２０１３年１０月 西北工业大学学报 Ｏｃｔ．、２０１３ 第３１卷第５期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．５ 基于ＣＳＴ参数化方法的翼型气动优化设计 卜月鹏，宋文萍，韩忠华，许建华 （西北工业大学翼型叶栅空气动力学国防科技重点实验室，陕西西安７１００７２） 摘要：翼型参数化方法的优劣对最终优化设计结果有着非常重要的影响，它是决定优化设计效率和 最终优化效果的关键因素。针对翼型外形的不同表达方式（分为翼型直接ＣＳＴ、扰动ＣＳＴ和中弧线叠 加厚度分布ＣＳＴ等），分别发展了相应的ＣＳＴ参数化程序，并将其应用于翼型气动优化设计，研究几 种不同参数化方式的优化结果和优化效率。ＲＡＥ２８２２翼型单目标减阻优化设计的研究表明，基于 ｃｓＴ的三种参数化方法和基于Ｈｉｃｋｓ－Ｈｅｎｎｅ函数的参数化方法的减阻效果相当，但计算时间相差很 大。在设计变量数相当的情况下，扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ方法的设计效率高于直 接ＣＳＴ参数化方法和Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ参数化方法而中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ的优化效率略高于扰动 ＣＳＴ。ＤＵ９３－ｗ－２１０翼型单目标最大升阻比优化设计的研究进一步说明中弧线叠加厚度分布ＣｓＴ的优 化效率略高于扰动ＣＳＴ。 关键词：翼型设计，减阻，效率，残差，流程图，函数，升阻比，参数化，几何优化，跨声速空气动力 学，风力机，ＣＳＴ（类函 形函数转变） 中图分类号：Ｖ２２１．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—２７５８（２０１３）０５－０８２９－０８ 翼型几何外形的参数化对优化结果和优化效率 化方法对翼型进行反设计研究 ；西北工业大学的 有重要的影响。目前常用的参数化方法有解析函数 关晓辉博士通过考察参数化过程线性系统的条件数 线性叠加法¨ （Ｈｉｃｋｓ－Ｈｅｎｎｅ参数化方法等），样条 以及对翼型的表示误差，研究了Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式阶 拟合方法 （包括Ｂ样条法和三次样条插值方法 数对ＣＳＴ方法单值性和精度的影响，并将ＣＳＴ方法 等）。近年来，美国波音公司的Ｋｕｌｆａｎ等提出了一 与Ｂ样条法、Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ法和参数化翼型（ＰＡＲ— 种基于型函数／类函数变换的参数化方法 ．５ （ｃｌａｓｓ ＳＥＣ）法的参数数量和表示精度进行了对比ｕ。。，验 ｆｕｎｃｔｉｏｎ／ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＳＴ），该方法 证了ＣＳＴ方法参数少、精度高的优点。 参数具有明确的几何意义、控制参数少、适应性强、 以上所提到的研究都是应用ＣＳＴ参数化方法 精度较好。Ｋｕｌｆａｎ指出，该方法不仅可用于翼型坐 直接表示翼型几何坐标，即本文的直接ＣＳＴ方法。 标的参数化，还可用于其他几何特征如弯度和中弧 本文将ＣＳＴ方法应用于其他两种翼型几何表达方 线的参数化。在二维翼型和三维机翼等的气动优化 法中，称为扰动ＣＳＴ和中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ。 方面都有很好的应用前景。因此ＣＳＴ参数化方法 扰动ＣＳＴ指将ＣＳＴ方程作为几何扰动，叠加到初始 也被广泛研究与应用，例如Ｃａｌｍａｒ研究中心的Ｄａ． 翼型坐标，得到新的翼型。中弧线叠加厚度分布 ｒｉｄ Ｂｏｇｕｅ和Ｎｉｃｋ Ｃｒｉｓｔ基于ＣＳＴ参数化方法使用 ＣＳＴ指将ＣＳＴ方程用于表示翼型的中弧线叠加厚 ｔｒａｎａｉｒ＋＋软件对翼型进行优化研究 ；密歇根大 度分布，从而得到新的翼型，该表达方法的特点是可 学的Ｍａｒｃｏ Ｃｅｚｅ对ＣＳＴ参数化的特点进行研究，指 避免设计过程中由于设计变量范围过大导致翼型几 出ＣＳＴ参数化方法具有参数扰动的敏感性以及几 何（尤其是后缘附近）出现交叉。研究表明，在设计 何形状表达的独特性等特点 ；加州理工大学的 变量数相当的情况下，扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加 Ｋｅｖｉｎ Ａ．Ｌａｎｅ和Ｄａｖｉｄ Ｄ．