中考数学专题探究-----面积问题(一)(含答案)

中考数学专题探究-----面积问题

面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

考点一：面积的函数关系式问题

典型例题：

1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线yx4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为

a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画

出该函数的图象．

y B D M B y B y O C A x O A 图12（2）

x O A 图12（3）

x

图12（1）

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（022∴S与a的函数的图象如下图所示：

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S 4· 2· S1Sa2（40a2)

20 · 2 12(a4)（2a4) 2· a4

2、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上

沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒． （1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP 的面

积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 解：

（1）过点C作CDAB，垂足为D． 则AD2，

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形， 即AMP B

Q C 3时，四边形MNQP是矩形， 2A M N

t3秒时，四边形MNQP是矩形． 23PMAMtan60°=3，

23S四边形MNQP3

2（2）1°当0t1时，

1S四边形MNQP(PMQN·)MN

21 3t3(t1)23t

C Q P B

3 2A M N

2°当1≤t≤2时

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P C

Q

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S四边形MNQP1(PMQN·)MN 213t3(3t)·1 233 23°当2t3时，

1S四边形MNQP(PMQN·)MN

21 3(3t)3(4t)273t3

2C P

Q A M N B 3、（2010年辽宁丹东）

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，．．

并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） y ↑ H（-8，0）

yOxA F H －8 O M D B N（-6，-4）M→ E C x N (－6，－4) （2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为yaxbxc，

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∵抛物线过点A（0，4），

∴c4．则抛物线关系式为yaxbx4． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

21a，36a6b44，4

解得a8b40．b3．2所求抛物线关系式为：y123xx4． 42（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．

∴S四边形EFGBS梯形ABCOS△AGFS△EOFS△BEC  1111OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

222211114（68）m(4m)m(8m)4m 2222 m28m28 （ 0＜m＜4）

∵S(m4)12． ∴当m4时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． （4）当m226时，GB=GF，当m2时，BE=BG．

4、如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： △ABC重叠部分．．．．（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是 秒； （3）求y与x之间的函数关系式．

解：（1）6．

（2）8．（3）①当0≤x3时，

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D P A Q （第28题）

B C 2资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

D Q3 P2 P1 E A O C P3 Q2

B

Q1

yS△APQ1311332AP··sin60·x·2x·x． 1AQ12222②当3≤x6时，

yS△APQ=121AP2?P2Q22

1AP2·CQ2·sin60213x·(12-2x·)22=32x33x. 2③当6≤x≤9时，设P3Q3与AC交于点O． (解法一)

过Q3作Q3E∥CB,则△CQ3E为等边三角形．

Q3ECECQ32x12.Q3E∥CB.△COP3∽△EOQ3OCCP3x61,OEEQ32x122

11OCCE(2x12),33

yS△AQP3S△ACP3-S△COP311CP3·AC·sin60°OC·CP3·sin60°2213113(x6)·6(2x12)(x6)． 222323273xx153． 62

（解法二）

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如右图，过点O作OFCP3于点F，OGCQ3，于点G, 过点P3作P3HDC交DC延长线于点H．

D G C H O A F Q3

ACBACD,

OFOG.又CP3x6,CQ3,2x122(x6),

P3

B

S△CQP312S△COQ3 S1△COP33S△CP3Q3,1132·CQ3·P3H

1312(2x12)(x6)·323(x6)26.又S△1ACP32CP·3AC·sin60° 12(x6)63233

2(x6).yS△AOP3

S△ACP3S△OCP333 2(x6)326(x6)36x2732x153.

考点2、面积最值问题

典型例题：

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1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米

（1）当t=4时，求S的值

（2）当4t，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图解．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合， 11 重合部分是BDC＝

122323 2(2)当4t10时，如图

QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR∽BQM∽CRN

S6t2) 得SBQM(t4)2CRN(S23SPQR23PQRSBQM(6t23t423)SPQR(6t)2 )SPQR(t4)2,SCRN(44232333352（t4）(6-t)2(t-5)23 442253 2S＝33当t取5时，最大值为

当t取6时，有最大值23

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综上所述，最大值为

53 2二、名题精练：

0)(0，3)，1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1，、点B在x轴

上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x1点P为直线BC下方的二，次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长． （3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标． 解：（1）设二次函数的解析式为

y yaxbxc(a0，a、b、c为常数)，

2A O C x=1 F B x abc0由抛物线的对称性知B点坐标为(3，，0)依题意得：9a3bc0 c33a323解得：b

3c3所求二次函数的解析式为yP （第25题）

y A O C F B x 3223xx3 333223mm3 33x=1 P （第25题）

（2）

P点的横坐标为m，P点的纵坐标为3kb0设直线BC的解析式为ykxb(k0，k、b是常数)，依题意，得

b33k3 b3故直线BC的解析式为y3x3 3----完整版学习资料分享----

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3点F的坐标为m，m3

3PF32m3m(0m3) 3（3）△PBC的面积SS△CPFS△BPF1PF·BO 221323393= m3m3m23228当m933时，△PBC的最大面积为

82把m3223533mm3得y代入y 3342353点P的坐标为，24 2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2 ∠AOB=30°,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒3个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t秒。

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 。 （2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理

(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？

（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。

4、（2009年湖北恩施）如图12，在△ABC中，A90°，BC10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DEx，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△ADE与梯形DBCE重叠部

A 分的面积记为y．

（1）用x表示△ADE的面积；

（2）求出0x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5x10时y与x的函数关系式； （4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

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B

C

B

D E

A

图12

A C

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解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴

SADEDE2()

SABCBC即SADE12x 412x 4(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤x5 时 ySADE（3）5x﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S△A'DE=S△ADE=x2

∴DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知

141x 2SA'MNA'F2()

SA'DEA'HSA'MN(x5)2

123x(x5)2x210x25 441（4）在函数yx2中

4∴y∵0﹤x≤5

∴当x=5时y最大为： 在函数

25 43yx210x25中

4b2025当x时y最大为： 2a332525∵﹤

432025∴当x时，y最大为：

33

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