工学概率统计作业题1

安徽工业大学应用数学系编

概率论及统计应用练习题

1

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

BA1A3A2A3A4A5A6

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被

设事件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现。发现。

P（B）P（A1A2）P（A1）P（A2）P（A1A2）0.60.40.20.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。

2mC3P0.5

n3!2

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少?

2

解：设事件A1表甲市为雨天，A2表乙市为雨天。

(1)P(A1/A2)P(A1A2)/P(A2)0.12/0.182/3

(2)P(A2/A1)P(A1A2)/P(A1)0.12/0.20.6

(3)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)0.20.180.120.26

5.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?

解：设A1表活到20岁，A2表活到25岁。

P(A2/A1)P(A1A2)/P(A2)P(A2)/P(A1)0.4/0.80.5

6.发报台分别以0.6和0.8发出信号”*”和”+”，由于通信受到干扰,当发出信号为”*”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号”*”和”+”.又若发出信号为”+”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号”+”和”*”，求当收报台收到信号”*”时，发报台确实发出信号”*”的概率.

解：设A1表发出信号﹡，A2表发出信号+，B1表收到信号﹡，B2表收到信号+。

P(A1/B1)

P(A1)P(B1/A1)0.60.86P(A1)P(B1/A1)P(A2)P(B1/A2)0.60.80.80.177.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.

解：设A1,A2,A3分别表示产品为甲、乙、丙车间生产的，B表示产品为次品。

P(B)P(A1)P(B/A1)P(A2)P(B/A2)P(A3)P(B/A3)

0.250.050.350.040.40.020.0345

3

8.某高校甲系二年级1、2、3班的学生人数分别为16、25、25人,其中参加义务献血的人数分别为12、15、20人，从这三个班中随机抽取一个，再从该班的学生名单中任意抽取2人.

（1）求第一次抽取的是已献血的人的概率； （2）如果已知第二次抽到的是未参加献血的，求第一次抽到的是已献血的学生的概率. 解：设A1,A2,A3分别表示1，2，3班的学生，B1,B2分别表示第一，第二次抽取的是已献血的学生。

(1)P(B1)P(A1B1)P(A2B1)P(A3B1)3112152043()316252560

P(AiB1B2)P(B1B2)i1(2)P(B1/B2)P(B2)P(B1B2)P(B1B2)11241510205()3731615252425241124151020310951(3161525242524161525242524

9.美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三个持有不同经济理论的顾问(Perlstadt,Kramer,和Oppenheim)．总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新，并关注这项对失业率的影响.每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，他们所预测的失业率的概率综述于下表： Perlstadt Kramer Oppenheim 下降(D) 0.1 0.6 维持原状(S) 上升(R) 0.1 0.2 0.8 0.2 0.2 0.6 0.2 根据以前与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问有正确的经济理论的可能性的一个先验估计，分别为

P（Perlstadt正确）=1/6

P（Kramer正确）=1/3 P（Oppenheim正确）=1/2

假设总统采纳了所提出的，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其顾问的理论正确性的估计.

4

解：设Ai表第i个人正确(i1,2,3)，B表失业率上升。

10.8P(A1)P(B/A1)46P(A1/B)111P(B)9 0.80.20.263210.2P(A2)P(B/A2)23P(A2/B)111P(B)9 0.80.20.263210.2P(A3)P(B/A3)32P(A3/B)111P(B)9 0.80.20.2632

10.甲、乙、丙三人向同一架飞机射击.设甲、乙、丙击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若二人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.

解：设Ai表示有i人击中（i1,2,3)，B表示飞机坠毁,Cj表第j人击中

(j1,2,3)。

P(A1)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P(A2)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P(A3)P(C1C2C3)0.14P(B)P(Ai)P(B/Ai)0.360.20.410.60.1410.458i13

5

11.如果P(AC)P(BC)，P(AC)P(BC)，则P(A)P(B). 证明：

P(A/C)P(B/C),P(AC)P(BC),P(AC)P(BC)P(C)P(C)（1）同理得，P（AC）P（BC），（2）（1）（2）得，P（AC）P（AC）P（BC）P（BC）即P（A）P（B）

12．选择题

(1)．设A,B,C三事件两两，则A,B,C相互的充分必要条件是（ A ）

(A) A与BC； (B) AB与AC； (C) AB与AC； (D) AB与AC． (2)．设当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下述结论正确的是（ B ）

(A) P(C)P(A)P(B)1； (B) P(C)P(A)P(B)1； (C) P(C)P(AB)； (D) P(C)P(AB)．

(3)．设事件A和B满足AB，P(B)0，则下列选项必然成立的是（ B ）

(A) P(A)P(AB)； (B) P(A)P(AB)； (C) P(A)P(AB)； (D) P(A)P(AB)．

(4)．n张奖券中有m张可以中奖，现有k个人每人购买一站张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）

(A)

1k1CmCnmkCn

； (B)

mkCn； (C) 1kCnmkCn； (D)kiCmki1Cn．

(5)．一批产品的一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则该产品为一等品的概率为（ D ）

(A)

6

1112； (B) ； (C) ； (D) ． 2433

第二章练习题

1． 一袋中有3个白球5个红球，从中任取2个球，求其中红球个数X的概率函数． 解：

2．自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时立即重新调整，求两次调整之间生产的合格品数X的分布．

解：

3．一张考卷上有5道题目，同时每道题列出4个选择答案，其中有一个答案是正确的．某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少？

解：

4．分析病史资料表明，因患感冒而最终死亡（相互）比例占0.2%．试求，目前正在患感冒的1000个病人中： （1）最终恰有4个人死亡的概率；

（3）最终死亡人数不超过2个人的概率．

解：

7

5．某公司经理拟将一提案交董事会代表批准，规定如提案获多数代表赞成则通过.经理估计各代表对此提案投赞成票的概率是0.6，且各代表投票情况.为以较大概率通过提案，试问经理请三名懂事代表好还是五名好？

解：

6．一电话交换台每分钟收到呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；

（2）每分钟呼唤次数大于10次的概率．

解：

7．设某射手有5发子弹，连续向一目标射击，直到击中或子弹用完为止．已知其每次击中的概率为0.8，设X为射击的次数．求 （1）X的概率分布； （2）未用完子弹的概率；

（3）用完子弹且击中目标的概率；

（4）已知用完子弹的条件下，其射中目标的概率．

解：

8

8．设随机变量X的概率密度为：f(x)cexx，求：

（1）常数c；

（2）X的值落(1,1)在内的概率； （3）X的分布函数．

解：

9．设若X~N(3,4)，

（1）求P{2X5},P{4X10},P{X2},P{X3}； （2）确定c，使得P{Xc}P{Xc}．

解：

10．设X~U(1,2)，求Y3X2的分布． 解：

9

10．研究了英格兰在1875—1951年内，在矿山发生导致10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T（以日计）服从指数分布，其概率密度为： 1t241f(t)241e0t0，求分布函数F(t)，并求概率P{50T100}． t0解：

11.选择题：

(1)．如果随机变量X服从指数分布，则随机变量Ymin(X,2)的分布函数（ ）． (A) 是连续函数； (B) 至少有两个间断点； (C) 是阶梯函数； (D) 恰好有一个间断点．

(2)．设X~N(1,1)，概率密度函数为(x)，下述选项正确的是（ ）．

(A) P(X0)P(X0)0.5； (B) P(X1)P(X1)0.5；

(C) (x)(x),x(,)； (D) F(x)1F(x),x(,)． (3)．设P(Xk)ake/k!(k0,2,4,)，是随机变量X的概率分布，则a,一定满足（ ）．

(A)0； (B) a0； (C) a0； (D) 0且a0． (4)．设随机变量X的密度函数为f(x)(A)

11(1x2)，则Y2X的概率密度函数为（ ）．

2(14x2)； (B)

2(4x2)； (C)

(1x2)； (D)

1(4x2)．

2)，且P{X11} (5) ．设随机变量X~N(1,12)，随机变量Y~N(2,2P{Y21},则必有

(A)12； (B) 12； (C) 12； (D) 12．

10

第三章练习题

1．甲乙二人轮流投篮，假定每次甲的命中率为0.4，乙的命中率为o.6,且各次投篮相互.甲先投，乙再投，直到有人命中为止.求甲乙投篮次数X与Y的联合分布.

解：

2．设随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)k(6xy),0x2,0y4;其它

0,求：（1）常数k；（2）P(X1,Y3);（3）P(X1.5);（4）P(XY4)

解：

3．已知X与Y同分布且概率密度为f(x)4x3,0x3810,其他

设事件A{Xa0}和B{Ya0}，且P(AB)5/9，求常数a.

