青岛市2017届高三一模(3月)理科数学试题 答案汇总

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数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

＝{x||x1|1}，B{x|x1}，则(ð RA)1. 已知集合AA．[1,0]

B．[1,0)

C．(2,1)

B

D．(2,1]

2. 设(1i)(xyi)2，其中x,y是实数，i为虚数单位，则xy A．1 B．2 C．3 D．2 3. 已知R,向量a3,,b1,2，则“3”是“a//b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

高三数学（理科）试题 第1页（共12页）

4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算

1

筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图， 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码

2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式

中国古代的算筹数码

的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是A． B． C． D．

5. 已知实数x[1,10]，执行如右图所示的程序框图， 则输出的x不大于63的概率为

开始 输入x ，则8335用算筹可表示为

n1 nn1 x2x1 31 B． 10332C． D．

53A．

n3? 否 输出x 结束 是 xy206. 若x,y满足xy40，则zy2x的最大值为

y0A．8 B．4 C．1 D．2 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

8168 A．8 B．

33C．

2

2 主视图 4 侧视图

81616 D．16 332 2 俯视图

高三数学（理科）试题 第2页（共12页）

8. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若1tanA2c，则A tanBbA．30 B．45 C．60 D．120 9. 已知x1，y1，且lgx，A．最小值10

1，lgy成等比数列，则xy有 4D．最大值10 B．最小值10 C．最大值10

32x2y22210. 已知双曲线C1:221(a0,b0),圆C2:xy2axa0,若双曲线

4abC1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是

A．(1,

2323) B．(,) C．(1,2) D．(2,) 33第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知变量x,y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y关于x的线

ˆ1.3x1，则m ； 性回归方程为y

x y 1 2 3 4 0.1 1.8 m 4 212. 设随机变量~N(,)，且P(3)=P()=0.2，

则P(1)= ；

2x,x2,13. 已知函数f(x) 则f(log27) ；

f(x1),x2,高三数学（理科）试题 第3页（共12页）

14. 已知m2 0 9cosxdx，则(1x)m展开式中常数项为 ； xx2x3x2x3g(x)1x，15. 已知函数f(x)1x，设函数F(x)f(x4)g(x3)，

2323且函数F(x)的零点均在区间[a,b]（ab,a,bZ）内，则ba的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数f(x)sin(2x)cos(2x)2sinxcosx.

36（Ⅰ）求函数f(x)图象的对称轴方程；

个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为12原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求yg(x)在[,2]上的值域.

3（Ⅱ）将函数yf(x)的图象向右平移

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn,a11,且an12Sn1,nN. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令cnlog3a2n，bn1 ，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意nN，

cncn2Tn恒成立，求实数的取值范围.

高三数学（理科）试题 第4页（共12页）

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，ABC60，PA平面ABCD，PA3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点． （Ⅰ）若AF1，求证：CE//平面BDF； （Ⅱ）若AF2，求平面BDF与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

某科技博览会展出的智能机器人有A,B,C,D四种型号，每种型号至少有4台.要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的.现在有4个人要购买机器人.

（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了A,B,C,D四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A型与B型相邻且C型与D型不相邻的概率； （Ⅱ）设这4个人购买的机器人的型号种数为，求的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）

PEFADBC高三数学（理科）试题 第5页（共12页）

已知函数f(x)数的底数．

12xax，g(x)ex，aR且a0，e2.7182，e为自然对

（Ⅰ）求函数h(x)f(x)g(x)在[1,1]上极值点的个数；

（Ⅱ）令函数p(x)f(x)g(x)，若a[1,3]，函数p(x)在区间[baea,)上均为增函数，求证：be37．

21．（本小题满分14分）

x22已知椭圆:2y1(a1)的左焦点为F右顶点为A上顶点为B1，过F1，1，1、A1、

aB1三点的圆P的圆心坐标为(（Ⅰ）求椭圆的方程；

3216,)． 22（Ⅱ）若直线l:ykxm（k,m为常数，k0）与椭圆交于不同的两点M和N． （ⅰ）当直线l过E(1,0)，且EM2EN0时，求直线l的方程； （ⅱ）当坐标原点O到直线l的距离为

3时，求MON面积的最大值． 2高三数学（理科）试题 第6页（共12页）

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数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D A B D B A C B A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.3.1； 12. 0.3； 13.

