人教版九年级上册数学 单元练习题：第二十四章 圆(含解析答案)

一．选择题

1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．40°B．50°C．65°D．25°

2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝

OD，AB＝12，CD的长是（　　）

A．2B．2C．3D．4

3．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．20°B．35°C．40°D．55°

4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（　　）A．3：2：1

B．1：2：3

C．2：3：1

D．3：1：2

5．下列说法中，正确的是（　　）A．正n边形有n条对称轴

B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆

6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　）

A．8B．10C．D．

7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（　　）

A．40°B．45°C．50°D．55°

9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则BC的长为（　　）

A．5B．3C．2D．

10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（　　）

A．65°B．35°C．25°D．15°

11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（　　）

A．4B．2C．4D．值不确定

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△

AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（　　）

A．πcm2二．填空题

B．

πcm2

C．

πcm2D．5πcm2

13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是　 　．

14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是．

的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是　 　

15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝　 　．

16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝　 　．

17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为　 　

cm．

18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则

AB的最短长度是　 　．

三．解答题

19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆

O交于点F，连接EC，且EG＝EC．

（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；

②若AD＝1，求线段FG的长．

20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB的延长线上，且CE＝DE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为　 　．

21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．

（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．

22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于

E，∠ABC＝45°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝

，CE＝3．

①求⊙O的半径；

②求图中阴影部分的面积．

23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；

（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若

，⊙O半径为5，求DF的长．

24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧tan∠AOB＝

，在优弧

，使点B在O右下方，且

上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的

数为x，连接OP．

（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．

（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．

参

一．选择题1．解：连接OD，

∵AO＝OD，

∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．

2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝∴tanA＝

OD，

＝

，

∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，

∴∠C＝∠ADO＝90°，

∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝∴∠CBD＝30°，∴CD＝故选：A．3．解：连接FB．

BC＝6，

BC＝×6＝2；

∵∠AOF＝40°，

∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，

∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，

∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．

4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，

∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，

∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，

∴OA＝OB，

在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，

即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．

5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；

B、如图，

圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；

C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项

错误；

D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；

故选：A．

6．解：连接OB，

∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，

由勾股定理得：OD＝∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，

＝＝3，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝故选：D．

＝4，

7．解：连接OA，

∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝∴MN＝5﹣3＝2故选：A．

8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴

＝

，

＝5．

∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．

9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，

∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，

在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×则BC＝2BD＝3故选：B．

．

＝，

10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．

11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．

∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，

∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，

∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴∴∴+

＝+

，＝＝1．

+＝

．＝1．

∴PE+PF＝4．

∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．

12．解：∵∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，∴AB＝

cm，

如图，由旋转知，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，

则线段BC所扫过的面积S＝＝

﹣

+﹣S△ABC﹣

＝

＝π（cm2），故选：A．

﹣

二．填空题（共6小题）13．解：连接OE，

∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，

S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝

×π×32﹣

＝3π﹣

．

，

故答案3π﹣．

14．解：连接OC交AB于E．

∵C是的中点，

∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝55°，

∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．

15．解：作直径AD，连接CD，如图所示：∵AD是圆O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠OAC+∠D＝90°，∵∠ABC+∠D＝180°，

∴∠ABC﹣∠OAC＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．

16．解：连接BD．

∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，

∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4∴AC＝AB•cos60°＝2故答案为2

．

，，

17．解：连接OA，

∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，

在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．

＝8cm，

18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，

∵OH＝1，DH＝1，OD＝∵OB＝2，∴BD＝∴AB＝2

．

．＝

＝＝．

＝，

故答案为：2

三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，

∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，

∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，

∴EC是圆O的切线；

（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴

＝

，

∴AC＝CF；

②解：作CM⊥OE于M，

∵AB为直径，∴∠ACB＝90°

∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，

∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，

在Rt△ACD和Rt△FCM中

∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．

20．（1）证明：如图连接OC．

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2故答案为：2

．．

，

21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，

∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，

∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，

∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．

（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，

由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，

∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．

22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，

∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；

（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝

，

在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，

∴⊙O的半径为4，；

②S扇形OAC＝

＝4π，

S△AOC＝×4×4＝8，

∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．

23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，

∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；

（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵∴

＝，

，

设CD＝k，BC＝2k，

∴BD＝∴k＝2∴CD＝2

，

＝k＝10，

，BC＝AC＝4，

∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴

＝

，，

∴CF＝8

∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，

由＝10π，

解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝∴OQ＝∴x＝

；

＝

（2）分三种情况：

①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝

k，QH＝k．

在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（

k）2+（10﹣k）2，

整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝∴OQ＝2k＝此时x的值为

②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝

或k＝

（舍弃），

k，QH＝k．

在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（

k）2+（10+k）2，

整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝∴OQ＝2k＝此时x的值为﹣

（舍弃）或k＝，+5

（舍弃），

③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．

在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，

∴202＝（k）2+（10﹣k）2，

整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝∴OQ＝2k＝此时x的值为

．

或﹣+5或

．

或

（舍弃），

综上所述，满足条件的x的值为