认识锐角的三角函数

知识点一 正弦

1. 定义：在Rt △ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.

sinA____________________=____________________.

注意：

（1）sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（应用时注意数形结合，构造直角三角形）； （2）sinA是一个比值（数值）没有单位；

（3）sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形边长无关，在直角三角形中，∠A越大，sinA越大； （4）当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省，例 sin∠ABC.

2. 正弦值的取值范围：

∵在直角三角形中0＜直角边＜斜边 ∴0b1 a∴0＜sinA＜1

题型一 正弦的性质 【例1】判断对错 （1）sinABCBC（ ）； （2）sinB（ ）； ABAB（3）sinA0.6m（ ）； （4）sinB0.8（ ）；

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【过关练习】

1. 如图，在△ABC中，sinA=____________________.

2. 在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小

题型二 正弦的计算

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

1 100C.不变 D.不能确定

【过关练习】

1. 如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则sinA等于（ ）

A.

5 2 B.

1 2 C.

25 5 D.

5 52. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

A.

1 2 B.

5 5 C.

10 10 D.

25 5 2 / 11

知识点二 余弦

1. 定义：在Rt △ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.

cosA____________________=____________________.

注意：

（1）cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（应用时注意数形结合，构造直角三角形）； （2）cosA是一个比值（数值），没有单位；

（3）cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形边长无关，在直角三角形中，∠A越小，cosA越大；

（4）当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省，例 cos∠ABC.

2. 余弦值的取值范围：

∵在直角三角形中0＜直角边＜斜边 ∴0c1 a∴0＜cosA＜1

题型一 余弦的性质

【例1】如图， ∠C=90°，CD⊥AB，cosB等于哪两条线段之比?

【过关练习】

1. 练习1.在Rt△ABC中，锐角A的邻边和斜边同时扩大5倍，cosA的值（ ） A. 不变 B.缩小

1 25 C.扩大25倍 D.扩大5倍

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题型二 余弦的计算

【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，求sinA，cosA，sinB，cosB的值

【过关练习】

1. 如图，在Rt△ABC中，求cosA与cosB的值.

A6B8C

2. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cosDCA4，BC=10，则AB的值是（ 5A．9

B．8

C．6

D．3

3. 在Rt△ABC中， ∠C=90o， AD是BC边上的中线，AC=2， BC=4， 则sin∠DAC=__________.

知识点三 正弦和余弦的关系

1. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B

斜边 c a对 边 A

b 邻边

C

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）

2.

sin30（ ）， cos30（ ）；sin60（ ）， cos60（ ）；

sin2Acos2A__________.

题型一 正弦和余弦的关系

【例1】在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA=22，则cosB的值是__________. 【过关练习】

1. （1）sin37°=cos__________°； （2）cos62°=sin__________°；（3）sin47°-cos43°=__________； （4）

cos18sin72 =__________.

2. （1）已知sin35°＝0.5736，则cos__________＝0.5736；

（2）sin240°＋sin250°＝__________

3. α是锐角，且sinacosam，则sinagcosa（ ）

A．11

2 （m2＋l） B．2 （m－l）

C．12 （m＋l）

4. 已知sin75°=62，则cos15°等于____________________.

4

5. 已知α为锐角，且sinα－cosα=1

2 ，求sinα·cosα.

6. 已知sinα·cosα= 1

8 ，求sinα+cosα．

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D．1

2

（m2－1）

知识点四 正切

1. 定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切.记作：tanA

tanA=____________________=____________________=____________________.

注意：

（1）tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（应用时注意数形结合，构造直角三角形）； （2）tanA>0，是一个比值（数值），没有单位；

（3）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形边长无关，在直角三角形中，∠A越大，tanA越大； （4）当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省，例 tan∠ABC.

题型一 正切的概念与性质 【例1】判断正误

BC（ ）； AB10（3）如图（2），tanB=（ ） ；

7（1）如图（1），tanA=

BC（ ）； ABBC（4）如图（2），tanA=（ ）.

AB（2）如图（2），tanA=

【过关练习】

1. 根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.

（1）

（2）

结论：__________________________________________________

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2. 若为锐角，且sin4，则 tan（ ）

59A． 25

3B． 5

3C． 4

4D． 33. 如图所示，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB于点D，AB=10，AC8. （1）tanA的值；（2）设BCD，求tan的值。

4. 在Rt△ABC中，ACB90，根据下列条件分别求出A，B的正切值。 （1）已知a3，b6； （2）已知a4，c5.

题型二 有关正切的计算

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，tanA=2，求BC的值。

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【过关练习】

1. 在Rt△ABC中，C90，AC6，tanB

2. 在Rt△ABC中，C90，BC8，tanA

3. 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

3，求BC,AB的长。 34，求AC,AB的长。 3

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【补救练习】

121. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则sinB=____________________.

132. 在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ A.c =

）

D.c = a·sinA

a sinA B.c =

a cosA C.c = a·cosA ）

3. 在Rt△ABC中，C90，AB2,BC1，则tanB的值是（ A.

1 2 B. 2 C.3 3 D.3

4. 在Rt△ABC中，C90，a6，tanAA. 8

B. 10

3，则AB的长为（ ） 4

C. 2

D. 12

5. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=

4，求△ABC的面积. 5

【巩固练习】

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=

2. α为锐角，则sinα+cosα的值（ ） A.小于1

3. 如图所示，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tanA（ ） A.

B.大于1

C.等于1

D.不能确定

4，则sinA=__________；cosB=__________；sinB=__________. 56 5 B.

5 6 C.

210 3 D.

310 20

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4. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=

4，BC=20，求△ABC的周长和面积. 55. 如图，E是矩形ABCD中CD边上一点， DBCE沿BE折叠为 DBFE，点F落在AD上. （1）求证：△ABF∽△DFE；

（2）若sinÐDFE=，求 tanÐEBC的值；

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【拔高练习】

1. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，则sinCAB＝_________； ABC每个顶点都在网格的交点处，

2. 如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°，若观察所的标高（当水位为0m时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC=_________．

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3. 已知a,b,c是RtABC的三边长，若5b4c0，求sinAsinB的值；

4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AB=16，BC=12，求sin∠DCA和cos∠DCB.

ADCB

5. 如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需多少米？（精确到0．1米）

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