Ｍａｒｓｈａｌｌ应用ＣＳＴ参数 厚度分布ＣＳＴ方法的设计效率高于直接ＣＳＴ方法 收稿日期：２０１２－０９－０６ 基金项目：国家自然科学基金（１１２７２２６５１）及国家高技术发展计划（２０１２ＡＡ０５１３０１）资助 作者简介：卜月鹏（１９８８一），西北工业大学硕士研究生，主要从事理论与计算流体力学研究。 西北工业大学学报 第３１卷 和Ｈｉｃｋｓ．Ｈｅｎｎｅ参数化方法。 １ ＣＳＴ方法及其应用 本文针对不同的翼型表示方法，分别发展了相 应的ＣＳＴ参数化程序。下面阐述直接ＣＳＴ方法、扰 动ＣＳＴ方法和中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ方法的具 体实现过程。 １．１直接ＣＳＴ方法 直接ＣＳＴ方法即用ＣＳＴ方程直接表示翼型几 何坐标。ＣＳＴ方程的表达式如下： 上表面 Ｙ ＝Ｃ（ ）・Ｓ （ ）＋ ・ＹｒＥ （１） 下表面 Ｙｚ＝Ｃ（ ）・Ｓｚ（ ）＋ ・ＹＴＥｔ （２） 式中，下标Ｍ、ｆ分别表示翼型的上下表面。Ｙ旭 ，Ｙ他 分别为上下表面后缘的Ｙ坐标。 类函数ｃ（ ）定义如下 Ｃ（ ）＝ 朋・（１一 ）胞 （３） 型函数Ｊｓ（ ）定义如下 ｓ （ ）＝∑Ａ Ｓｉ（ ） （４） ５ （ ）＝∑Ａ Ｓｉ（ ） （５） Ｓｉ㈤＝ （６） 式中，对于一般的翼型，Ⅳ１和舵分别取０．５和１．０。 ，和Ａ ．为待定系数。５ （ ）为Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式。 通过上述分析可知，只要系数 ．和Ａ 确定了， 整个翼型就确定了。通常情况，已知的翼型坐标点数 目大于多项式的阶数Ｊ７、ｒ，因此需要求解如下方程的 最小值 ｎｕｐ Ｆ＝∑（（ Ｍ・（１一 ）舵（Ａ。Ｓ。（ ）＋ ∑Ａ Ｓｉ（ ））＋ ・ＹＴＥｕ）一，， √） ＋ ∑（（ Ｍ・（１一 ）胞（一Ａ。．ｓ。（ ）＋ ∑Ａ Ｓｉ（ ））＋ ・ＹｒＥ１）一ｙ ） （７） ｎ 。代表翼型上表面坐标数，ｎｌｏｗ代表翼型下表面坐 标数 根据文献［５］指出，待定系数第一项 。与翼型 前缘半径相关，为了保证上下表面在前缘处的前缘 半径相同，令Ａ 。＝一Ａｆｎ’在上式中，将上下表面ＣＳＴ 方程的第一项单独列出，记Ａ。＝Ａ 。采用最小二乘 法拟合求得系数，即确定整个翼型。 １．２扰动ＣＳＴ方法 通常，翼型的优化设计只在有限的小范围内进 行扰动寻找最优翼型。因此本文将ＣＳＴ方程作为 翼型坐标的几何扰动，叠加到初始翼型上得到新的 翼型。 扰动ＣＳＴ方法的一般表达式为 Ｎ ｙ（ ）＝ｙｏ（Ｘ）＋ Ｍ・（１一 ）胞・∑Ａｉ （８） 式中 （ ）为原来基准翼型的坐标值。 从表达式可以看出，扰动ＣＳＴ方法是在基准翼 型的基础上叠加扰动量，而直接ＣＳＴ方法的表达式 中无需基准翼型，而是直接拟合得到新的翼型。从 广义上说，直接ＣＳＴ方法是扰动ＣＳＴ方法的特殊形 式，即直接ＣＳＴ方法相当于是在平板翼型上加扰动 得到新的翼型。 １．３中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ方法 文献［５］中提到，在中弧线上叠加一定的厚度 分布得到翼型的坐标是翼型几何的又一种表示方 法，但并未将其真正应用于翼型的设计。本文参考 直接ＣＳＴ方法，将中弧线和厚度分布看成翼型的几 何坐标进行参数化，最后通过叠加的形式得到翼型 的几何坐标。最终翼型的上下表面坐标为 Ｙ ＝Ｙ ＋Ｙ＾ （９） Ｙｚ＝Ｙ 一Ｙ＾ （１０） 式中Ｙ 、Ｙ 为翼型上下表面的Ｙ坐标，Ｙ 为中弧线Ｙ 坐标，Ｙ 为翼型的厚度分布的Ｙ坐标。 ２设计变量与基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的气 动优化设计 本文通过求解雷诺平均Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程计算 得到翼型气动特性，采用课题组发展的ＰＭＮＳ２Ｄ有 限体积法程序¨ 。为了提高计算效率，引人多重网 格法和预处理技术等加速收敛技术。为了提高优化 设计效率，在设计中，采用Ｋｒｉｇｉｎｇ模型代替耗时的 流动数值模拟过程 。图１为基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型优 化设计算法的单目标优化设计流程图。 第５期 卜月鹏等：基于ＣＳＴ参数化方法的翼型气动优化设计 样本点数 ｎｓ＝ｎｓ＋２ 萤一求出两个样本点处的 目标函数值 否 是否收敛 ＼／ Ｉ是 退出 图１ 基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型优化设计算法优化设计流程图 ３算例分析 ３．