解：

11

4．一批产品中有a件合格品与b件次品.每次从这批产品中任取一件产品，共取两次，抽样方式是：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.设随机变量X及Y分别表示第一次及第二次取出的次品数，写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布，并说明X与Y是否.

解：

5．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y)214x2y,x2y1

0,其他求条件密度函数和条件概率P{Y34x12} 解：

12

6．设二维随机变量(X,Y)的概率函数为

Y -1 0 1 2 -1 0 1/36 1/6 1/12 X 0 1/18 0 1/18 0 1 0 1/36 1/6 1/12 2 1/12 0 1/12 1/6 求：（1）P(X1,Y0);(2)P(X2Y0)；（3）讨论X,Y的性； 解：

7．设X与Y两个相互的随机变量，其概率密度分别为

f1,0x1;ey,y0;X(x) f0,其它.Y(y)0,y0. 求随机变量ZXY的概率密度.

解：

13

8．设随机变量X，Y相互，并且X~U[0,1]，Y~e(1)，求XY，max{X,Y}，min{X,Y}的概率密度函数．

解：

9．设(X,Y)的分布律为

X Y -1 1 2 -1 1/10 2/10 3/10 2 2/10 1/10 1/10 试求：(1)ZXY;(2)ZXY;(3)ZX/Y;(4)Zmin(X,Y).的分布律

解：

14

10.选择题：

(1)．下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）.

yxst1,xy0.8,dsdt,x0,y0,00e(A) F(x,y) (B) F(x,y)

0,其他.其他.0,xy,x0,y0,e； (D) F(x,y)

0,其他.(C) F(x,y)yxstdsdte(2)．设事件A,B满足P(A)11，P(A|B)P(B|A)．令 421,若A发生,1,若B发生,XY则P(X0,Y0) ．

0,若A不发生.0,若B不发生.1357(A)； (B) ； (C) ； (D) ．

8888(3)．设随机变量X与Y相互且同分布：P(X1)P(Y1)P(X1)P(Y1)1，则P(XY1) ． 21，2(A)

1112； (B) ； (C) ； (D) ． 2433(4)．设X~N01, Y~N12,X,Y相互，令ZY2X，则Z~（ ）

（A）N(2,5)； (B) N(1,5)； (C) N(1,6)； (D) N(2,9)．

(5)．设二维随机变量（X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线yx与yx所围，则（X,Y)的联合概率密度函数为 . （A）f(x,y)（C）f(x,y)6,(x,y)G1/6,(x,y)G； （B）f(x,y)；

0,其他0,其他22,(x,y)G1/2,(x,y)G； （D）f(x,y)

0,其他0,其他

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第四章练习题

1. 设随机变量X的分布律为如下, 求E(X),E(2X1),E(X2).

X p 1 0 0.5 1 2 0.35 0.15 0.10 0.15 0.25 解：

2. 射击比赛,每人射4次,每次射一发,约定全都不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得30分,中三弹得55分,中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.6,问他期望得多少分?

解：

3. 9粒种子分种在3个坑内，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有１粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种１个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望．

解：

16

4. 某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下表 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 (1) 求该任务能在3天之内完成的概率; (2) 求完成该任务的期望天数;

(3) 该任务的费用由两部分组成:20000元的固定费用加每天2000元,求整个项目费用的期望值;

(4) 求完成天数的方差和标准差. 解：

5. 设离散型随机变量X的概率分布为 （1）

X 1 2 3 4 5 6 pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (2)

X 1 2 3 4 5 6 pk 1/6 1/12 1/12 1/6 3/12 3/12 试求EX,DX,众数和中位数. 解：

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6. 设两个相互的随机变量X和Y均服从正态分布(1,1/5).如果随机变量X-aY+2满足条件

D(XaY2)E[(XaY2)2]

求（1）a的值；

（2）E(XaY2)及D(XaY2)

解：

7. 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望.

解：

8. 某电力排灌站，一天内停电的概率为0.1（设若停电，全天不能工作），若4天内全不停电，可获得利润6万元；如果停电一次，可获利3万元；如果有二次停电，则获利为0万元；若有三次以上停电，要亏损1万元.求4天内期望利润是多少？

解：

18

9. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互，以X表示同时需要调整的部件数，求X的概率分布、数学期望EX和方差DX.

解：

10. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

解：

11. 已知X,Y的相关系数为,aXb,cYd.,求,的相关系数 解：

19

12. 设X~N(0,12),Y~N(0,22)，且相互Ua1Xa2Y,Va1Xa2Y （1）分别写出U,V的概率密度函数；

（2）求U,V的相关系数； （3）讨论U,V的性；

（4）当U,V相互时，写出(U,V)的联合密度函数

解：

13. 设A,B是二随机事件；随机变量 X1,若A出现1，若A不出现 Y1,若B出现1，若B不出现

试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互. 解：

20

14.设离散型随机变量X的分布律为 X -2 -1 P 0.25 0.25 1 0.25 2 0.25 试验证Y1X2与X不相关，而Y2X3与X却相关． 解：

15．选择题：

(1)．随机变量X的概率分布为：P(Xn)E(X)为（ ）.

1，(n1,2,3,)．则其数学期望

2n(n1)(A) 0； (B) 0.5； (C) 1； (D) 不存在． (2)．随机变量X与Y同分布，令XY，则随机变量和必然（ ） XY，(A) ； (B) 不； (C) 相关系数为0； (D) 相关系数不为0． (3)．对任意随机变量X与Y，则下列等式中一定成立的为（ ）

(A) D(XY)D(X)D(Y)； (B) E(XY)E(X)E(Y)； (C) D(XY)D(X)D(Y)； (D) E(XY)E(X)E(Y)．

(4)．设X与Y为任意随机变量，若E(XY)E(X)E(Y)，则下述结论中成立的为（ ）

(A) D(XY)D(X)D(Y)； (B) D(XY)D(X)D(Y)；

(C) X与Y相互； (D) X与Y不．

(5)．设离散型随机变量X的可能取值为1、2、3，且E(X)2.3，E(X2)5.9，则对应取值1、2、3的概率应为（ ）

(A)p10.1，p20.2，p30.7； (B) p10.3，p20.2，p30.5； (C) p10.1，p20.4，p30.5； (D) p10.2，p20.3，p30.5．

21

第五章练习题

1．利用Chebychev不等式证明：能以大于0.97的概率断言，掷1000次均匀硬币，正面出现的次数在400到600次之间.

解：

2．设随机变量X的概率密度为

xex,x0f(x)

0,x0用Chebychev不等式证明 P{0X4}1/2

解：

3．电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显象管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显象管，该车间每月应生产多少只显象管？

解：

22

４．保险公司对20岁男青年卖保险，每年交300元，约定：若在今后5年内投保人死亡，则其家属可得1000000元保险金.关于死亡的分布，据统计有以下记录：

死亡年龄 概率 公司损失 20 0.00180 -99700 21 0.00182 -99400 22 0.00185 -99100 23 0.001 -98800 24 0.00195 -98500 历史资料表明一个人若能活到25岁并一直投保，则平均保险公司可获利1500元.试问： （1）20岁男青年能活过25岁以上的概率有多大？ （2）收300元保险费，而一旦死亡要赔10万元，两者差距似乎很大，而公司还能获利，为什么？设有十万人投保能获利多少？

（3）试求对每个20 岁投保人，大致可获利多少？

（5）为了准备获利1000000元，应征集多少20岁男青年投保？

解：

5．药厂断言，该工厂生产的某种药品对于治疗一种疑难的疾病的治愈率为0.8.某医院试用了这种药品，任意抽查了100个服用次药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝之.问：

（1）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这一断言的概率是多少？

（2）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这一断言的概率是多少？

23

解：

6．某商店负责供应某地区1000人所需商品,其中一商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这样的商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).

解：

24

7．选择题

2)，且P{|X1|1}P{|Y2|1}，则(1)．设随机变量X~N(1,12)，Y~N(2,2必有( )．

(A)12； (B) 12； (C) 12； (D) 12．

(2)．设随机变量序列{Xn}相互，Xn~U[n,n]，n1,2,，则对{Xn} ( )． (A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律；

(C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律． (3)．设随机事件A在第i次独试验中发生的概率为pi，i1,2,,n．m表示事件A在npi次试验中发生的次数，则对于任意正数恒有limP( )． nnni1m1n(A)１； (B) ０； (C)

1； (D)不可确定． 2(4)．设X1,X2,,Xn,相互且都服从参数为的指数分布，则下述选项中成立的是( )．

nnXiXini1i1x(x)； (B) limPx(x)； (A) limPnnnnnnXinXii1i1x(x)； (D) limPx(x)． (C) limPnnnn(5)．设随机变量序列X1,X2,,Xn,相互同分布， E(Xi)0，D(Xi)2，且

E(Xi4)存在，则对任意0，下述选项中正确的是( )．

2221； (B) limP1； (A) limPXiXinni1nni122221； (D) limP(C) limPXiXi0 nni1nni11n1n1n1n

25

第六章练习题

1. 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X落在50.8至53.8之间的概率.

