第３６卷第２期 吉首大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．３６ ＮＯ．２ ２０１５年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＭａＴ．２０１５ 文章编号：１００７—２９８５（２０１５）０２—００２３—０６ 三次Ｂ样条曲线形状调整方法 王晶昕，鞠妍 （辽宁师范大学数学学院，辽宁大连１１６０２９） 摘要：分析了某种带局部形状调整参数的Ｂ样条曲线的构造，提出用带调整参数的变换矩阵方法生成控制点进而生 成所要求的带形状参数的三次Ｂ样条曲线的方法．研究了参数变化对曲线的影响，以及该方法下所生成样条曲线在拼接点 处的连续性条件． 关键词：三次Ｂ样条曲线；调整参数；矩阵变换 中图分类号：Ｏ２４１．５ 文献标志码：Ａ ＢＯｌ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—２９８５．２０１５．０２．００６ 在Ｂ样条曲线的形状调整的研究中有很多行之有效的方法口 ］．文献Ｅ１－］中构造出了一种新的三次、四 次调配函数，以此作为三次Ｂ样条基函数的扩展，通过改变局部形状参数达到对曲线形状调整的目的．笔 者对文献［１］中所给出的方法进行分析，试图找出这种调配函数生成的曲线与标准的Ｂ样条基函数生成的 曲线之间的联系与区别．经分析发现，如果将给定的控制点进行某种方式的凸组合生成新的控制点，那么 仅利用标准的Ｂ样条基函数即可生成文献［１］中的方法所生成的曲线．此外，还可以用上述控制点的更一 般化的凸组合来生成新的控制点，从而生成自由度更大的Ｂ样条曲线．而这种方法生成的Ｂ样条曲线在拼 接点处的连续性依赖＝Ｆ上述组合系数的选择． １对扩展三次Ｂ样条曲线的分析 因为样条曲线即是分片的多项式曲线，所以笔者沿用文献Ｅ１－］中的方法，讨论一个样条区间中的多项 式曲线，再分析相邻的下一段多项式曲线与之拼接的问题即可． 文献Ｅｌ３中带形状参数 的第１类三次Ｂ样条的扩展基在第ｉ个区间的函数表示为 ６ （￡）一 （１一）ｔｉｔ）（１一￡）ｚ， ｂ ｂ｛（￡）＝＝＝÷（４一（７一 ）￡ ＋（４一 ）ｔ。）， Ｏ （１） ６ｉ（￡）一 （１＋（２＋ ）ｂ ＋（５—２２ ）￡２一（４一 ）ｔ ３）， ６；（￡）：＝＝ （（１一 （１一￡））￡ｚ）， ０ ＊收稿日期：２０１４—０９—２１ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２２６３２６） 作者简介：王晶昕（１９５８一），男，内蒙古赤峰人，辽宁师范大学数学学院教授，博士，主要从事计算数学研究． ２４ 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 其中ｔ∈［Ｏ，１］，一２≤ ≤１． 对（１）式进一步变形得 ￡）－百１（１一 ＋ （３（１一 ６ （￡）一 ２（１一￡）。