n阶实对称矩阵反对称的基

对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在n个反对称向量v1, v2, ..., vn，使得A可以表示为：

A = v1⊗v1 + v2⊗v2 + ... + vn⊗vn

其中，⊗表示外积，那么称v1, v2, ..., vn为A的反对称基。 性质

1. 反对称基的维数

n阶实对称矩阵的反对称基的维数为n(n-1)/2。

2. 反对称基的正交性

反对称基的向量之间正交，即：

v_i^T v_j = 0, i ≠ j

3. 反对称基的完备性

反对称基的向量是完备的，即：

span{v1, v2, ..., vn} = R^n 构造方法

1. 利用特征值和特征向量

如果A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，特征向量为v1, v2, ..., vn，则可以构造出反对称基：

v_i = v_i - \\frac{v_i^T v_j}{v_j^T v_j} v_j, i > j

2. 利用格拉姆-施密特正交化

给定n个反对称向量v1, v2, ..., vn，可以利用格拉姆-施密特正交化方法构造出反对称基：

w_1 = v_1

w_2 = v_2 - \\frac{w_1^T v_2}{w_1^T w_1} w_1 ...

w_n = v_n - \\frac{w_1^T v_n}{w_1^T w_1} w_1 - \\frac{w_2^T v_n}{w_2^T w_2} w_2 - ... - \\frac{w_{n-1}^T v_n}{w_{n-1}^T w_{n-1}} w_{n-1}

应用

反对称基在许多领域都有应用，例如：

1. 矩阵分解

反对称基可以用于对实对称矩阵进行分解，如雅可比分解、谱分解等。

2. 求解线性方程组

反对称基可以用于求解线性方程组，如Cholesky分解法。

3. 优化问题

反对称基可以用于优化问题，如二次规划问题。

4. 信号处理

反对称基可以用于信号处理，如傅里叶变换。

5. 图像处理

反对称基可以用于图像处理，如图像压缩。