解：

2. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布, 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

2

试用样本数字特征法求出寿命总体的均值和方差的估计值,并估计这种灯泡的寿命大于1300小时的概率.

解：

3. 设各种零件的重量都是随机变量, 它们相互, 且服从相同的分布,其数学期望为0.5公斤,均方差为0.1公斤,问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少?(提示:当n较大时,随机变量之和XX1X2Xn近似地服从正态分布,以下第6题,第7题也适用)

解：

26

4. 部件包括10个部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互, 且服从同一分布. 其数学期望为2毫米, 均方差为0.05毫米,规定总长度为200.1毫米时产品合格, 试求产品合格的概率.

解：

5. 计算机进行加法时, 对每个加数取整(即取最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.

(1) 若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ (2) 几个数加在一起, 可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 解：

6.设总体X具有概率密度 f(x)2x0x1

0其它从总体X抽取样本X1,X2,X3,X4，求最大顺序统计量Tmax(X1,X2,X3,X4)的概率密度．

27

解：

7.已知一台电子设备的寿命T（单位:h）服从指数分布，其概率密度为

0.001e0.001t,t0f(t)

0,t0现在检查了100台这样的设备，求寿命最短的时间小于10h的概率 解：

28.设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本，Sn为样本方差，求

满足下式的最小值n: P(解：

2Sn21.5)0.95．

28

9.设X1,X2,,X10为N(0,0.32)的一个样本，求P{Xi21.44}

i110解：

10.假定(X1,X2)是取自正态总体N(0,2)的一个样本，试求概率

P[(X1X2)2/(X1X2)24].

解：

T(X2i1X2i)2/(X2i1X2i)2~F(16,16)

i11611.已知X1,,X32是从正态总体N(0,2)抽取的样本．证明：

16证明：

i1 29

12．选择题 （1）、设(X1,X2,,Xn)为来自总体X的一个样本，则X1,X2,,Xn必然满足 （A）不同分布 （B）不但同分布 （C）同分布 （D）无法确定

（2）、设(X1,X2,,Xn)为来自总体X~N(,2)的一个样本，其中,未知，则下 面不是统计量的是 （A）Xi （B）X1n1n1n22Xi （C）(XiX) （D）(Xi) ni1n1i1ni12（3）、设总体X~N(3,16)，X1,X2,则

,X6为来自总体X的一个样本，X为样本均值，

（A）X3~N(0,1) （B）4(X3)~N(0,1) （C）

X3X3~N(0,1) （D）~N(0,1) 42(4)、设(X1,X2,,Xn)(n1)来自总体X~N(0,1)，X与S分别为样本均值和样本标准差，则有 （A）XN(0,1) （B）nXN(0,1) (C) Xi2i1n2(n) （D）

XSt(n1)

(5)、设(X1,X2,,Xn)为来自总体X~N(0,1)的一个样本，统计量Yn1X1i22Xin，则

（A）YYF(1,n1)

2(n1) (B) Yt(n1) (C) YF(n1,1) (D)

30

第七章练习题

1. 对目标地进行射击，直到命中为止，假设n轮(n>1)这样射击，各轮射击的次数相应地为k1,k2,,kn，试求命中率p的极大似然估计和矩估计.

解：

2．设某计算机用来产生某彩票摇奖时所需的10个随机数0，1，2, …, 9.设某人用该机做了100天试验，每天都是第一次摇到数字1为止.此100天中各天的试验次数分布如下：

试验次数 相应天数 2 5 9 20 10 30 11 20 12 10 14 10 26 15 ˆ；(2)假设每次试验相互且产生数字1的概率p保持不变.(1)求p的最大然估计值pˆ0.1，请做出所有可能的解释；(3)求p的矩估计值pˆ. 如果所得p解：

31

3.已知总体的概率密度函数为

f(x)(1)x0x10

其它现抽取n=6的样本,样本观察值分别为

0.2，0.3，0.9，0.7，0.8，0.7

试用矩估计法和极大似然估计法求出的估计量.

解：

4．设总体服从瑞利分布

(x)xxh2f2e,x0为参数

0,x0X1,X2,,Xn为简单随机样本

求的极大似然估计量；（2）该估计量是否为无偏估计量？说明理由.

解：

32

5．设随机变量X在区间(0,]上服从均匀分布，由此总体抽出的一随机样本ˆ(2)n1X都ˆ(1)nX及一个无偏估计X1,X2,,Xn．试证明的有偏估计n(n)n(n)n1n是的一致估计．

证明：

8．设总体X在区间[0,]上服从均匀分布，其中0是未知参数，求的最大似然估计量，并判断它是否为的无偏估计.

解：

9．某车间生产的螺杆直径服从正态分布,今随机抽取5只,测得直径(单位:mm)为: 22.5 21.5 22.0 21.8 21.4

(1) 已知0.3,求的0.95置信区间; (2) 未知,求的0.95置信区间.

33

解：

10．从总体X中抽取样本X1,X2，X3，证明下列三个统计量

ˆ1XXXXX1X2X3XXˆ2123,ˆ3123, ,244236333都是总体均值E(X)的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效.

解：

11．从正态总体中抽取容量为5的样本,其观测值为: 1.86 , 3.22 , 1.46 , 4.01 , 2. ,

2试求正态总体方差及标准差的0.95置信区间.

解：

34

12．为了研究施肥和不施肥对某钟农作物产量的影响，选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比实验，收获量如下表：

施 肥 34 35 30 32 33 34 29 27 32 31 28 32 31 假设施肥与未施肥的农作物产量分别服从正态分布，并且方差相同，求施肥与未施肥平均产量之差的置信水平为0.95的置信区间.

解：

13．从甲乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量(A.h)如下：

甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137;

乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.

22)，求： )及N(y,y设两个工厂生产的蓄电池的容量分别服从正态分布N(x,x未施肥 （1）电容量的方差比

2x2y的置信水平为95%的置信区间;

22y（2）电容量的均值差xy的置信水平为95%的置信区间(假定x).

解：

35

14．从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取个10样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程(km)如下：

41250 41010 42650 370 40200 42500 43500 40400 41870 39800 设汽车行驶路程服从正态分布X~N(,2)，求：

（1）的置信水平为95%的单侧置信下限；（2）的置信水平为95%的单侧置信上限.

解：

16.选择题 (1)、为总体X的未知参数，的估计量为，则有 （A）是一个数，近似等于； （B）是一个随机变量；

（C）是一个统计量，且E()； （D）当n越大，的值可任意靠近. (2)、设(X1,X2)为来自任意总体X的一个容量为2的样本，则在下列EX的无偏线性估 计量中，最有效的估计量是

1312123 （A）X1X2 （B）X1X2 （C）X1X2 （D）(X1X2)

4423355(3)、设是参数的无偏估计，且有D()0，则必为()2的

（A）无偏估计 （B）一致估计 （C）有效估计 （D）有偏估计 (4)、设总体XN(,2)，其中2已知，若已知样本容量和置信度1均不变，则对

2于不同的样本观察值，总体均值的置信区间的长度

（A）变长 （B）变短 (C) 不变 （D）不能确定

(5)、已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态总体N(,1)，从中随机抽取16个

零件，测得其长度的平均值为40cm，则的置信度为0.95的置信区间是 （注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.5)0.95）

（A）(31.95, 40.49) (B) (39.59, 40.41) (C) (, 31.95) (D) (40.49, )

36

第八章练习题

1．一个停车场，有12个位置排成一行，某人发现有8个位置停了车，而有4个相连的位置空着。这个发现令人惊奇吗？（即它是非随机性的表示吗？）

解：

2．某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布N(100,22).从该切割机切割的一批金属棒中抽取15根，测得它们的长度(mm)如下：

99 101 96 103 100 98 102 95 97 104 101 99 102 97 100

(1)若已知总体方差不变，检验该切割机工作是否正常，及总体均值是否等于100(mm)（取显著水平0.05）

(2)若不能确定总体方差是否变化，检验总体均值是否等于100(mm)；（取0.05） 解：

3．饲养场规定肉鸡平均体重超过3公斤方可屠宰，若从鸡群中随机抽取20只，得到体重的平均值为2.8公斤，标准差为0.2公斤，问这一批鸡可否屠宰，α＝0.05．

37

解：

4．已知我国14岁女学生的平均体重(单位：Kg)为43.38，从该年龄的女学生中抽查10名运动员的体重，分别为39,36,43,43,40,46,45,45,42,41，试问这些运动员的体重与上述平均体重的差异是否显著(0.05)．

