En'2n3(0)n'H12(0)E3E1(0)'H32(0)E2E1(0)(0)(0)E2E3 （2分）

E3(2)HE(0)3EHE(0)3'223(0)2EHE(0)3'213(0)1EbE(0)32(0)1EaE(0)32(0)2E （2分）

21qˆˆ4．解：（1）利用HPAq可得系统的哈密顿量为

2c22221q1qqqˆˆˆˆˆHPAqPAPAPAxxyzqyyz2c2ccc

12q22ˆˆˆPxByPyPzqyc2 （4分）

（2）证明：

21q22ˆˆˆˆˆˆH,PxPxByPyPzqy,Pxc2

1ˆqˆ1ˆ2ˆ1ˆ2ˆˆ0Pz,Pxqy,PPBy,PP,Pxyxxx2c222

21q22ˆˆˆˆˆˆH,PzPxByPyPzqy,Pzc21ˆqˆ1ˆ2ˆ1ˆ2ˆˆ0Py,PzPz,Pzqy,PPxBy,Pzz22c21eipxx/，本征值为px 22

ˆ的本征函数为Px Pxxˆ的本征函数为Px Pzz1eipzz/，本征值为pz （4分） 2ˆ,Pˆ,Pˆ （2分） （3）选守恒量完全集为Hxz