透析中考 中考数学新定义型 探析 …苴 焦 盛筻士墨 堂…煎堡泰 在近几年中考试题中频频出现这样一类题——新 定义问题．新定义问题主要考查学生的阅读理解能力、 自学能力以及接受新事物适应情况的能力．根据新定义 进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为 出现的新类型越之一，同时注恿分析循环的规律． 二、新定义运算 例２对于两个不相等的实数ｏ、ｂ，定义一种新的 运算如下，。｝ｂ： ｎ（。＋ｂ＞０）， 那么６ （５ ４）＝ 近年来中考数学压轴题的新亮点．解决这类问题的关键 一—Ｏ 是掌握问题原型的特点及其 题解决的思想方法；二 如：３ ２＝丁３￣Ｙ ￣－Ｙ： ，是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想 方法的迁移． 一分析本题需先根据已知条件求出５ ４的值，再 、新定义数 求出６ （５ ４）的值即可求出结果． 例１定义：ｏ是不为１的 理数，我们把 ～称为 ｌ—ｒ上 解‘． ４＝篱：３ ・．．。的差倒数・如：２的差倒数是ｒ 一１，一１的差倒数 ６ ＝６ ３：暑＝１， 足 ＝ 已知口 ＝一｛一，口ｚ是口ｔ的差倒数， ， 评注本题主要考查了实数的运算，在解题时要先 是ｎ 的差倒数，ｎ 是 的差倒牧，…，依此类推，ｏ： ： 明确新的运算表示的含义是本题的关键． 三、新定义点或线 分析理解差倒数的概念．要根据定义去做．通过 例３定义：到凸四边形一 Ａ 计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．ｏ：： 一组对边距离相等，到另一组对边 距离也相等的点叫凸四边形的 上１１ ＋＿一三 ４ ．．＋。＋．．．＋．．．．。．。＋。．。．。＋。＋。．ｌ一。 ．．◆敢掌夫世界 。 ．６◆准内点．如图１，ＰＨ＝ＰＪ，ＰＩ＝ ＰＧ，则点Ｐ就是四边形ＡＢＣＤ 的准内点． （１）如图２，／＿ＡＦＤ与 ．．．．．．．．＋。＋。．。＋。＋。＋。＋。＋．＋．图１ 解根据差倒数定义可得： 去 毒…４ ＝ 一÷ 显然每三个循环一次，又２００９÷３＝６６９余２，故 。２㈣和Ⅱ２的值相等． 评注此类题型要严格根拊定义做，这也是近几年 ／＿ＤＥＣ的角平分线ＦＰ、ＥＰ相 交于点Ｐ．求证：点Ｐ是四边 形ＡＢＣＤ的准内点． 图２ Ｄ 评注 此题是一道新定 ；。＋。．。．。．。＋。．。．。．。＋。．。＋。＋。．。＋。．。＋。．。＋。．。＋。＋． Ｇ Ａ 敢攀大世界 。 ． 企 ．＋。．。＋。＋。＋。．。＋。＋。＋。．。＋。＋。．义探索性题目，考查了对新信 息的理解与应用能力，同时考 图３ 图４ 查了三角形及四边形的性质． Ｃ （２）分别画出图３平行四边形和图４梯形的准内 点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （３）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或 “假”． 四、类比定义 图４ 例４通过学习三角函数，我们知道在直角三角形 中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定， 因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以 ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ） 在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰 三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ｓａｄ）如图①在 ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，顶角Ａ的正对 ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ⑧若Ｐ是任意凸四边形ＡＢＣＤ的准内点，则ＰＡ＋ ＰＢ＝ＰＣ＋ＰＤ或ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＤ．（ 分析） （１）过点尸作ＰＧ＿ＬＡＢ，朋上ＢＣ，ＰＩ上ＣＤ，ＰＪ 记作ｓａｄＡ，这时ｓａｄＡ＝ ＝鬈． 容易知道一个角的大小与这个角 的正对值也是相互唯一确定的．根Ｂ 据上述角的正对定义，解下列问 题：（１）ｓａｄ６０。