7； 14．84； 15．6. 2三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)sin(2x3)cos(2x)2sinxcosx

36cos2xcossin2xcos3cos2xsin6sin2xsin6+sin2x，

3cos2xsin2x2sin(2x) ， ……………………………………………4分

31+k,kZ， 由2xk,kZ可得: x321221+k,kZ.………………………………6分 ∴函数f(x)图象的对称轴方程为 x122（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin(2x)，将函数yf(x)的图象向右平移个单位得到

312函数y2sin(2x)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标

61不变，得到函数g(x)2sin(x)的图象，…………………………………………10分

2617∵x2，∴x 33266122∴当x，即x时，ymaxg()2

2623317当x，即x2时，yming(2)1 266高三数学（理科）试题 第7页（共12页）



∴函数yg(x)的值域为[1,2] ………………………………………………………12分 命题意图:本题考查三角变换,三角函数的对称轴的性质,图象平移,最值问题。 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当n2时，an12Sn1，an2Sn11 两式相减得：an1an2(SnSn1)2an

an13 …………………………………………………………………………………3分 ana

a11，a22S112a113，即23

a1

{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列

从而an3n1 ……………………………………………………………………………5分

cnlog3a2n，cn2n1，cn22n3 1111bn()

2n12n342n12n311111111111) ∴Tn(41537592n32n12n12n311111111) ………………………………10分 =(1) =(342n12n3432n12n31由于Tn随着n的增大而增大，所以Tn最小值为T151 12分  所求的取值范围为：…………………………………………………………5

命题意图:本题考查an,Sn的关系,等比数列的通项公式,裂项相消求和及恒成立问题。

（Ⅱ）

zP18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：过E作EG//FD交AP于G,连接CG,

G连接AC交BD于O,连接FO. E∵EG//FD,EG面BDF,FD面BDF，

F∴EG//面BDF， ……………………………2分

A底面ABCD是菱形，O是AC的中点，

DE为PD的中点，G为PF的中点，

AF1，PA3，F为AG的中点， OOF//CG

CyxBCG面BDF,OF面BDF，

∴CG//面BDF，…………………………………………………………………………4分 又EGCGG，EG,CG面CGE， ∴面CGE//面BDF，

高三数学（理科）试题 第8页（共12页）

又CE面CGE，∴CE//面BDF, ……………………………………………………5分 （Ⅱ）底面ABCD是边长为3的菱形，ACBD

以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立坐标系如图所示， 底面ABCD是边长为3的菱形，ABC60，

AC3，BD33 又PA3，PA面ABCD，

B(333333,0,0)，C(0,,0)，P(0,,3) ,0,0)，D(22223AF2，F(0,,2)， …………………………………………………………7分

2设平面BDF的法向量为n1(x1,y1,z1)

333,,2) 22x10n1BD33x10由 333333x1y12z10x1y12z10n1BF222233令y12，则z1，取n1(0,2,) ……………………………………………………9分

22设平面PCD的法向量为n2(x2,y2,z2)

BD(33,0,0)，BF(333,,3) 22n2PC3y23z20y2z2由 3333xy2z0x2y23z20n2PD22222令x23，则y2z23，取n2(3,3,3)……………………………………11分 设平面BDF与平面PCD所成锐二面角的平面角为，则

96n1n2221………………………………12分 coscosn1,n255|n1||n2|212PC(0,3,3)，PD(命题意图:本题考查线面平行的判定定理,面面平行的性质定理, 用向量求二面角。 19．（本小题满分12分）

4解：（Ⅰ）4台机器人排成一排的情况有A4种，

22A型与B型相邻且C型与D型不相邻的情况有A2A2

高三数学（理科）试题 第9页（共12页）

22A2A21故所求的概率为P ……………………………………………………………4分 4A46（Ⅱ）由题意：1,2,3,4 1C41P(1)4

4641211311C4C4C3C4C4C3212 P(2)4464212C4C4A39P(3)

44164A43P(4)4

432所以的分布列为：

 3 1 2 4

12193 P

64641632

……………………………………………………………………………………10分 所以E()112193175234……………………………………12分 6464163264命题意图:本题考查排列组合的邻与不邻、分组问题,随机变量的分布列及期望问题。

20．（本小题满分13分）

1h(x)f(x)g(x)(x2ax)ex

21212xxx则h(x)(xa)e(xax)e[x2(a1)x2a]e ………………………1分

222令h(x)0，得x2(a1)x2a0

解:（Ⅰ）

因为4(a1)8a4a40

22所以x1(a1)a1,x2(a1)a1 22令v(x)x2(a1)x2a，则v(1)12(a1)2a10

所以v(x)x2(a1)x2a0的两个根x11,x21 …………………………3分 因为v(1)12(a1)2a4a3 所以当4a30，即a223时，x21，在(1,1)上v(x)0，h(x)0， 4h(x)在(1,1)单调递减，不存在极值点……………………………………………………4分

高三数学（理科）试题 第10页（共12页）

3时，x21，在(1,x)2上v(x)0，h(x)0，h(x)在(1,x2)4上单调递减，在(x2,1)上v(x)0，h(x)0，h(x)在(x2,1)上单调递增，所以h(x)有

当4a30，即a一个极小值点x2………………………………………………………………………………6分 综上可知，当a当a3时，h(x)的极值点个数为0； 43时，h(x)的极值点个数为1 ……………………………………………………7分 4x（Ⅱ）由题意p(x)f(x)g(x)(xa)e

xxx则p(x)e(xa)e(xa1)e

所以(xa1)e0在[bae,)上恒成立 ………………………………………9分 化简得xa10即xa1在[bae,)上恒成立

所以baea1即be2a1 ………………………………………………11分 令u(a)e2a1，则u(a)e2

因为a[1,3]，所以u(a)0，u(a)在[1,3]上单调递增

所以u(a)u(3)e7，所以be7 ……………………………………………13分 命题意图:本题考查函数的极值,二次函数图象,恒成立,分类讨论问题。 21．（本小题满分14分）

33aaxaaaaa11A1(a,0)，B1(0,1)，A1B1的中点为(,)，A1B1的斜率为

22a1a∴A1B1的垂直平分线方程为ya(x)……………………………………………2分

22P在A1B1的垂直平分线上. ∵圆P过点F1、A1、B1三点，∴圆心

解：（Ⅰ）

16132aa()，解得a3或a2（舍） 2222x2椭圆的方程为：y21………………………………………………………………5分

3（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2) x22y12222由3可得：(3k1)y2mym3k0 ykxm2mm23k2，y1y2……③……………………………………………6分 y1y223k13k21（ⅰ） 直线l过E(1,0)，km0……④ EM2EN0，(x11,y1)2(x21,y2)(0,0)

高三数学（理科）试题 第11页（共12页）

从而y12y20……⑤

由③④⑤可得：k1,m1，或k1,m1

直线l的方程为yx1或yx1 …………………………………………………9分

（ⅱ）

坐标原点O到直线l的距离为

3， 2|m|k2133m2(k21)……⑥

42结合③：|MN|1112|yy|1(yy)4y1y2 211222kk12m2m23k2……⑦ 12(2)4k3k13k213(k21)(9k21)由⑥⑦得：|MN| 22(3k1)1333(k21)(9k21)……………………………………11分 SMON|MN|22224(3k1)令3k21t(1,)

则SMON33(k21)(9k21)3(t2)(3t2) 2224(3k1)4t33t24t4312131124()4()34()4 4t24tt4t211332当，即3k12，亦即k时，MON面积的最大值为…………14分 t232

命题意图:本题考查圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形面积及最值问题。

高三数学（理科）试题 第12页（共12页）