初始挠度及中间弹性支撑对压杆稳定的影响分析
张晓霞1,2，钟文生1，姚远1
【摘 要】摘要：实际工程结构中的细长杆受压时，当存在初始挠度及中间弹性支撑时，不能用经典的欧拉公式计算杆件的屈曲临界载荷。利用有限元软件ANSYS对实际工程结构进行非线性屈曲分析，能够考虑到杆件的初始挠度以及中间弹性支撑对临界失稳载荷的影响。计算结果表明：机车径向转向架耦合杆初始挠度为10 mm时，对应的临界失稳载荷相对欧拉公式计算结果减小7%；若采用中间弹性支撑时，大大提高了杆件的轴向承载能力，临界失稳载为原方案的2.8倍。 【期刊名称】机械
【年(卷),期】2011(038)006 【总页数】4
【关键词】屈曲分析；压杆稳定；初始挠度；中间弹性支撑；ANSYS
实际工程结构中的细长杆受压时，由于受到重力或者结构横向振动的缘故时，细长杆存在横向挠度。横向挠度对杆件的屈曲临界载荷有影响，当横向初始挠度达到一定值时，临界载荷可能影响比较大，若用传统欧拉公式计算失稳载荷偏大，给工程应用带来风险。对于细长杆件，通过中间施加弹性支撑时，增加了杆件的屈曲稳定性，采用传统欧拉公式不能解决此类问题。另外，当杆件施加中间弹性支撑时，屈曲临界载荷增大，反而有可能大于材料局部发生塑性变形对应载荷，所以需要考虑到材料的弹塑性，而用线性的有限元方法计算的稳定临界载荷偏大。
本文利用有限元软件ANSYS对某型机车径向耦合杆进行，考虑到实际机车运
行过程中，耦合杆振动而存在初始挠度的情况，另外也考虑到机车径向耦合杆采用中间弹性支撑的方式，对实际服役环境的结构进行临界稳定载荷计算。
1 压杆稳定原理
工程结构或构件在荷载作用下，往往处于某种静力平衡状态，若在任意微小外界扰动下，将偏离其平衡位置；当外界扰动除去之后，如果仍能自动回复到原来位置，则原来的平衡是稳定的；如果外界扰动除去之后不能回复到原来的平衡位置，则原来的状态是不稳定的。从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态为临界状态。
对于压杆稳定问题可以分为两种，第一类为分支点失稳，也就是通所说的线性失稳，可以通过欧拉公式计算出临界失稳载荷；第二类为极值点失稳，指构件在失稳之前受压一侧一般已存在塑性变形，失稳的发生是塑性发展到一定程度时杆件丧失承载能力的结果。这类问题同时考虑材料和几何非线性，通过计算机数值分析，得出近似的稳定极限载荷[1]。
2 有限元线性及理论公式计算
对于线弹性问题，由最小总势能原理可以推导出一般有限元方程[2]： 式中：KE为结构的弹性刚度矩阵；δ为位移向量；F为外载向量。
研究屈曲时，结构中现存的内力对弯曲刚度的影响用几何刚度矩阵Kσ表示，于是研究屈曲的平衡方程为：
式中：Kσ与材料的弹性性质无关，只依赖于单元的几何形状、位移和应力状态，引入表示屈曲时随遇平衡的虚位移，且已经假设结构在弹性范围内，因此可以推导出：
式中：λ为初始外力P0增加的倍数。
对于某些λ值，可使式（3）有非零解，此时的λ即为式（3）的特征值，而初始外力乘上λ即为屈曲时的临界载荷。
根据欧拉公式计算临界载荷，对两端铰支杆件：
非线性计算方法为，给牵引杆初始变形（一阶模态乘以小的系数），在杆件的一端施加逐渐增大截荷，得出中间横向变形量最大节点位移载荷曲线。当载荷达到一定数值后，结构发生屈服变形，这时即使外力不增加，结构变形也不断增加，直至破坏。这种失稳形式通常是发生在具有初始缺陷的结构中，可以通过载荷变形曲线得到极值点来判断结构的临界载荷。
由于非线性计算发生了塑性变性，需要根据弹塑性曲线定义材料属性。本文采用双线性弹塑性模型来考虑材料的性能，材料应力超过塑性形变应力值后，材料切线模量为其弹性模量的1/10。
3 初始挠度对压杆稳定的影响
