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全等三角形的创新题五种

葛余常

三角形全等是初中几何的最基础也是最重要的知识。近年来，有关全等三角形的创新题目百花齐放，令人目不暇接。为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分中考题并加以浅析，供大家参考。

一. 信息迁移型

例1. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界ABCA及A1B1C1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180°。

图1

图2

下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）。

解：由镜面合同三角形的定义和性质知，应选B。

说明：此类题要求把数学知识作横向或纵向迁移，才能作出判断。解题时，关键是准确理解题目中所涉及到的新概念的意义和性质，并能准确地应用于解答相关问题。常用的方法有直接法、排除法等。

二. 猜想证明型

例2. 已知：如图3所示，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

图3

分析：此题为探索、猜想、判断并证明的试题，我们要认真观察、作出判断再加以说明；本题结构较新改变了过去的固有模式，创造性地激活了学生的思维。

连结AF，猜想AF=AE

证明：四边形ABCD是菱形

ABAD

ABDADBABFADE在ABF和ADE中ABAD，ABFADE，BFDEABFADEAFAE

三. 运动变化型

例3. 如图4a所示，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。

图4a

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；

（2）将图4a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图4b，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；

图4b

（3）若将图4a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；

（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现。

分析：本题要求我们在运动变化的情境中发现、探究变化的规律和不变的本质，有利于开发和引导学生的创造力。

（1）AF=BE。

证明：在△AFC和△BEC中

∵△ABC和△CEF是等边三角形

∴AC=BC，CF=CE

ACFBCE60°AFCBECAFBE

（2）成立。

理由：在△AFC和△BEC中

∵△ABC和△CEF是等边三角形

∴AC=BC，CF=CE

ACBFCE60°

ACBFCBFCEFCB即ACFBCEAFCBECAFBE

（3）此处图形不惟一，仅举几例，如图c1，图c2，图c3所示，（1）中的结论仍成立。

图c1

图c2

图c3

（4）根据以上证明、说明、画图，归纳如下：

如图4a所示，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE。