有界磁场专题复习

一、带电粒子在圆形磁场中的运动

M 例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感L 强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边

O A 缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今O,

有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图１所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间． N

P 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周

图1 运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆

心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动，

如图２所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形Ｏ2tan()2，Ｏ＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而tan1tan2()2rtan(),所以求得R后就可以求出O＇P了，电子经

2RABR过磁场的时间可用t=来求得。 VVmVV2.OP(Lr)tan 由BeVm得R=eBRreBrtan()2RmVLA O θ B R θ/2 θ/2 O// 图2

M

O,

P N

，

2tan()2eBrmV2 tanm2V2e2B2r221tan()22(Lr)eBrmVO,P(Lr)tan22， 222mVeBr2eBrmVarctan(22)

mVe2B2r2Rm2eBrmVtarctan(22)

VeBmVe2B2r2

 1

例2、如图2，半径为r10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度B0.332T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v3.210m/s的粒子．已知粒子质量

som6.641027kg，电量q3.21019C，试画出粒子通过磁场图2 6yx空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角．

v2qvm 解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由BR得

mv6.6410273.2106Rm0.20m20cm 19Bq0.3323.210虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆

周运动的圆心必落在以O为圆心，半径R20cm的圆周上，如图２中虚线．

由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径Ryo一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的

so弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即粒子应从磁场圆Ax直径的A端射出．

图2 如图２，作出磁偏转角及对应轨道圆心O，据几何关系得

sin2r1，得600，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为600． R2MO二、带电粒子在半无界磁场中的运动 例3、（1999年高考试题）如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．

(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：

2

. . . . . .. . . . . .αO1. . . . . .O2α. . . . . .Q1. . . . . .. . . . . .αQ2PN图3 v2mvm ,解得R Bqv

RBq(2)如图３所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在Ｐ点相遇的两个

粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知

∠PO1Q1=∠PO2Q2=

从O点射入到相遇，粒子在１的路径为半个圆周加Q1P弧长等于R；粒子在２的路径为半个圆周减Q2P弧长等于R．

1RT＋ 2v1R粒子２的运动时间 t２=T－

2v粒子１的运动时间 t1=

两个粒子射入的时间间隔△t＝t1－t２＝2由几何关系得Rcos

R v111L =op=L，解得：=2arccos

2222R故△t＝

LBq4m．arc cos

2mvBq2例4、如图4所示，在真空中坐标xoy平面的x0区域内，有磁感强度B1.010T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p(10,0)点，有一放

y/cm4射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v1.010m/s的带正电

op2518的粒子，粒子的质量为m1.610kg，电量为q1.610C，

求带电粒子能打到y轴上的范围．

图4

解析：带电粒子在磁场中运动时有Bqvmx/cmv，则R2y/cmAmv1.610251.0104R0.1m10cm．

Bq1.01021.61018如图１５所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点．因

3

x/cmB图15 opOpR10cm，AP2R20cm，则OAAPOP103cm．

22当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OBR10cm．

综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：10cmy103cm．

三、带电粒子在长方形磁场中的运动

例5、如图5，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打v在板上，求粒子速率v应满足什么条件． 解析：如图４，设粒子以速率v1运动时，粒子正好打在左极板边

2Ld图5

vdBqd缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为R1，又由Bqv1m1得v1，则粒

44mR1子入射速率小于v1时可不打在板上．

设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），

22o2R2d24L2d2由图可得R2L(R2)，则其圆轨迹半径为R2，又v2L24dv1o11d22v2Bq(4L2d2)由Bqv2m得v2，则粒子入射速率大于v2时可不

4mdR2图４

打在板上．

BqdBq(4L2d2)综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：v或v．

4m4md

4

例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带

O 正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V

r1

A．使粒子的速度V5BqL/4m； C．使粒子的速度V>BqL/m；

D．使粒子速度BqL/4m图6

现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O

r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，

又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2

＝BqL/4m

∴V2四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动

例7、在边长为2a的ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点3a的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为v1时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．

由图知，在AO1E中，O1ER1，O1A3aR1，由

CA图7

DBcos300O1EO1A得

32R13aR1C，解得R13(23)a，则

EOA3aR1AE1(233)a．

22A1R1o1DvB图6

5

BqR13(23)aqBv又由Bqv1m1得v1，则要粒子能从mmR1ＡＣ间离开磁场，其速率应大于v1．

如图７所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则

2GCAo2R2Fv2图7 DBR2ADAG3a．

v3aqB又由Bqv2m2得v2，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于

mR2等于v2．

2综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足

3(23)aqB3aqB． vmm粒子从距Ａ点(233)a~3a的EG间射出． 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动

例8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d1.010m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在

2BQ0~3.2107m/s范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，

若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B9.110T，已知电子的质量m9.110313AP图8 kg，电子电量e1.61019C，不计电子的重

力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：

（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．

（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围．

解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由

BQMN2Bevmmvmv2可得rm，代入数据解得rm210m2d．

BerdAPFB图12 该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电

6

HQovrAP图13

子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．

22在ＭＦＨ中，有FHHMMF(2d)d3d，

22QMPF(23)d2.68103m/s， QNd1102m，PH2d2102m．

电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距2.6810m~110m的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距0~210m的范围．

（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有r解得vsin810．

6232mvd，rsin． Be2v取最大速度3.2107m/s时，有sin时有max11，minarcsin；v取最小速度442，vmin810m/s．

66所以电子速度与之间应满足vsin810，且

1[arcsi,n]，v[8106m/s,3.2107m/s]

42

六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动

例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：

（1） 中间磁场区域的宽度d;

（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用

时间t.

y/cmopx/cm图14 L E d B B O 图9

7

解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： qEL带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

1mV2 2V2BqVm

R由以上两式，可得R12mEL．

Bq可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角

形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为

dRsin600（2）在电场中

16mEL

2BqO O3 600 O2 O1 图11

2V2mV2mL， t12aqEqE在中间磁场中运动时间t2T2m 33qB55mT， 63qB在右侧磁场中运动时间t3则粒子第一次回到O点的所用时间为

tt1t2t322mL7m． qE3qB七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动

例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度． （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

8

7图10

解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图６所示．

由图中知r12R12(R2r1)2，解得r10.375m

BqrV121V1.5107m/s 由BqV得m11mr1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V11.5107m/s．

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与

外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图７所示．

由图中知r2O O2 图７

R2R10.25m 2Bqr2V221.0107m/s 由BqV2m得V2mr2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V21.0107m/s

例11、如图８所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B．在两极间加上电

a 压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、

S 带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，

b d 初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出o 发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个

c 装置在真空中）

解析：如图９所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦

图11

兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径

向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

a qU1mV2 2S d o b 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿

9

c 图９

第二定律，有

V2BqVm

R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过3圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;

B2qr2U2m.

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