１ ＣＳＴ方法的拟合精度研究 文献［５］指出，对于大多数ＮＡＣＡ系列的翼型， 类函数Ｇ（ ）： Ｍ・（１一 ）肥中的指数Ⅳ１和Ｎ２固 定取值为０．５和１．０的，但对于其他系列的翼型如果 还是固定取值可能会导致较大误差。本文的做法是， 对于求（７）式的最小值问题，将Ⅳ１和Ｎ２作为未知 量，对系数和Ｎ１、Ｎ２同时进行优化，使得函数Ｆ的值 最小。本文的三种ＣＳＴ表示方法都将Ⅳ１和Ｎ２作为 设计变量。 对ＮＡＣＡ００１２翼型和ＤＵ９３．Ｗ－２１０风力机翼型 分别采用基本ＣＳＴ方法和改进的ＣＳＴ方法拟合，不 同阶数下的拟合误差如图２、图３所示。显然，在所 有阶数下，改进的ＣＳＴ方法拟合精度均得到了 提高。 为了研究阶数对拟合翼型气动特性的影响，以 ＲＡＥ２８２２为例，计算状态：Ｍａ＝０．７２９，Ｒｅ＝６．５× １０ 。Ｏｔ＝２．７９。。 图４给出了用于流动求解的Ｃ型网格示意图。 图５给出了不同阶数拟合得到翼型的升力系数与阻 力系数的比较。可以看出，随着阶数Ⅳ的增加，拟 ４｛｛ｌｊ 媸 ＂ ａ） 不同阶数下的拟合误差 ｘ／ｅ ｂ）Ｎ＝４时，ＣＳＴ方法和改进ＣＳＴ翼型与初始翼型对比 图２ ＤＵ９３－Ｗ一２１０ ＣＳＴ方法和改进的ＣＳＴ 方法不同阶数下的拟合误差 Ⅳ ａ） 不同阶数下的拟合误差 一ＮＡＣＡ００ｌ２ Ｏ ０ 一Ｏ ０ ｘ／ｃ ｂ） Ｎ＝４时，ＣＳＴ方法和改进ＣＳＴ翼型与翼型初始对比 图３ ＮＡＣＡ００１２ ＣＳＴ方法和改进的ＣＳＴ 方法不同阶数下的拟合误差 ａ） 潮格全貌 ｂ 翼型局部放大 图４用于流动求解的ｃ型网格 合翼型得到的气动特性收敛于初始翼型的气动特 西北工业大学学报 第３１卷 ０ ０ 性。图６显示阶数Ⅳ分别取２，４，６时拟合翼型得到 ３．２参数化方法对优化结果和优化效率的影响 的压力分布与初始翼型计算得到的压力分布对比。 采用三种ＣＳＴ方法分别在阶数Ｎ＝４和Ｎ＝６ ～取４时的拟合翼型计算得到的压力分布已经非常 时进行设计，并与程序中原有Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ参数化 接近于初始ＲＡＥ２８２２翼型。 方法进行比较。 以ＲＡＥ２８２２翼型单目标减阻为例，设计状态， 设计目标以及约束条件如下： 设计状态：Ｍａ＝０．７２９，Ｒｅ＝６．５×１０。，ｄ ＝２．７９。 设计目标：阻力系数Ｃ 达到最小。 约束条件：几何约束：＿ｚ＂Ａ ｌ一０．９９５≥０ ＾０ Ｉｌ 气动约束： １０ 一０．９９５≥０；ｌ ｌ０加Ｉｌ一０． ９≤０ 其中，Ａ、ｃ 、Ｃ 为优化后的翼型面积、升力系数 图５。不同阶数计算的升力阻力系数与基准进行比较 以及力矩系数；Ａ。、ｃ 、ｃ神为优化前的翼型面积、升 力系数以及力矩系数。 建立Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的初始样本点数取设计变量 数的５倍。图７给出了翼型几何外形的比较，图８ 给出了采用直接ＣＳＴ方法在阶数Ｎ＝４和Ｎ＝６时 设计得到的压力分布与基准翼型压力分布的比较。Ｏ Ｏ 可以看出，不同阶数的压力分布有明显的差别。Ⅳ ＝６时优化出的压力分布在上表面比Ｎ＝４的更 平缓。 ０ ０．４ ０．８ 图９给出了翼型几何外形的比较。图１Ｏ给出 ｘ｜ｃ 了采用扰动ＣＳＴ方法在阶数Ｎ＝４和Ｎ＝６时设计 图６不同阶数下拟合ＲＡＥ２８２２翼型的压力分布 得到的压力分布与基准翼型压力分布的比较。从图 图７不同阶数优化翼型与原翼型的 图８不同阶数优化翼型与原翼型的 图９不同阶数优化翼型与原翼型的 几何外形比较（直接ＣＳＴ） 压力分布比较（直接ＣＳＴ） 几何外形比较（扰动ＣＳＴ） ８、图９可以看出Ｎ＝４，Ｎ＝６对应的压力分布基本 了采用中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ方法在阶数Ｎ＝４ 消除了激波，优化结果基本一致。 和Ｎ＝６时设计得到的压力分布与基准翼型压力分 图ｌｌ给出了翼型几何外形的比较。图１２给出 布的比较。从图１２可以看出Ｎ＝４对应的压力分 第５期 ｂ月鹏等：基于ＣＳＴ参数化方法的翼型气动优化设计 ・８３３・ 布存在一个弱激波，而Ｎ＝６对应的压力分布基本 为了说明本文发展的ＣＳＴ方法的有效性，采用 消除了激波。 