＋吾（３（１一￡） ）＋ （３（１一￡） ｚ）＋丢ｆ ｓ， ｌ（１ｔ）ａ＋￣一（３（１’ －－ｔ）２ｔ）＋ … ＋ ￡）＝ （３（１一班ｚ）＋百１ 取定４个控制点Ｐ。，Ｐ ，Ｐ：，Ｐ。，得多项式曲线 ３ ｃ（ ）一∑Ｐｆ６ （ ）一Ｐ。ｂｏ＝（￡）＋Ｐ１Ｂ｛（￡）＋Ｐ ２ｂｌ（￡）＋Ｐ ３ｂ ３（ｆ）（３） ｉ ０ ． ｃ ｃ ＝（丢Ｐ。＋ｉ２ Ｐ ＋百１ Ｐ ）ｃ 一ｔ，。＋（ Ｐ。＋导Ｐ ＋ Ｐ。）３ ｃ 一 ｚｔ＋ （ Ｐ。＋扣＋ Ｐ。）３ ｃ （丢Ｐ ＋ ２ Ｐ。＋ Ｐ。） 即 ｃ∽一（丢Ｐ。＋ ２ Ｐ ＋百１ Ｐ Ｂ ａｏ（ （ Ｐ。＋吾Ｐ ＋ Ｐ ）昧 （ Ｐ ＋ ２ Ｐ ＋ Ｐ。）Ｂ；（ ）＋（丢Ｐ ＋ ２ Ｐ。＋百１ Ｐ。）Ｂ ２（ｔ）， 其中Ｂ （￡）（ ＝０，１，２，３）为标准的三次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ基函数． ｛ １ ２ １ Ｏ ６ ３ ６ Ｑ。 １一 ２ ５＋ ｆ Ｐ０ Ｏ Ｑｌ １８ ３ １８ Ｐ１ （４） Ｑ２ ０ ５＋．：【 ２ １一 Ｐ ２ Ｑ。 １８ ３ １８ Ｐ ３ １ ２ ｌ Ｏ ６ ３ ６ ３ 可知曲线ｃ（￡）＝：＝∑Ｂ，ｉ＝０ ａＱ （￡）是一条以Ｑ。，Ｑ。，Ｑ。，Ｑ。为新控制点的三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线．因 ∈［一２，１］，故 Ｑｏ，Ｑ 是Ｐ ｏ，Ｐ ，Ｐ ｚ的凸组合，Ｑｚ，Ｑ。是Ｐ ，Ｐ ｚ，Ｐ。的凸组合．依上述分析可知，邻接于点Ｑ。处的下一段 曲线的控制点是 １ １ Ｏ ６ ６ Ｑ １一 ｉ＋１ ５ ｉ＋１ Ｐ１ Ｏ Ｑ５ １８ １８ Ｐ ２ Ｑ６ ０ ２ １一 ｉ＋１ （５） Ｐ ３ Ｑ７ ３ １８ Ｐ ４ ０ ２ １ ３ ６ 第２期 王晶昕，等：三次Ｂ样条曲线形状调整方法 ２５ 如图１为 ＝０的情形． 对文献［１］中带形状参数 的第２类四次Ｂ样条扩展基做同样分析： ６ （ｆ）：１（１一 ￡）（１一￡）。， ｕ ６｛（￡）：１（４—６￡ ＋（３＋ ）￡３—２ｉｔ ４）， Ｕ ６：（￡）＝丢（１＋（３＋．：Ｉ ）￡＋３（１一．：【 ）￡２一 ｙ ３（１一 ｆ） 。一 ｔ ）， １ ｂ （￡）： （（１～ （１一￡））ｔ ３， ｂ 其中ｔ∈［ｏ，１］，一２≤ ≤１． 对（６）式作进一步变形，最后得到曲线Ｃ（ｔ）也 图１ ｌ—ｏ 可用控制点Ｑ （ —Ｏ，ｌ，２，３，４）与标准的四次ｌＳｅｒｎｓｔｅｉｎ基函数表示出来，即 ｃ（ ）一（丢Ｐ。＋ ２ Ｐ ＋ １ Ｐ ）Ｂ （ ）＋（ Ｐ。＋ ２ Ｐ ＋ Ｐ ）Ｂ （ｚ）＋（丢Ｐ。＋丢Ｐ。）Ｂ；＋ （ 一号Ｐ。＋ Ｐ。） （丢Ｐ。＋号Ｐ ＋百１ Ｐ。） ． 记 Ｑ。＝百１ Ｐ＋ ２ Ｐ ＋１ Ｐ 。百， Ｑ ＝ Ｑ — Ｐ。＋ ２ ＰＰ。＋ Ｐ－＋— 。＋ Ｐ２＇Ｐ ｚ， Ｑ。： １ Ｐ ＋ １ Ｐ。， Ｑ。＝ Ｐ ＋ ２ Ｐ。＋ Ｐ３＇ Ｑ ＝百１ Ｐ＋ ２ Ｐ ＋１ Ｐ。百。． 同样Ｑ。，Ｑ。是３个控制点Ｐ。，Ｐ。，Ｐ 的凸组合，Ｑ。