解：

５．有甲乙两个试验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析结果如下（分析结果服从正态分布）：

试验号数 1 4.3 3.7 2 3.2 4.1 3 3.8 3.8 4 3.5 3.8 5 3.5 4.6 6 4.8 3.9 7 3.3 2.8 8 3.9 4.4 甲 乙 试问甲乙两试验员试验行分析结果之间有无显著性差异（取=0.05）?

解：

38

６．无线电厂生产某种高频管，其中一项指标服从正态分布N(,2).从该厂生产的一批高频管中抽取8个，测得该项指标的数据如下：

68 43 70 65 55 56 60 72

(1) 若已知60，检验假设H0:249,H1:249;（取0.05） (2) 若未知，检验假设H0:249,H1:249.（取0.05）

解：

７．用某种仪器间接测量强度，重复测量5次，所得数据是175,173,178,174,176,而用精确方法测量强度为179（看作强度的真值），设测量强度服从正态分布，问次种仪器测量的强度是否显著降低（0.05)？

解：

39

８．某化工厂的产品中硫的含量的百分比在正常情形下服从正态分布N(4.55,2),为了知道设备经过维修后产品中硫的含量的百分比是否改变，测试5个产品，它们含硫量的百分比分别为

4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37

试在两种情形（1）已知0.1；（2）未知之下分别检验H0:4.55，其中显著性水平0.05，假定方差始终保持不变．

解：

９．选择亚洲的若干城市及美国若干城市六月份的平均最高气温（见下表，单位：

0，试检验有无显著性差异？是否亚洲比美国高？为此，⑴首先检验12；⑵根C）

据（1）的检验结果再检验两个总体的均值． 表

亚洲 北京31 上海28 美国 纽约26 洛山矶22 亚洲 高雄29 汉城27 美国 匹兹堡26 小石城31 亚洲 吉隆波33 雅加达31 美国 华盛顿26 底特津29 亚洲 孟买32 曼谷33 美国 勘萨士29 亚特兰大29 亚洲 明尼波历士美国 26

台北32 旧金山19 东京25 达拉士30 新加坡31 之加哥26 巴尔的摩26 29 费城25 大坂25 丹佛21 马尼拉33 圣安东尼奥31 波士顿23 40

解：

10．设x1,x2,,xn是来自N(,1)的样本，考虑如下假设检验问题 H0:2vsH1:3, 若检验由拒绝域为R{x2.6}给出．

（１）当n20时求检验犯两类错误的概率；

（２）如果要使得检验犯第二类错误的概率0.01,n最小应取多少？ （３）证明：当n时，0,0.

解：

41

11.选择题 ⑴、设总体XN(,2),2未知，x1,x2,,xn为来自总体X样本观测值，现对进行

假设检验。若在显著水平0.05下接受了H0:0，则当显著性水平改为0.01时，则下列说法正确的是

（A）必接受H0； （B）必拒绝H0；

（C）可能接受也可能拒绝H0； （D）犯第二类错误的概率必减少. ⑵设总体XN(,2),未知，x1,x2,,xn为来自总体X样本观测值，记x为样本均

2值，s2为样本方差，对假设检验H0:2;H1:2应取检验统计量为 (n1)s2(n1)s2(n1)s2(n1)s2 （A） （B） （C） （D）

82⑶在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为 （A）H1真，接受H1 （B）H1不真，接受H1 （C）H1真，拒绝H1 （D）H1不真，拒绝H1 ⑷设总体XN(,2),2未知，x1,x2,,xn为来自总体X样本观测值，记x为样本均

值，s为样本标准差，对假设检验H0:0;H1:0，取检验统计量xn，则在显著性水平下拒绝域为 s （A）{|t|t/2(n1)} （B）{|t|t/2(n1)}

t (C) {tt/2(n1)} （D）{tt/2(n1)} ⑸设总体XN(,2)，2已知，X1,X2,,Xn为来自总体X的样本，检验假设

H0:0; H1:10，则当检验水平为时犯第二类错误的概率为

01z（A）/n001z (B) /n/2

0  (C) 1

010z (D) 1z/n/n00 42