程序中原有的Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ函数作为翼型几何扰动 ０ 一Ｏ ０ 图１０不同阶数优化翼型与原翼型的 图１１不同阶数优化翼型与原翼型 图１２不同阶数优化翼型与原翼 的几何压力分布比较 型的外形比较 压力分布比 （扰动ＣＳＴ） （中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ） （中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ） 的参数化方法进行相同的优化设计。为了尽量保证 计变量。图１３、图１４给出了Ｎ＝４、Ｎ＝６时四种参 与ＣＳＴ方法的设计变量数相当，分别取１０、１６个设 数化方法的目标函数随设计步数的变化比较，在图 中Ｄ—ＣＳＴ代表直接ＣＳＴ参数化方法，Ｒ—ＣＳＴ代表扰 动ＣＳＴ参数化方法，Ｚ－ＣＳＴ中弧线叠加厚度分布 ＣＳＴ参数化方法，Ｈ—Ｈ代表Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ参数化方 法，从图中可以看出，扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加 厚度分布ＣＳＴ方法较其他两种方法目标函数下降 速度快，趋于稳定时所用的迭代步数较少。表１、表 ２给出了几种方法的减阻效果和计算时间比较，其 中取Ｎ＝４、Ｎ＝６时的直接ＣＳＴ参数化方法作为基 准时间，基准时间 为５５６ ｍｉｎ，Ｔ２为１ ４９７ ｍｉｎ。 ２Ｏ 可以看出，无论是直接ＣＳＴ还是扰动ＣＳＴ，Ｎ＝４时 迭代步数 所需计算时间是Ｎ＝６时的４０％左右；在相同阶数 图１３阶数为４时目标函数随迭代步数的变化比较 下，扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ方法 所需计算时间是直接ＣＳＴ方法的８０％左右；且与程 序中原有的Ｈｉｃｋｓ．Ｈｅｎｎｅ参数化方法比较，在设计 表１ 阶数为４时几种方法的减阻效果和计算时间比较 ４０ ８０ 迭代步数 图１４阶数为６时目标函数随迭代步数的变化比较 西北工业大学学报 第３１卷 表２ 阶数为６时几种方法的减阻效果和计算时间比较 如下： 设计状态：Ｍａ＝０．２２， ＝７．０。，Ｒｅ＝１．８×１０ ｒ 设计目标：升阻比 达到最大 ｄ Ａ 约束条件几何约束：— 一０．９９５Ｉ＞０ Ａ ０ ｒ． 气动约束： ｌ０ Ｉ，、 Ｉ 一一０．９９Ｉ＞０ １．０Ｉ＞０ Ｉ ｍ Ｉ 建立Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的初始样本点数取设计变量 变量数相当的情况下，扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加 数的５倍。 厚度分布ＣＳＴ方法提高了优化设计的效率。需要 说明的是，本文所有的计算均在Ｉｎｔｅｌ Ｃｏｒｅ ｉ７ ３．４Ｇ 机子上运行。 ３．３扰动ＣＳＴ与中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ的 比较 图１５给出了翼型几何外形的比较。图１６给出 了采用扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加厚度分布ＣＳＴ 方法设计得到的压力分布与基准翼型压力分布的比 较。图１７给出了两种参数化方法设计翼型的升阻 比随迎角的变化曲线与基准翼型的比较。从图中可 由上一算例优化效果可知，扰动ＣＳＴ方法和中 弧线叠加厚度ＣＳＴ方法在Ｎ＝４时的优化效率要优 以看出，两种参数化方法在设计点处的升阻比均提 高明显，且优化效果接近。尽管是单目标设计，但优 化翼型在所有公交范围内的升阻比均有所提高。表 ３给出了两种参数化方法设计翼型与基准翼型在设 于其他方法，为进一步比较这两种方法的优化效率 和优化效果，本文采用Ｎ＝４时的扰动ＣＳＴ方法和 中弧线叠加厚度ＣＳＴ方法对风力机翼型ＤＵ９３一Ｗ． ２１０进行单目标最大升阻比优化设计。 计点处的气动特性和计算时间对比。由表３可以说 明，两种参数化方法的优化结果相当，中弧线叠加厚 度分布ＣＳＴ的优化效率略高于扰动ＣＳＴ。 ９Ｏ 基准翼型，设计状态，设计目标以及约束条件 ７Ｏ ５０ 图ｌ５优化翼型与基准翼型对比 图１６设计点处压力分布对比 图１７升阻比随迎角的变化 表３ ２种参数化方法设计翼型与基准翼型在设计点处的气动特性和计算时间对比 第５期 卜月鹏等：基于ＣＳＴ参数化方法的翼型气动优化设计 ・８３５・ 相差很大。