第24章圆教案

教 案

科目 数学 时刻 学生 第二十四章 圆

1. 圆的概念和有关概念 （1） 圆的概念，有两种方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

①

（2） 与圆有关的概念：

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示

线段AB，BC，AC都是弦；

②直径：通过圆心的弦叫做直径；如AC 是注意：圆心确信圆的位置，半径决定圆的大小。

O的直径，直径是圆中最长的弦；

③弧：圆上任意两点之间的部份叫做圆弧，简

称弧，如曲线BC,BAC都是O中的弧，别离记作BC和

BAC；

④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半

圆，如AC是半圆；

⑤劣弧和优弧：像BC如此小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC如此大

于半圆周的圆弧叫做优弧；

⑥同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； ⑦弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；

⑧等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重

合的弧叫做等弧；

⑨圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的AOB,BOC是圆心

角，圆心角的度数：圆心角的念书等于它所对弧的度数；

⑩ 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中

的BAC,ACB都是圆周角。

（3） 圆的有关性质

①圆的对称性

圆是轴对称图形，通过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。

②垂径定理

A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧；

B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且评分弦所对的两条弧。如图2所示。

注意

(1)直径CD，（2）CDAB,(3)AM=MB,(4)BDAC=BC,(5)AD=BD.假设上述5个条件中有2个成立，那么另外3个业成立。因此，垂径定理业称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB不能为直径）。

③弧，弦，圆心角之间的关系

A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；

④圆周角定理及推论

A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。

（4） 与圆有关的位置关系

①点与圆的位置关系，如图3

d表示点到圆心的距离，r表示半径。点和圆的关系如下表：

点与圆的位置关d与r的大小关系 系 点在圆内 dr 注意：A.过一点的圆有无数个；B.过两点的圆有无数个；C.通过在同一直线上的3点不能作圆；D.再也不同一直线上的3个点确信一个圆。

②三角形的外接圆

通过三角形的三个定点能够画一个圆，而且只能画一个圆。通过三角形的三个定点的圆叫做三角形的外接圆。三角形外接圆的圆心叫做那个三角形的外心。那个三角形就叫做那个原的内接三角形。三角形的外心确实是三角形三条变的垂直平分线的核心。它到三角形各极点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径。如图4

③直线与圆的位置关系

A. 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 数量关系

B. 圆的切线：

切线的概念：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，那个公共点叫做切点；

切线的判定定理：通过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

注意：直线l是O的切线，必需符合两个条件：1.直线l通过O上的一点；

。

1 d=r 2 dr 切线的行制定理：圆的切线垂直于经大国切点的半径；

切线长概念：咱们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；

切线长定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

④三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三

角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，那个三角形叫做圆的外且三角形，三角形的内心确实是那个三角形的三个内角平分线的核心。

注意：找三角形内切圆只需要画出两内角的角平分线交点。

⑤圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，能够取得下面五种位置关系，其中R和r为两圆半径（Rr），d为圆心距。 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

公共点个数 0 1 2 1 0 R和r的关系 d>R+r D＝R+r R-r①正多边形的有关概念

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，那个角叫做正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于

360。 n 注意：通过中心角的念书将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径。

②正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，那么两圆是同心圆。正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心距）之比。

(6)圆中的计算问题

①弧长公式：l＝

nR，其中l为n的圆心角所对的弧长，R为圆180的半径；

nR2②扇形面积公式：S＝，其中S为n圆心角所对的扇形的面

36012积，另外S＝lR；

③圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面展开是图是扇形，那个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥地面圆的周长；圆锥的全面积等于它侧面积和它底面积的和。

（7）求阴影面积的几种经常使用方式 ①公式法； ②割补法； ③拼凑法； ④等积变形法； ⑤构造方程法。

例题

1.如图1所示，O是

ABC的外接圆，弦CMAB，CN是直径，F是AB的

中点。

(1) 求证：CF平分NCM；（2）求证：AN=BM.

2. 如图2所示，AB=AC，O是BC的中点，O与AB相切于点D，求证AC与O相切。

3.如图3，AB是O的弦，圆心O到AB的距离OD＝1，AB＝4，那么该圆

的半径是____________.

4.如图4，O的直径AC＝8，C为O上一点，BAC＝30，那么BC＝_______cm。

5.如图5，已知O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个极点别离在半径

OM，OP和O上，而且POM＝45，那么AB的长为（ ）。

6.已知O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，假设直线l与O有交点，

那么以下结论中正确的选项是（ ） ＝r B.dr C.dr

D.dr

7.如图7所示，已知PA是O的切线，A为切点，PC与O相交于B,C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，那么PA的长等于（ ）

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8.如图8所示，O的直径AB＝4，ABC＝30，BC＝43，D是线段BC的中点。

（1）试判定D与O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DEAC，垂足为点E，求证直线DE是O的切线。

9.如图9，半圆的直径AB＝10，P为AB上的一点，点C,D为半径的三等分点，阴影部份的面积等于（ ）。

10.如图10所示，在O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连结AC。

（1）求证：AMC是等腰三角形；

（2）假设ACO为直径，求证：AC22AM•AB。

11.如图11所示，BD为O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4。

（1）求证：ABE相似于ADB，并求AB的长

（2）延长DB到F，使BF＝BO，连结FA，那么直线FA与O相切吗？什么缘故？