是Ｐ ，Ｐ：的凸组合，Ｑ。，Ｑ 是Ｐ。，Ｐ ，Ｐ。的凸组合． 按这个方法邻接于点Ｑ ｓ处的下一段曲线的控制点是 Ｑ５一Ｑ４， Ｑ。一 ＋ Ｐ。＋ Ｑ 一 １ Ｐ ２＋ １ Ｐ。， Ｑ。一 Ｐ。＋扣＋ Ｑ。一百１ Ｐ。＋ ２ Ｐ＋ １ Ｐ 。． 如图２为 一１的情形． 图２ ＝１ ２ 构造带调整参数的三次Ｂ样条曲线 对上一节的分析作进一步探索，又可以发现新问题：既然Ｑ。，Ｑ ，Ｑｚ，Ｑ。是原控制点的凸组合，而组合 系数仅受一个参数 制约，那么采用多个组合系数生成新控制点是不是可以得到自由度更大的样条曲 线？如果要求这样生成的分片曲线在拼接点处达到一定的连续性，本段曲线所选取的参数与下一段曲线 ２６ 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 选取的参数之间应该满足什么样的条件？这就是本节要讨论的问题． 对于任意给定４个控制顶点Ｐ。，Ｐ ，Ｐ。，Ｐ ，作变换 Ｑ。 ｙ ０ ０ Ｐ ０ Ｐ】 Ｑ１ Ｑ２ Ｑ。 ｙ】０ ２ ｐ２ ｙ ２ Ｐ ３ ７ ３ Ｐ ３ 即为 。一口。Ｐ。＋ｐ。Ｐ ＋ｙ。Ｐ。， ｝Ｑ１＝口１Ｐ ｏ＋卢１Ｐ１＋７１Ｐ ２， ｌＱ２一ａ ２Ｐｌ＋卢２Ｐ ２＋ｙ ２Ｐ ３， 【Ｑ３＝＝＝ａ ３Ｐ１＋Ｊ９３Ｐ ２＋ｙ ３Ｐ ３， 其中ａ ， ，ｙ ∈Ｅｏ，１］，文中这类参数均满足ａ ＋ ＋ｙ 一ｌ的关系． 考察曲线 ３ Ｃ（ａ ， ， “）一∑Ｑ Ｎ （“） ｉ ｏ ∈［ 。， ］， 它是由顺次以Ｑ。，Ｑ ，Ｑ ，Ｑ。为控制点的Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线，若与之在点Ｑ。处相连接的下一段Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线的控 制点是 Ｑ４ Ｑ Ｑ６ Ｑ７ 口４ 卢４ 口５ ５ ７ ４ ７ ｓ ０ ０ ｙ ｓ Ｐ１ Ｐ ２ Ｐ ３ Ｐ ４ ０ ０ ６ ８１ ７１ 设以Ｑ。，Ｑ ，Ｑ ，Ｑ。为控制点的Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线为Ｃ ，以Ｑ ，Ｑ ，Ｑ ，Ｑ 为控制点的Ｂ６ｚｉｅｒ曲线为Ｃ。．显 然，若仅要求Ｃ 与Ｃ 在拼接点处达到Ｇ。连续，则只要Ｃ （１）一Ｃ （０），即Ｑ 一Ｑ。即可．但若要求ｃ 与 Ｃ。在拼接点处达到更高阶的连续性，则需要所选择的参数之问满足更多的条件． 引理ｌ ］ ２段Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线在连接点处达到Ｇ 连续的充分条件为： （ｉ）在连接点处重合，即Ｃ （１）一Ｃ （Ｏ）； （ｉｉ）在连接点处有同向切向量，即存在Ｋ＞０，使Ｃ （ｏ）一ＫＣ （１）． 引理２＿５］ ２段Ｂ６ｚｉｅｒ曲线在连接点处达到Ｇ 连续的充分条件为： （ｉ）在连接点处Ｇ 连续； （ｊｊ）存在Ｌ＞０及实常数ｕ，使得曲率满足连续条件Ｃ （ｏ）一ＬＣ＿，（１）＋ｖＣ （１）． 