本文针对某机车径向转向架径向机构中的耦合杆件，其杆长为6950 mm，截面如图1所示。假设牵引杆为两端铰支，如图2，A端施加X、Y、Z三向位移和绕X轴方向约束，B端施加Y、Z方向约束，和X方向载荷。此耦合杆为细长杆结构，其一阶弯曲频率为4 Hz，在机车实际运行过程中，容易发生Y向和Z向的颤振。当横向振幅较大时，需要对耦合杆件进行屈曲稳定性进行分析。如图2所示，δi为初始横向挠度，为具有初始挠度杆件的压杆稳定问题。 利用梁单元建立有限元模型，采用非线性有限元方法进行分析计算。给耦合杆初始变形，即杆件一阶模态乘以一系数，在耦合杆的一端施加逐渐增大载荷，得出中间横向位移对应施加载荷的曲线。在杆件失稳前，随着载荷的增加，中间节点横向位移很小，呈线性关系。当载荷增大到一定程度时，中间横向位移
突然增加。当继续增大载荷时，杆中部位移横向位移增加很大，杆件发生失稳。杆件过大的挠度引起材料局部发生塑性形变，杆件所能承受的载荷急剧下降。 图3为不同初始挠度对应的压力横向位移曲线，可以看出，初始挠度对压杆的临界稳定载荷影响很大。初始挠度为1 mm时，当压杆的最大横向位移增大到20 mm时，压杆承受到的载荷不能再增加，压杆很容易失稳。图4为不同初始挠度对应的临界稳定载荷，结果如表1所示。
当初始挠度为0 mm时，可利用欧拉公式计算线性临界稳定载荷。不同初始挠度对应的失稳载荷分别同线性失稳载荷比较，利用百分数来表示初始挠度对临界稳定载荷的影响量。
4 中间弹性支撑对压杆稳定的影响
对于细长杆，若采用中间弹性支撑，则会大大增加压杆的稳定性，并改变了压杆的固有振动频率。如图5所示，C处位移受到弹性支撑的限制，杆失稳变形只能如图中虚线所示。利用梁单元BEAM 189和弹簧单元COMBIN 14建立带中间弹性支撑的压杆稳定计算有限元模型。对于耦合杆分别计算垂向中间支撑刚度为5e6、5e5 N/m的两种工况。通过非线性计算，计算结果如图6。 图6中横坐标为耦合杆中间形变量最大节点的横移，纵坐标为对应的轴向载荷。与图3不同的是，图3中当载荷增大到一定程度时，中间横向位移突然增加，杆件出现失稳，还能继续承载，直到局部材料发生塑性形变，杆件所能承受的载荷急剧下降。而图6中，当横向位移达到一定值时，轴向载承受荷急剧下降，原因是杆件未出现失稳而材料发生塑性形变承载能力急剧下降。图6中，当中间最大节点横移量为50 mm时，材料发生塑性变形，很快横移量增大而轴向载荷减小，最大轴向载荷即临界失稳载荷。两种支撑刚度对应的失稳载荷稍有
差别。中间支撑刚度越大，对应临界失稳载荷越大。不同支撑刚度对应临界失稳载荷及影响系数如表2所示。
可见，针对本文中的细长杆，若采用中间支撑方式，对应的临界失稳载荷为原结构的2.8倍左右，大大提高了杆件的轴向承载能力。
5 结论
（1）通过有限元方法可以对工程结构实际情况如初始挠度和中间支撑方式这类问题进行计算分析，从而为工程设计结构方案的确定提供必要的理论依据。 （2）通过比较分析，本文机车耦合杆初始挠度为10 mm时，对应的临界失稳载荷相对欧拉公式计算结果减小7%；若采用中间弹性支撑时，大大提高了杆件的轴向承载能力，临界失稳载为原方案的2.8倍。 参考文献：
[1]郭耀杰. 钢结构稳定设计[M]. 武汉：武汉大学出版社，2003.
[2]丁严闯，兆文忠，等. 屈曲分析在车辆应用中的关键技术[J]. 大连铁道学院学报，2003，（6）：46-49.
[3]张晓霞，姚远. 基于ANSYS机车牵引杆屈曲分析[J]. 机械，2008，35（7）：41-42.
基金项目：国家自然科学基金（51075339）；牵引动力国家重点实验室自由探索自主研究课题（2008TPL－T05）资助项目
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