・ ６２ ・ 数学教育研究 ２００８年第２期 Ｈ６１ｄｅｒ不等式推论在一类条件极值中的应用 尤 佳 （江苏省泰州市田家炳实验中学 ２２５３００） １ 引言 Ｃａｕｃｈｙ不等式及其推广形式ＨＯｌｄｅｒ不等式分别 以离散形式和积分形式贯穿了中学数学和高等数学， （∑ ÷） （∑ 缸 ） ≥∑ （ ）褥 （ ） 一∑ 。 ６ （ ） （ ） ： 在不等式问题中具有非常重要的作用，Ｃａｕｃｈｙ不等式 （∑ Ｊ ａ；ｂ，）。≤∑ ｎ ∑ ： （ 一１，２，…，”）（１）， 当且仅当 ｂ一ｌ詈一。一 时等号成立，特别地当６ 一 １时，得到 １乙 ｎ “ ≤√ ∑ ： “ （２），在（２）式中 令 ：２得到中学数学课本中常见不等式（ ） ≤ ，著作［１］中由Ｃａｕｃｈｙ不等式得到推广形式 ＨＯｌｄｅｒ不等式，即： 引理（ＨＯｌｄｅｒ不等式）已知Ｐ ，ｑ。＞０，（ｉ＝１，２，…， ｎ），且ａ＋ｐ一１，ａ，Ｂ＞０，∑ 户 ｑ ≤ （∑ 一 Ｐ ）。（∑ ） 注：当口＝卢一］／２时，ｎ 专，６： ，÷即Ｃａｕｃｈｙ 不等式的形式． ２ 问题研究 Ｅ２］中，巧用ＨＯｌｄｅｒ不等式，选择恰当的指数对 （注：根据本文推论这种选法也是唯一的，即ａ一 三一 一 １ｎ ２’ ｌ 一告，卢一＿广 一 ５）求出了数学奥林匹克小丛书中 亏＋２ 一题ｆ（ ）一 Ｐ ４－— 一的最小值 ４ ４－ｇ÷ 、／ＳｌＩ１３：７ ｘ／Ｃｏｓ （其中户，ｑＥＲ， ∈Ｊ ｏ，手Ｊ），相对原来书中带参数的 Ｃａｕｃｈｙ不等式解法明显更简捷更高效，受此启发，本文 研究具此类型结构特征的条件极值问题的一般规律， 根据ＨＯｌｄｅｒ不等式得到以下推论： 推论 已知Ｇ／ｉ，３７ ＞ｏ，且∑ ｂｉｘ ：ｃ（７ｎ，ｋ＞Ｏ， ｎ∈Ｎ， ≥２，Ｃ为常数）则， ∑ ≥（＿ （∑： ｌ ａｉ ∑ ： ６ ） 证明：根据ＨＯｌｄｅｒ不等式∑ Ｐｉ＂ｑ ≤ （∑ Ｐ ）。（∑ ｑ ） （ ， ＞ｏ） 令户 一专 一６ｉＪＴｉ ｋ￣Ｏｄ一 ，Ｊ８一 ， ＋ 一１，Ｐ，，ｑ ＞Ｏ，得 ∑ ｎ ６ 所以（∑ ） （∑ 。岛五 ） ≥（∑ ） （∑ ３旦２ｉｍ） ≥Ｃ¨ －－Ｅ ｏ： ｎ ６， ｍ） 即∑ ≥ ・（∑ １ａｉ ６ ） 根据Ｈ。１ｄｅｒ不等式当￣ ａｉ—Ａ６ ｚ 时，取等号，下 面求出 ，∑ 一∑ 拍 ：Ｃａ一（＿ 。． （∑ ａ ６ ） ，则 — ．（∑ ６ ）丁，而 Ｈ一 ， （ ）“ ：（ ）“ ・ （∑ ｉ＝ｌ￣ｉ ６ ）丁ｑ－Ｔ １＝ ｆ ａｉ ｃ÷ —— — 时取等号． （∑ ．“ ６ ） 注：根据此推论，只要确定所求条件极值中相应于 推论结果中的参数就可直接得到极值． ３ 几个应用 ３．１代数问题 例１ 已知函数 ，Ｙ， 满足８－ｒ＋８ ＋２７ｚ＝１６，求 Ｋ一３７一言＋８ 一专＋４（２ｚ）一专最，Ｊ、值． 解：题中ａ１—１，ａ２—８，ａ ３—４・２一专，ｂｌ一８，ｂ２ ８，ｂ。一２７， — １， 一１， 一＿；Ｉ， 一÷，根据推 论Ｋ—Ｔ专＋８ 专＋４（２ｚ）一吉≥１６专 ［１号・８ｉ１—ｒ ｔ６。２ ・８｛＋（４．２－÷）号．２７＠］孚一１６，当 ．２７ １／４， 一１， 一÷时等号成立． 例２ （１９７９年全国中学数学竞赛题）设Ｏ＜ａ， ＜ 专兀，求证： ＋ ｝≥≥９ 证明：要证不等式结构特征还不符合本文推论，需 适当放缩，Ｉ ２ｓｉｎｆｌｃｏｓｌｆＩ一１ ｓｉｎ２ｆｌｌ≤１ ｓｉｎ。 ４－ｃ。ｓ。口一 ，则 １十ｊ 蕊１ １ＣＯＳ ａ Ｓｌｎ 口ｓｌｎ‘ ／￣ｅｏｓ ‘ ＣＯＳ 口 ２００８年第２期 数学教育研究 ・ ６３ ・ Ｓ１１１一 证明：本题隐含条件Ｃ一∑■Ａ，。（ 一２） ，ａ 此处＆１—１，“２—４，６１—６：一１．ｍ一 ：２，Ｃ一１， 一６ 一１，ｍ 一”， 一１ 所以 １ ４ １ １ １ １ Ａ］ 十 Ａ ‘＋…＋去≥ （ Ａ ；／Ｌ、 ｎ一２）一 “ ÷十—÷≥１ （１ｉ・ｌ于＋４言・１言） －＝９ ＣＯＳ— Ｓｌｎ ａ （１ ．１ ４－…４－１ ．１ ） 例３（１ ９８２年西德数学奥赛题） 个 没非负实数 １． ！，… 满足 Ｉ＋ ２＋… 一１， Ｌ ｌ例５ 试求椭圆 求 ＋ ＼ ： ！． ．．．．．．．．．一 ａ ２＋ Ｍ ｌ＋ ｌ十…＋ 一１夹在两条坐标轴之间 ／一 的最小值 的切线段的最小值 Ｙ 解：所求式子的结构不符合推论要求，需变形，因 解：设Ｐ（．１７。， 。）是椭 为 圆上一点，过Ｐ作切线ＰＴ， —一 ｌ’ｖ 一１，所以 】 ｙ２ 方程为一＂２：Ｏ ２：７＋ 一１（根据 ｌ十 十…十 １＋ｙｔ十“ ｌ十 ］十…十 一 政 Ｄ ： 点斜式求出） ） １４－（１一 １４＂（１一 ） ＰＴ分别交 ， 轴于Ｎ（｝，ｏ），Ｍ（ｏ，等），所求 一— 一一—＝ 一上…上— 一 ２一 ｌ ２ ： ２一 ２＋２ ｎ＿２＋２ ｊ＿ｙｙｔ￣２４－２ ： ：——３＇ｅ－－距离为 ＭＮ 一√（等）＋（ ），令ｓ＝簧＋等，ｃ一 ．．．——２一 ２一 ！ ２一 －ｇ，－－ ｃ ７ １－１，“ ＝＝ｎｌ，ａ ｚ ．／）１一 一 １ 一 ２ ２ ２ ａ十 十…十７￣－－ｙ～“’ ｏ所以 令 一２ ，ｓ一∑ — ２，条件ｃ一∑ －丁 一 一 ｓ≥ 一专 专（ ）÷ （ ）÷卜ｃ卅 ２ ７ —ｌ，ｄ 一２。６ 一１。Ⅲ一 一１ 听以ｓ≥（２ 一１）一 （２古．１专４－…＋一９ １．１ｉ１）！一 ６）！所以；ＭＮ Ｉ≥日４－６，当 ｊ一“√ ・ｉ弘‘一 ｓ～≥ 一 ６√ 时等号成立． 一 弘一２一一２一 一÷时等 注：本文推论中考虑的情况是，＂， ＞０，当Ⅲ， 异 号成 ． 号或同负的情况将在后续论文中研究． ３．２几何问题 参考文献： 例４ 没Ａ ，Ａ ２，…，Ａ 为任意凸ｒｆ／边形的内角， ［１］匡继昌．常用不等式．第三ｍＥＭ］．山东科学技术出 版社． 且Ⅲ≥３．求证： １＋ ＋…＋ ≥ ［２］李成章．巧用赫尔德不等式求最小值：Ｊ］．中等数学 ２００７．２０—２０． ［责任编校钱骁勇］ （上接第３９页） 考虑到对称性可得，～２３６．５９３。≤口＜４０．３３３。．在 的，∈Ｅｏ．＋ｃｃ１都成立还必须附加一个条件：（３）左边 图三中，当台风中心在 ＱＰＢ锐角区域内前进时．我们 的城市必将在某一时间受到台风侵袭．而当台风中心 二次三项式的判别式小于零． 在 ＱＰＢ锐角区域以外前进时，我们的城市必将安然 有ｒ这些点拨．大多数同学都能得到下面的正确 无恙． 结果： 至此同学们成功地解决这一问题，他们的兴奋之 ８－１ ８０￣≤删－－ａｒｃｃｏｓ（～ ＋警） 情溢于言表，进一步探讨问题的激情油然而生．于是在 老师的引导下，他们对海上台风预报问题进行了更深 入的探讨，诸如从发现台风到台风开始侵袭城市的时 由ｃ。ｓ一 ｌＯ可知 ≈８１．８７。，而ａｆＣＣＯＳ 间与台风中心移动方向的关系，城市遭受怒袭最快的 （～ ＋学）钏．ｓｓ 。 台风中心移动的方向等一系列重要问题，得到了一些 有趣的结果． 故一９８．１ ３。≤ ＜４０．３３３。 ［责任编校钱骁勇］