在相同阶数下，直接ＣＳＴ方法所需计算 ４ 结 论 本文将ＣＳＴ方程应用于三种不同的翼型几何 表示方法，通过翼型气动优化设计，比较研究三种参 时间明显多于扰动ＣＳＴ方法和中弧线叠加厚度分 布ＣＳＴ方法，且阶数越高所需的优化时间越长； ３）在设计变量数相当的前提下，与程序中原有 的Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ函数作为几何扰动的参数化方法进 行比较，结果表明，扰动ＣＳＴ和中弧线叠加厚度分 布ＣＳＴ的设计效率相当，且均比Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ函数 数化方法的设计效果和设计效率。结论如下： １）通过改变ＣＳＴ方程中的指数Ⅳ１和Ｎ２，有效 提高了翼型拟合精度。从几何外形误差和压力分布 作为几何扰动的参数化方法的设计效率高； 看，阶数Ⅳ取４时即可达到令人满意的精度。 ４）ＤＵ９３－ｗ－２１０翼型的升阻比最大的设计算例 ２）通过ＲＡＥ２８２２翼型的减阻优化设计算例， 进一步说明表明，扰动ＣＳＴ和中弧线叠加厚度分布 比较研究了三种参数化方法在不同阶数（Ｎ＝４和Ⅳ ＣＳＴ均具有较好的设计效果但中弧线叠加厚度分布 ＝６）时的设计效果和设计效率。结果表明，不同参 ＣＳＴ的设计效率略高。 数化方法和阶数的减阻效果几乎一致，但优化时间 参考文献： ［１］Ｈｉｃｋｓ Ｒ Ｍ，Ｈｅｎｎｅ Ｐ Ａ．Ｗｉｎｇ Ｄｅｓｉｇｎ ｂｙ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｏｐｔｉｍｉｓａｔｉｏｎ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｉｒｃｒａｆｔ，１９７９，１５（７）：４０７－４１３ ［２］ Ｓｏｂｉｅｃｚｋｙ Ｈ．Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ａｉｒｆｏｉｌｓ ａｎｄ Ｗｉｎｇｓ，Ｒｅｃｅｎｔ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ－Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｎｏｔｅ ｏｎ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｆｌｕｉｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｇｅｒｍａｎｙ，１９９９，７２－７４ ［３］Ｌｅｐｉｎｅ Ｊ，Ｇｕｉｂａｕｈ Ｆ，Ｔｒｅｐａｎｉｅｒ Ｊ Ｙ，Ｐｅｐｉｎ Ｆ．Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ Ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅ Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃａｌ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ａｅｒｏｄｙ— ｎａｍｉｃ Ｄｅｓｉｎｇ ｏｆ Ｗｉｎｇｓ．ＡＩＡＡ Ｊｏｕｒｎａｌ，２００１，３９（１１）：２０３３－２０４１ ［４］ Ｋｕｌｆａｎ Ｂ Ｍ，Ｂｕｓｓｏｌｅｔｔｉ Ｊ Ｅ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔｌａ Ｐａｒａｍｅｔｉｒｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ａｉｒｃｒｆａｔ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ｓｈａｐｅｓ． ＡＩＡＡ一２００６－６９４８ ［５］ Ｋｕｌｆａｎ Ｂ Ｍ．Ａ Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｐ￣ａｍｅｔｉｒｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ——“ＣＳＴ”．ＡＩＡＡ－２００７－００６２ ［６］ Ｂｏｇｕｅ Ｄ，Ｃｒｉｓｔ Ｎ．ＣＳＴ Ｔｒａｎｓｏｎｉｃ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｔｒａｎａｉｒ＋＋．ＡＩＡＡ一２００８－３２１ ［７］ Ｃｅｚｅ Ｍ．Ａ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ＣＳＴ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．