由上述引理可以推知下面的结果： 定理１ 若相邻２段曲线Ｃ 与ｃ。的形状参数满足ａ 一ａ。， 一卢。，ｙ 一７。，则此二曲线ｃ 与ｃ ｚ在 拼接点处达到Ｇ。连续． 定理２ 若相邻２段曲线ｃ 与Ｃ 的形状参数满足如下２个条件，则此二曲线ｃ 与ｃ。在拼接点处达 到Ｇ 连续： （ｉ）（ ４，卢４， ４）一（口３，卢３，），３）； （ｉｉ）存在Ｋ＞０，使得（ａ ５，卢 ，ｙ ５）一（１＋Ｋ）（口。，卢。，７。）一Ｋ（ｄ ｚ，Ｊ８ ２，７ ｚ）． 证明 由定理１可知此时有Ｃ （１）一ｃ （０），即Ｑ 一Ｑ。．而Ｃ （１）一３（Ｑ。一Ｑ ），Ｃ （Ｏ）一３（Ｑｓ—Ｑ。）． 为使相邻２段曲线在连接点Ｑ。处有同向的切向量，只要存在Ｋ＞０，使（Ｑ 一Ｑ。）一Ｋ（Ｑ。一Ｑ ｚ）即可．整 理得Ｑ。一（１＋Ｋ）Ｑ。一ＫＱ。，亦即 ａ ５ Ｐ１＋ ５Ｐ ２＋ｙ ５ Ｐ ３＝（１＋Ｋ）（ａ ３Ｐｌ＋卢３ Ｐ ２＋７ ３Ｐ ３）一Ｋ（ａ ２Ｐ１＋ｐ２Ｐ ２＋），２ Ｐ ３）． 由此求得 口５一（１＋Ｋ）ａ ３一Ｋａ ２，｜８５一（１＋Ｋ）ｐ３一Ｋ卢２。 进而可计算出 第２期 王晶昕，等：三次Ｂ样条曲线形状调整方法 ２７ ｙ ５一（１＋Ｋ）ｙ ３一Ｋ７ ２一（１＋Ｋ）（１一口３一ｐ３）一Ｋ（１一口２一 ２）一（一（１＋Ｋ）口ａ＋Ｋａ ２）＋ （一（１＋Ｋ）卢３＋Ｋ卢２）＋１—１一口５一卢５． 故可知定理２结论成立． 容易计算，文献［１］中的第１类曲线所对应的变换（４），（５）满足定理２的条件，故所产生的新的曲线在 连接点处是Ｇ 连续的． 对文献［１］中的第２类曲线作对应的变换： Ｐ ０ Ｐ１ （７） Ｐ ２ Ｐ ３ ％ Ｏ Ｏ ０ ％Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ｏ ｌ ２ 口 ３ 口４ Ｄ ５ Ｄ ６ ７ ８ ９ Ｐ１ Ｐ ２ ０ １ ２ ３ ４ ５ ｙ ６ ７ ８ ９ （８） Ｐ ２ ０ ０ ０ Ｏ Ｏ Ｏ Ｐ ６ 为讨论相邻２段曲线Ｃ。与ｃ。在连接点处的Ｇ。连续性，先作一些分析． 首先，若要Ｃ。与Ｃ 在连接点处是Ｇ 连续的，只要有： （１）（口５， ５，７ ５）：：（ａ ４，卢４，７ ４）； （２）存在Ｋ＞０，使得（口。， ，）， ）一（１＋Ｋ）（ａ ， ，ｙ ）一Ｋ（ａ。， ｓ，ｙ ｓ）． 这样，（８）式应为 ａ ４ ４ ｙ ４ ０ Ｐ１ （１＋Ｋ）口４一Ｋａ。 （１＋Ｋ） ４一Ｋ卢。 ７ ６ ０ Ｐ ２ （９） ０ ａ ７ ｐ７ ０ Ｐ ３ ０ ａ ８ ８ ｙ ８０ Ｐ ４ 计算可知 ｃ （１）一４（Ｑ 一Ｑ。），Ｃｊ（１）一１２（Ｑ２—２Ｑ３＋Ｑ ），ｃ （ｏ）一１２（Ｑｓ一２Ｑｓ＋Ｑ ）． 由引理２的（ｉｉ）可知，只要存在Ｌ＞ｏ及实常数 ，使得Ｃ （０）一ＬＣ （１）＋ｖＣ （１），则此曲线在点 Ｃ１（１）：Ｃ２（０）处Ｇ。连续．即为 １２（Ｑ５—２Ｑ６＋Ｑ ）一１２Ｌ（Ｑ２—２Ｑ。＋Ｑ ）＋４ｖ（Ｑ —Ｑ３）， Ｑ 一２Ｑ６＋Ｑ 一Ｌ（Ｑ２—２Ｑ。＋Ｑ ）＋ｕ（Ｑ —Ｑｓ）， Ｑ 一２（（１＋Ｋ）Ｑ 一ＫＱ。）＋Ｑ 一Ｌ（Ｑ２—２Ｑ。＋Ｑ ）＋ｕ（Ｑｔ—Ｑ。）． 将（８），（９）式代入得 ． （口５Ｐ１＋卢５Ｐ ２一ｔ－ｙ ５Ｐ ３）一２（１＋Ｋ）（ａ ４Ｐ１＋卢４Ｐ ２＋ｙ ４Ｐ ３）＋２Ｋ（ａ ３Ｐ１＋卢３Ｐ ２＋ｙ ｓＰ ３）＋ （ａ ７Ｐ ２＋卢７Ｐ ３）一Ｌ（（ａ ２Ｐ１＋卢２Ｐ ２）一２（ａ ３Ｐ１＋卢３Ｐ ２＋７ ３Ｐ ３）＋（口４Ｐ１＋ 卢４Ｐ ２＋７ ４Ｐ。））＋ｕ（（ａ ４Ｐ１＋卢４Ｐ ２＋７ ４Ｐ ３）一（ａ ３Ｐ１＋ ３Ｐ ｚ＋ｙ ３Ｐ ３））・ （２Ｋａ ３一（１＋２Ｋ）ａ ）Ｐｌ＋（２Ｋ卢３一（１＋２Ｋ）卢 ＋ａ ）Ｐ ２＋ （２Ｋｙ。一（１＋２Ｋ）２７ ４＋ ）Ｐ ３一（Ｌａ ２一（２Ｌ＋ ）ａ ３ ４－（Ｌ＋ｕ）口４）Ｐ１＋ （Ｌｐ２一（２Ｌ＋ｕ） 。＋（Ｌ＋ｕ） ４）Ｐ ２＋（一（２Ｌ十￡，）ｙ ３＋（Ｌ＋￡，）ｙ ）Ｐ。， 得 ２Ｋａ ３一（１＋２Ｋ）口４一Ｌａ ２一（２Ｌ＋ｕ）Ｏｌ ３＋（Ｌ＋ｕ）口４， 即 Ｌ口ｚ一（２Ｌ＋ｕ＋２Ｋ）ａ ３＋（Ｌ＋ｕ＋２Ｋ＋１）ａ ４—０． ２８ 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 令ｃＩＪ—Ｌ＋ ＋２Ｋ＋１，则有 Ｌａ ２一（ｃｏ＋Ｌ一１）口３＋叫ａ ４—０． ２Ｋｆｌ３一（１＋２Ｋ）ｆｌ ＋ａ 一Ｅｆｔ２一（２Ｌ＋ｕ）ｆｌｓ＋（Ｌ＋ｕ）ｆｌ ， 即 ａ ７一Ｌｐ２一（２Ｌ＋ｕ＋２Ｋ）ｆｌ３＋（Ｌ＋ｕ＋２Ｋ＋１） ， ａ ＝＝：Ｅｆｔｚ一（∞＋Ｌ一１）ｆｌ。＋，ｏｆｆ ． ２Ｋｙ３一（１＋２Ｋ）２７ ４＋ｐ７＝一（２Ｌ＋ｕ）ｙ ３＋（Ｌ＋ ）７ ４， 即 卢７一一（２Ｌ＋ｕ＋２Ｋ）７。＋（Ｌ＋ｕ＋２Ｋ＋１）７ ４一一（ ＋Ｌ一１）７。＋ｃＵｙ 一 一（ ＋Ｌ一１）（１一口３一卢３）＋ （１一Ｏｌ ４一卢４）一 （一（ ＋Ｌ一１）＋∞）＋（ ＋Ｌ一１）ａ ３一ｃｃ，ａ ４＋（ｃｏ＋Ｌ一１）ｆｌ３一 卢４一 （１一Ｌ）＋Ｌａ ｚ＋（ ＋Ｌ一１）卢。一 卢 一 （１一Ｌ）＋Ｌ（１一 ２）＋（∞＋Ｌ一１）卢３一 ｐ ＝＝＝ １一Ｅｆｔ２＋（ｃｏ＋Ｌ一１）ｆｌ３一 ４—１一ａ ７， 其中因ｕ是任意实常数，故∞也是任意实常数． 由上述分析可知下述定理成立： 定理３ 在（７），（９）式的变换条件下所生成的曲线段，若上述变换中的参数满足如下条件，则所生成 的２条曲线段在连接点Ｑ 一Ｑｓ处是Ｇ 连续的，且此二曲线Ｃ 与Ｃ 在拼接点处达到Ｇ 连续： （ｉ）（ａ ５，卢５，７ ５）一（口４， ４，７ ４）； （ｉｉ）存在Ｋ＞０，使得（ａ ，卢 ，７ ）一（１＋Ｋ）（口 ， ，７ ）一Ｋ（口。， 。，７。）； （ｉｉｉ）存在Ｌ＞０及实数 ，使得口 一Ｌｐ。一（ｃｏ＋Ｌ一１）卢。＋叫卢 ，其中６０＝＝＝Ｌ＋ｕ＋２Ｋ＋１． 参考文献： Ｅｌｉ徐 岗，汪国昭．带局部形状参数的三次均匀Ｂ样条曲线的扩展ＥＪ］．计算机研究与发展，２００７，４４（６）：１ ０３２—１ ０３７ Ｅ２３韩旭里，刘圣军．