矩阵分析课后习题解答(整理版)

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）

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（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）

1.9.利用子空间定义，R(A)是Cm的非空子集，即验证R(A)对Cm满足

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加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。

1.11.dimR(A)rankA,dimN(A)nrankA（解空间的维数）

TXX(0,0,1,0,0,)i,jn)1.13.提示：设A(aij)n（，分别令(其中1in位于Xi的第i行），代入XTAX0，得aii0；令，代入XXij(0,0,1,0,01,0,0)T（其中1位于Xij的第i行和第j行）

XTAX0，得aiiaijajiajj0，由于aiiajj0，则aijaji0，故

ATA，即A为反对称阵。若X是n维复列向量，同样有aii0，

再令XXij(0,0,i,0,0,1,0,)T(其中i位于Xij的第i行，1aijaji0，

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位于Xij的第j行），代入XHAX0，得aiiajji(ajiaij)0，由于

aiiajj0，ajiaij，则aijaji0，故A0

1.14.AB是Hermite矩阵，则(AB)HBHAHBAAB

AAHAAH,C1.15.存在性：令B，ABC，其中A为任意复矩22阵，可验证BHB,CHC

唯一性：假设AB1CHH1，B1B1,C1C1，且B1B,C1C，AHBHHBAAHAAH1C11C1，得B12B,C12C（矛盾)

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由

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第二章 酉空间和酉变换

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（注意实空间与复空间部分性质的区别）

2.8 法二：设ei(e1,e2,en)(0,0,1,0,0)(e1,e2,en)X（1在第i行）；

T~ej(e1,e2,en)(0,0,1,0,0)(e1,e2,en)Y（1在第j行）

T~1ij根据此题内积定义 （ei,ej)YX0ij~H~故e1,e2,en是V的一个标准正交基。

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（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为(X,Y)YHX）

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2.15 先求得C使CHAC，假设PCB，使PHAPI，则有(BBH)1，依次式求得B，进而求得P。(此方法不一定正确）

（1，2，3）2.16 将进行列变换化为阶梯型知可取1，2为其中两个

T（0,0,1,0）,4(0,0,0,1)T，化标准正交基略。 基，另两个基可取32.17 略

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第二章 矩阵的分解

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1注：例2.9（1）中的Jordan标准型有误，J11，Jordan标1准型不唯一，各Jordan块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值对应的Jordan块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan块整体可以互换。

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3.7、3.8同3.1

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3.11 方法同上

3.12 由AkO知A的特征值全为0（x0,AxxAkxkx），则AI的特征值全为1，根据行列式与特征值的关系，则AI1

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3.27 略

3.29 见课本P67例3.17 3.30 见课本P69例3.19

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第三章 范数及其应用

4.12 （1）AFAmA2，AB2A2B2minA2BF,AFB2

2（2）nA2nmaxi(AHA)tr(AHA)AFA2AFAmnAm易证。

1221AFA2 n

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第七章 广义逆矩阵

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