上ＡＤ，由角平分线的性质可知ＰＪ＝ＰＨ，ＰＧ：ＰＩ； （２）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的 准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点， 即为梯形的准内点； ． （３）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线 交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时， 可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点 即为准内点． （２）对于０。＜Ａ＜１８０。， Ａ的正对值ｓａｄＡ的取值 范围是——． （３）如图②，已知ｓｉｎＡ＝ ÷，其中厶４为锐角，试求 ｓａｄＡ的值． 解 （１）如图２，过点Ｐ作ＰＧ上ＡＢ，ＰＨ上ＢＣ，ＰＩ上 ＣＤ．ＰＪ上ＡＤ ‘．‘４．解：（１）根据正对定ｃ 图② Ａ ＥＰ平分／ＤＥＣ，．‘．ＰＪ＝ＰＨ． Ｄ 义，当顶角为６０。时，等腰三角形底角为６０。， 同理ＰＧ＝ＰＩ．．‘．Ｐ是四边 形ＡＢＣＤ的准内点． （２）平行四边形对角线Ｂ ＡＣ、ＢＤ的交点Ｐ１就是准内 点，如图３（１）．或者取平行四 边形两对边中点连线的交点 Ｐｔ就是准内点，如图３（２）；梯Ｂ 图３（１１ 则三角形为等边三角形，则ｓ。栅。：÷＝１．故答案 为１． （２）当 Ａ接近０。时，ｓａｄａ接近０， 当 Ａ接近１８０。时，等 腰三角形的底接近于腰的二 倍，故ｓａｄａ接近２． 图３（２】 形两腰夹角的平分线与梯形 中位线的交点Ｐ 就是准内点． 如图４． 于是ｓａｄＡ的取值范围 是０＜ｓａｄＡ＜２． ０ 日 故答案为０＜ｓａｄＡ＜２． （３）真；真；假． （３）如图，￣ｆ：ＡＡＢＣ ，Ｚ＿ＡＣＢ＝９０￣￣Ｓｉｎ ，４：了３在 ．ＡＢ 上取点 ，便ＡＤ＝ＡＣ， 评注本题以学生熟知的三角函数定义进行引申 作ＤＨＺＡＣ，Ｈ为垂足，令ＢＣ＝３ｋ，ＡＢ＝５ｋ，则ＡＤ＝ 或类比，从而引出等腰三角形顶角的正对的定义．在解 ＡＣ＝ ＝４ｋ， 题时根据定义构造以 Ａ为顶角的等腰三角形是解题 Ｖ．．：Ｉ￣－ＡＡＤＨ ｄｐ，ＬＡＨＤ＝９０＇，ｓｉｎ Ａ＝÷ 关键． ．由以上几例可知，新定义问题并不神秘，表面上是 ．．．ＤＨ：ＡＤｓｉｎＬＡ： ， 我们没有见过的问题，但只要理解了新定义并紧扣新定 、 义，就可将其转化为我们熟悉的问题．当然这一转化过 Ａ日： ：１６￣５ ｋ，￣ＡＣＤＨ￣ｐ， 程中学生的三基（基本知识、基本能力、基本方法）起决 ＣＨ＝ＡＣ－Ａ ＝争，ＣＤ： ＝－４￣－－ｋ． 定性作用．若三基不牢固、扎实，则解任何问题都是空中 楼阁．归根到底，不管中考试题如何变化，如何推陈出 于是在△ ｃＤ中，ＡＤ＝ＡＣ＝ ４ ，ＣＤ＝－４￣－ｋ．由正 新，其宗旨都是考查学生的“三基”．因此，三基才是解题 的根本，不管是平时的学习还是总复习都应重视三基的 对的定义可得：ｓ ＝ ＝ 训练． （上接２６页） 方式平移后得到的Ｂ 的坐标 －７ Ａ． 轴正半轴上 Ｂ 轴负半轴上 是（６，４）． ＿ ＿ Ｃ．Ｙ轴正半轴上Ｄ Ｙ轴负半轴上 例３ 如图２所示，在平 － （３）在平面直角坐标系内，点Ａ（ｍ，１一ｍ）一定不在 面直角坐标系中，点Ａ、Ｂ、Ｃ的 Ｃ ０ 一Ａ ， （ ）． 坐标分别为（１，０）、（０，１）、（一 － Ａ．第一象限 Ｂ第二象限 １，０）．一个电动玩具从坐标原 Ｃ．第三象限 Ｄ第四象限 点出发，第一次跳跃到点Ｐ。， ５．学会应用 使得点Ｐ 与点０关于点Ａ成中心对称；第二次跳跃到 例１ 在平面直角坐标系中，点Ａ（２，一３）在第 点Ｐ２，使得点Ｐ２与点Ｐ 关于点Ｂ成中心对称；第三次 （ ）象限． 跳跃到点Ｐ３，使得点Ｐ］与点Ｐ ，关于点Ｃ成中心对称； Ａ．一 Ｂ二 第四次跳跃到点Ｐ４，使得点Ｐ４与点 关于点Ａ成中心 Ｃ．三Ｄ四 对称；第五次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点Ｂ 析解在平面直角坐标系ｒ｝ｔ，点的横、纵坐标共同 成中心对称．．．…・．照此规律重复下去，则点Ｐ ，的坐标 决定点所在的象限，第一、二、三、四象限内点的符号特 ＋。＋。．。．。．。＋。．．．为 Ａ ． 征分别为（＋，＋）、（一，＋）、（一，一）、（＋，一）．故应选 解析致学大世界 。 －如图３所示，电动 ６．．－ ．．。．。．。＋。＋。＋ ＋。＋。．．．。‘， Ｄ． 玩具经过六次跳跃构成一个循 ＿ Ｐ２ ．２ Ｐ４ 例２在平面直角坐标系ｑ・，线段ＡＢ的两个端点 环，因为２０１３÷６＝３３５余３，故 ．● 口 Ｐ６● 的坐标分别为Ａ（一２，１）、Ｂ（１，３）．将线段ＡＢ经过平移 点Ｐ ，的坐标与点Ｐ３的坐标 Ｊ ｌ ｌ ｌ ｌ ～ Ｃ ．Ａ Ｐｌ ３ 后得到线段Ａ 曰 ，若点Ａ的对应点为Ａ （３，２），则点曰 相同，为（０，一２）． Ｐ３ 的对应点日 的坐标是——一 析解将点Ａ（一２，１）向右 移５个单位再向上平 移１个单位，得到点Ａ （３，２），所以点Ｂ（１，３）也经过此 ＋．