ＡＩＡＡ一２００９—３７６７ ［８］Ｌａｎｅ Ｋ Ａ，Ｄａｖｉｄ Ｄ．Ｍａｒｓｈａｌｌ Ｉｎｖｅｒｓｅ Ａｉｒｆｏｉｌ Ｄｅｓｉｇｎ Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ ＣＳＴ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ．ＡＩＡＡ一２０１０—１２２８ ［９］许瑞飞，宋文萍，韩忠华．改进Ｋｒｉｉｇｎｇ模型在翼型气动优化设计中的应用研究．西北工业大学学报，２０１０，２８（４）： ５０３－５１０ Ｘｕ Ｒｕｉｆｅ，Ｓｏｎｇ Ｗｅｎｐｉｎｇ，Ｈａｎ Ｚｈｏｎｇｈｕａ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｋｒｉｇｉｎｇ—Ｍｏｄｅｌ—Ｂａｓｅｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ａｉｒｆｏｉｌ Ａｅｒｏｄｙ— ｎａｍｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１０，２８（４）：５０３－５１０（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１０］关晓辉，李占科，宋笔锋．ＣＳＴ气动外形参数化方法研究．航空学报，２０１２，６２５－６３３ Ｇｕａｎ Ｘｉａｏｈｕｉ，Ｌｉ Ｚｈａｎｋｅ，Ｓｏｎｇ Ｂｉｆｅｎｇ．Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ＣＳＴ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ Ｓｈａｐｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ．Ａｃｔａ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ ｅｔ Ａｓｔｒｏ・ ｎａｕｔｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０１２，６２５－６３３（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１１］韩忠华．旋翼绕流的高效数值计算方法及主动流动控制研究：［博士学位论文］．西安：西北工业大学，２００７ Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｏｗｓ ｐａｓｔ Ｈｅｌｉｃｏｐｔｅｒ Ｒｏｔｏｒｓ ａｎｄ Ａｃｔｉｖｅ Ｆｌｏｗ Ｃｏｎｔｒｏ１．Ｐｈ．Ｄ．Ｔｈｅｓｉｓ，Ｘｉ ａｎ，Ｎｏｒｔｈ— ｗｅｓｔｅｎｒ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１２］Ｔａｋａｈａｓｈｉ Ｔ．Ｔｈｅ Ｓｅａｒｃｈ ｏｆｒ ｔｈｅ ＯｐｔｉｍａｌＷｉｎｇ Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆｒ Ｓｍａｌｌ Ｓｕｂｓｏｎｉｃ Ａｉｒ Ｖｅｈｉｃｌｅｓ．ＡＩＡＡ一２００８—５９１５ ［１３］Ｈｉｃｋ Ｒ，Ｍｏｆｆｅｔｔ Ｆｉｅｌｄ，Ｈｅｎｎｅ Ｐ Ａ．Ｗｉｎｇ Ｄｅｓｉｇｎ ｂｙ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．ＡＩＡＡ一１９７７－１２４７ ［１４］Ｋｕｌｆａｎ Ｂ Ｍ．Ｒｅｃｅｎｔ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ＣＳＴ Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｐａｒａｍｅｔｉｒｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ．ＡＩＡＡ一２００７— ７７０９ ［１５］Ｐａｄｕｌａ Ｓ Ｌ．Ｏｐｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｒｏｂｕｓｔ Ａｉｒｆｏｉｌ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．ＡＩＡＡ一２００２—５６０２ ［１６］Ｚｈａｏ Ｈ，ＩｃｏｚＴ，Ｊａｌａｒｉｃ Ｙ，Ｋｎｉｇｈｔ Ｄ．