三次均匀Ｂ样条曲线的扩展［Ｊ３．计算机辅助设计与图形学学报，２００３，１５（５）：５７６—５７８． ［３］王文涛，汪国昭．带形状参数的均匀Ｂ样条［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学学报，２００４，１６（６）：７８３—７８８． ［４］王文涛，汪国昭．带形状参数的三角多项式均匀Ｂ样条［Ｊ］．计算机学报，２００５，２８（７）：１ １９２—１ １９８． ［５］王仁宏，李崇君，朱春刚．计算几何教程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８． Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｓｈａｐｅ Ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｕｂｉｃ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ ＷＡＮＧ Ｊｉｎｇｘｉｎ，ＪＵ Ｙａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６０２９，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ ｗｉｔｈ ｌｏｃａｌ ｓｈａｐｅ ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔｓ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊ ｅｃｔｉｖｅ Ｃｕｂｉｃ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ ｗｉｔｈ ｓｈａｐｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｅｘｐｌｏｒｅｓ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｃｈａｎｇｅ ｏｎ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａ— ｔｉｎｇ Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ ａｔ ｔｈｅ ｓｐｌｉｃｅ ｐｏｉｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｕｂｉｃ Ｂ－Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ；ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ；ｍａｔｒｉｘ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ （责任编辑向阳洁）