Ｄａｔａ Ｄｒｉｖｅｎ Ｄｅｓｉｎｇ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ．ＡＩＡＡ－２００４－０４４８ ・８３６・ 西北工业大学学报 第３１卷 Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ａｉｒｆｏｉｌ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＣＳＴ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂｕ Ｙｕｅｐｅｎｇ，Ｓｏｎｇ Ｗｅｎｐｉｎｇ，Ｈａｎ Ｚｈｏｎｇｈｕａ，Ｘｕ Ｊｉａｎｈｕａ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｏｎ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ， Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１￣７２，Ｃｈｉｎａ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ，） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｒｆｏｉｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｍｐａｃｔ ｏｎ ｉｆｎａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ．Ｉｔ ｈａｓ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ０Ｄｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ ａｎｄ ｒｅｓｕｌｔ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ＣＳＴ（Ｃｌａｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ／Ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ，Ｉｔｒａｎｓｆ０瑚ａｔｉ０ｎ）ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ａｉｆｒｏｉｌ ｓｈａｐｅ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｅｏｍｅｔｉｒｃａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：ｄｉｒｅｃｔ ＣＳＴ。ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ＣＳＴ，ａｎｄ ｍｅａｎ ｃａｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ＣＳＴ．Ｔｈｅｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ａｐ。 ｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｉｒｆｏｉｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｅｓｉｇｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ・Ｄｒａｇ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｒａｎｓｏｎｉｃ ａｉｒｆｏｉｌ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ，ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔ ＣＳＴ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ＣＳＴ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｍｅａｎ ｃａｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ＣＳＴ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ Ｈｉｃｋｓ．Ｈｅｎｎｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｒｄｅｒｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈ０ｗ ｔｈａｔ．ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｆｏｕｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｈａｖｅ ｎｅａｒｌｙ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｄｒａｇ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｂｕｔ ｔｈｅ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａ１ ｃｏｓｔｓ ａｒｅ ｑｕｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ．Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ＣＳＴ ａｎｄ ｍｅａｎ ｃａｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ＣＳＴ ａｒｅ ｍｏＴｅ ｅ仿ｃｉｅｎｔ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔ ＣＳＴ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｈｉｃｋｓ—Ｈｅｎｎｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ａｌｍｏｓｔ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｓｉｇｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ＣＳＴ ａｎｄ ｍｅａｎ ｃａｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉ０ｎ ＣＳＴ ｕｎｄｅｒ ｆｏｕｒｔｈ ｏｒｄｅｒ Ｂｅｍｓｔｅｍ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｌｉｆｔ ｄｒａｇ ｒａｔｉｏ ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｗｉｎｄ ｔｕｒｂｉｎｅ ａｉｒｆ０ｌｉｌ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｌｙ ｔｈａｔ ｍｅａｎ ｃａｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ＣＳＴ ａｐｐｅａｒｓ ａｐｐｒｅｃｉａｂｌｙ ｍｏｒｅ ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ＣＳＴ． ｗｏｒｄｓ：ａｉｒｆｏｉｌｓ，ｄｅｓｉｇｎ，ｄｒａｇ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ，ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ，ｅｒｒｏｒｓ，ｆｌｏｗｃｈａｒｔｉｎｇ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｌｉｔｆ ｄｒａｇ ｒａｔｉｏ，ｐａｒａｍｅ‘ ｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ，ｓｈａｐｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ｔｒａｎｓｏｎｉｃ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，ｗｉｎｄ ｔｕｒｂｉｎｅｓ；ＣＳＴ（Ｃｌａｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ／Ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ）