第四章四边形性质探索试题

一、中考要求：

1．经历特殊四边形性质的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验和体验，进一步培养合情推理能力，增强简单逻辑推理

能力，和掌握说理的基本方法．

2．掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系．

3．探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用的判别方法． 4．探索并了解正多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形概念．

5．通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计． 二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号 1 2 3 4 5 6 7 (二)中考热点：

四边形的折叠问题与函数图象一起考查是2004、2005年中考试题中的热点题型． 三、中考命题趋势及复习对策

四边形尤其是特殊的四边形，在近几年的中考试题中所占的比例较大，一般有两道题，一个是填空题或选择题，另一个是解答题，分值大约占总分的9％左右，多边形内角和的考题一般以填空题的形式出现；考查平行四边形及特殊的平行四边形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活，复习时要以基础知识和基本技能为主，但要注意各知识点的结合；近年来对平面图形的镶嵌考查的 力度有所增加，主要以填空、选择为主，复习时要注重理解概念．

所考知识点 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定 平行四边形的性质和判定 等腰梯形的性质和判定 多边形的密铺 多边形的综合应用 中心对称图形 比率 3~4% 3~4% 3~9% 3~9% 2~3% 7~9% 2% ★★★(I)考点突破★★★ 考点1：平行四边形的性质和判定

一、考点讲解：

平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．

1．平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边

分别平行”．

四边形的边角按位置关系可分为两类：

对边（没有公共端点的两条边） 邻边（有一个公共端点的两条边） 对角（没有公共边的两个角） 邻角（有一条公共边的两个角） 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段．

2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行

线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

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3．平行四边形的性质：

文字表达：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行

四边形的对角线互相平分． 图形如图1－4－1 符号语言表达：

四边形ABCD是平行四边形

4．平行四边形的判定： 文字表达：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 图形如图l－4－2： 符号语言表达：

AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形． OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB边形ABCD是平行四边形．

二、经典考题剖析：

【考题1－1】（2004、宁安）如图1―4―3，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那么SΔDMN：S□ABCD为（

）

A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6

【考题1－2】（2004、海口）如图1―4―4，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，

那么m的取值范围是（ ）

A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6

【考题1－3】（2004、南宁，2分）顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 ___________四边形．

【考题1－4】（2004、深圳南山）如图1―4―5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由， 解：添加的条件__________，理由：

解：条件：对角线相等．理由：如图l－4－6，连结 AC、BD，因为在△ABC中，AE=BE，PF＝CF，所以EF是△ABC111的中位线．所以 EF=·AC．同理可得 FG= BD，GH= AC，HE= BD．又因为AC=BD（添加条件）所以EF=FG=GH=HE．故

222四边形EFGH为菱形．

点拨：主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定定理．

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【考题1－5】（2004、青岛）已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. (1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

解：（1）∵PM∥AB，QM∥AC ∴四边形AQMP为平行四边形

且∠1＝∠C，∠2＝∠B 又∵AB＝AC＝a ∴∠B＝∠C ∴∠1＝∠B＝∠C＝∠2 ∴QB＝QM，PM＝PC∴四边形AQMP的周长为：

AQ＋QM＋MP＋PA＝AP＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a； （2）△ABC∽△QBM∽△PMC； （三对中写出任意两对即可）

（3）当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形. 当M为BC中点时 ∵PM∥AB. QM∥AC ∴PMQM1aAC＝ ∴PM＝QM 221AB＝a 22由（1）知：四边形AQMP为平行四边形 ∴四边形AQMP为菱形.

点拨：通过对四边形的基础知识的考查来增强同学们的探索能力和逻辑思维能力． 三、针对性训练：(45 分钟) (答案：233 ) 1．在□ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝____

2．已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.

3．平行四边形的面积为144㎝2 ，若相邻两边上的高分别为8cm和12cm，则这两个邻边的长分别是 _______和______，

平行四边形的周长是_______．

4．四边形任意两个相邻的角都互补，那么这个四边形是________． 5．在四边形ABCD中，给出下列条件：

①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的组合是_______．

6．下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（） A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3 7．平行四边形一组对角的平分线（ ） A．在同一条直线上． B．平行 C．相交 D．平行或在同一直线上 8．以不在同一直线上的三点作平行四

边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如果图1―4―9四边形ABCD是平行四边形，BD

⊥AD，OB=3，AD=4，求 AB、AC、BC的长及S□ABCD

10 如图1―4―10，在□ABCD中，CE是 ∠DCB的平分线，F是 AB的中点，AB=6，

BC=4，E、EF、FB为多少？

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11 现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明

你的方案正确的理由．

12 如图1―4―11，已知等边三角形ABC的边长为a， P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，点D、E、F

分别在 BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明你的猜想．

13 如图1―4―12，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明

字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可） （1）连接_______；（2）猜想________ （3）说明理由.

○

14 如图1―4―13，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．

考点2：矩形、菱形、正方形的性质 和判定

一、考点讲解：

l．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形

是矩形．

5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对

角线平分一组对角．

6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④

对角线互相垂直的矩形是正方形． 7．平行四边形与特殊

平行四边形的关系 如图1―4―14所示．

二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2004、深圳南山）如图1―4―15，矩形ABCD中 ，E在 AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则 AE的长是（ ）

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A．3 B．4 C．5 D．7 解：A 点拨：△AEF≌△DCE， 所以 AE=DC，所以AE+ ED+DC=

16 2

2AE+2=8 AE=3．

【考题2－2】（2004、贵阳）如图1―4―16，菱形A B CD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于 E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是___

解：2.5 点拨：由题可知，PE∥BC，PF∥CD．则四边形AEPF为菱形．由菱形的性质可知，SΔAEP=SΔFEP，所以阴影的面积为S阴=SΔ

ABC=2

1

11

S菱形= × ×2×5=2.5

22

【考题2－3】（2004、宁安）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_________

四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2„„如此进行下去得到四边形AnBnCnDn . （1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（6分） （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（2分） （4）求四边形A5B5C5D5的周长.（4分）

【考题2－4】（2004、贵阳，10分）如图13，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到

（1）证明∵点A1，D1 分 别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中 位线 ∴A1D1∥BD， A1D11BD，同理： 2B1C1∥BD ，B1C11BD ∴AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形

1111111111112∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1 即∠B1A1D1=90° ∴四边形ABC是矩形 111D1（2）四边形ABC的面积为12；四边形A2B2C2D2 111D1的面积为6；

（3）四边形AnBnCnDn的面积为241； 2n（4）方法一：由（1）得矩形ABC的长为4，宽为3； 111D13x∵矩形A5B5C5D5∽矩形ABC；∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，则4x111D1解得x13；∴4x1,3x； 44124, 2537∴矩形A5B5C5D5的周长=2(1).

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方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形ABC的面积 111D1=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形ABC的周长）2即3∶12 =（矩形A5B5C5D5的周长）2∶142 111D14∴矩形A5B5C5D5的周长=311427

4122点拨：本题是识图题，除考查基本的数学知识外，特别考查观察能力和想象能力，第比⑶、⑷题既可以从几何的角度写出结论，也可以从代数的 角度写出结论．适合于不同的思维特征的考查． 三、针对性训练：( 60分钟) (答案：233 )

1．延长等腰三角形ABC顶角平分线AD到E，使DE =AD，连结BE、CE，则四边形ABEC是_____形．

2．菱形的周长为40cm，它的一条对角线长为10cm，则菱形相邻的两个角分别是_______和_________． 3．菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5：4, 则它的各内角度数为_______． 4．对角线AC=13cm，BC=12cm的矩形ABCD，其面积为_____ 5．若菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（ ） A．60

○

B．45

○

C．30

○

D．15

○

6．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）

A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 7．正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A、

22a

a B、 a C、 D、22 a 242

8．如图1―4―19，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC= 10cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，则四边形AEFD的面积为（ ）

A．28cm2 B．26 cm2 C．24 cm2 D 20 cm2

9．如图 1―4―20，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l：3 ,若AB=2，

求菱形ABCD的面积．

10 如图1―4―2l，在边长为a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点， 满足A E＋CF=a，说明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形．

11 已知如图l－4－22，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分

别为F、G，则PF＋PG=AB成立吗？为什么？

12 已知：如图l－4－23，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，

请回答下列问题：

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（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

13在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同

学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．

请问：你同意谁的看法．要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图1－4－24，

四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．

14 检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。 15 如图1－4－25，在△ABC中，∠ACB＝90 ，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并

且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当上B的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论； （3）四边形A CEF有可能为正方形吗？为什么？

○

考点3：等腰梯形的性质和判定

一、考点讲解：

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角

梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形． 4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图l－4－26

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．如图l－4－27． （3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29． 二、经典考题剖析：如图――

【考题3－1】（2004、潍坊）如图l－4－30，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征： 解：∠A＝∠B；∠C=∠D；AD=BC等

点拨：主要考查等腰梯形的性质，要把等腰梯形和一般梯形的性质区分开．

【考题3－2】（2004、北碚）如图l－4－31有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为 10cm，∠D=120o，则该零件另一腰AB的长为___________（结果不取近似值）

解：5 3 点拨：平移腰AB，可以得到含30o角的直角三角形，再根据勾股定理，可得AB=53

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【考题3－3】（2004、青岛，3分）已知：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．

解：5 点拨：通过平移对角线构造出等腰直角三角形，等腰直角三角形的高就是梯形的高．

【考题3－4】（2004、贵阳）同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（ 只需画图说明）.

已知：梯形ABCD，AD∥BC且∠B=∠C（或∠A=∠D） 求证：梯形ABCD是等腰梯形 证明：过点A作AE∥DC，交BC于E ∵AD∥BC AE∥DC

∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB=∠C，AE=DC ∵∠B=∠C ∴∠AEB=∠B ∴AB=AE ∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形

【考题3－5】（2004、南宁，10分）26、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）

⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。

⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m和10元/m，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由。

222

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点拨：本题是阅读理解题，重视考查“用数学”的意识，试题素材贴近生活．通过观察——发现的思维，自主探索，发现有意义的结论，积极创设思考空间，以探究性试题考查探究能力． 三、针对性训练：( 60分钟) (答案：234 )

1．等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为（ ） A．30o B．45 o C．60 o D．75 o 2．顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（ ）

A．梯形 B．矩形 C．平行四边形D．菱形 3．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与

下底的夹角为（ ）

A．60 o B．30 o C．45 o D．15 o

4．如图l－4－34，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥ BC，△BCD是等边三角形，若BC=2，则AD=_______， AB=_______.

5．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，若 AD=15，BC=49，则腰AB=_______ 6．已知梯形的上底为4，两腰分别为6和8，两底角互余，则下底长为_________

7．如图l－4－35，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，说明： （1）AE与1BE有怎样的位置关系？为什么？

（2）AE、BE是否是∠BAD和∠ABC的平分线？ 请说明理由．

8．如图l－4－36，在梯形ABCD中，AD⊥BC，AB=CD,∠B＝60 ,AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长． 9．在四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，AC、BD 相交于O，AD≠BC，

（1）四边形ABCD是怎样的四边形？请说明理由．

（2）若去掉已知条件中的AD∥BC，其他条件不变,四边形ABCD又是怎样的四边形？说说你的理由． 10 已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC上BD，AD=3cm，BC=7cm，求梯形的面积S.

11如图1－4－37，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边

AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边 形、等腰梯形？

12 如图1－4－38，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45 ,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕分别交边 AB、

BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．

○

○

○

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考点4：多边形的内角和及外角和

一、考点讲解：

1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，

组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

2．多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°．

3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．

4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处

取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°． 5．过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有6．过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形． 二、经典考题剖析：如图――

【考题4－1】（2004、贵阳）正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n=______ 解：8 点拨：主要考查n边形的内角和公式．

【考题4－2】（2004、青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.

问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？ A

（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题： 已知：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）； 求证：S△OBC·S△OAD=S△OAE·S△OCD.

（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图②）求证：_________________。

（3）在三角形中（如图③），你能否归纳出类似的结论？若能，用文字叙述你归纳出的结论，并写出已知、求证和证明过程；若不能，说明理由.

解：（1）证明：分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：

1S△AOBBO·AE A 2 S△CODS△AOD1DO·CF 2n(n3)条对角线． 2A

A O D

O B

D

B ①

C B O ②

C

D

O

A D

③

C B ①

C

O E B

F C

D

1DO·AE 2第 10 页 共 18 页

S△BOC1BO·CF 2B ∴S△AOB ·S△CODS△AOD·S△BOC

1BO·DO·AE·CF 4A

E

1BO·DO·CF·AE 4O F D

C

∴S△AOB ·S△COD ＝S△AOD·S△BOC.

（2）能.从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等.或S△AOD·S△BOC＝S△AOB ·S△DOC 已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点 求证：S△AOD·S△BOC＝S△AOB ·S△DOC 证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AODS△OAB11OB·AE，S△DOCOD·CF 2211DO·AE，S△BOCBO·CF 22 ∴S△AOD·S△BOC  S△OAB ·S△DOC1OB·OD·AE·CF 41BO·OD·AE·CF 4 ∴S△AOD·S△BOC＝S△OAB ·S△DOC

点拨：本题综合运用四边形和三角形的有关性质 ，考查了探索能力和逻辑思维能力。

【考题4－3】（2004、鹿泉，8分）在图1－4－42给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线、任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．

①请你在图12-2中相应图形下方的横线上，分别填写的S1和S2的数量关系式（用“<”、“=”、“>”连接）；

②请你在图12-3中分别画出反映S1和S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上，分别填写的S1和S2的数量关系式（用“<”、“=”、“>”连接）．

（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12-4）分割成面积相等的两部分？请简略说明理由

（3）存在，对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线l分割后，设直线l两侧图形的面积分别为S1、S2 ，两侧图形的面积为S1＜S2或（S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2或（S1＜S2）的情形，在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻，因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等两部分． 点拨：本题是操作探究题，形成新颖的入口宽、出口窄一种题型，让读者在特殊的操作过程中，联想探索一般的平面图形成立的结论，主要考查了操作探究能力和从特殊到一般的数学思想方法．

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三、针对性训练：( 分钟) (答案： ) 如图―― 1．n边形的每个内角等都等于120 ，则n等于_____

2．一个正多边形的每个外角都是36 ，则这个多边形是_________边形．

3．从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成 _______个三角形，n边形内角和为_________. 2

4．一个多边形的外角和等于它内角和的 ，则这个多边形的边数为____________-.

35．一个多边形的内角与外角的总和为2160°， 则此多边形是_________边形． 6．当多边形的边数由n增加到n＋1时，它的内角和增加（ ） A．180 A．0

○

○○

B．270B．280

○

C．360

○

D．120 D．900

○

○

7．下面角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ）

○

○

C．1800

○

8．若多边形的边数由3增加(n为正整数)，则其外角和的度数（ ）

A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定

9．有两个多边形，它们边数的比为l：2，内角和的比为1：4，能确定它们各是几边形吗？ 10 如图l－4－45，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D+∠E＋∠F+∠G的和．

11 如图l－4－46，求图中能用字母表示的9个角的度数．

12 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

13 在学校的大操场，小明从A点出发向前直走50m，向左转18°继续向前走50m，再左转

18°他以同样走法回到A点时，共走了________m．

考点5：平面的密铺

一、考点讲解：

1．定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密

铺，也叫平面图形的镶嵌．

2．对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必

须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角． 二、经典考题剖析：

【考题5－1】（2004、南宁，3分）如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺，那么至少需要（ ） A．三个正三角形，两个正方形 B．两个正三角形，三个正方形 C．两。河三角形，两个正方形 D．三个正三角形，三个正方形

解：A 点拨：正三角形的一个内角为60°正四边形的一个内角是90o，而3 ×60 o+2×90 o－360 o，所以需3个正三角形，2个正方形可以密铺．

【考题5－2】（2004、宁安，3分）使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ） A．正六边形地砖 B正五边形地砖 C．正方形地砖 D正三角形地砖 解：B 点拨：正五边形的一个内角为108 o而不是整数，所以正五边形不能密铺．

【考题5－3】（2004、潍坊，2分）某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）

A．正三角形 B．矩形 C．正八边形 D．正六边形

3600

解：C 点拨：正八边形的一个内角是135而0 不是整数，用2个则留空隙，若用3个就重叠，所以不能选正八边形。

135

o

三、针对性训练：( 10分钟) (答案：235 )

1．当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成__________时，多边形可以密铺．

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2．用正四边形一种图形进行平面图形的密铺时，在它的一个顶点周围的正四边形的个数为_______.

3．如果只用一种正多边形作平面图形的密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多方形，则该正多边形

的边数是__________．

4．某人到瓷砖商店去购买一种正多边形形状的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正十二边形 5．下列多边形中，只用一种即可进行密铺的图形个数为（ ）

⑴正五边形，⑵正四边形，⑶正三角形，⑷正六边形，⑸正七边形，⑹正八边形． A．4 B．3 C．2 D．1

6．请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若不能打“ ×”

（1）正方形（ ）； （2）正七边形（ ）； （3）正六边形（ ）；

（4）正三角形与正十边形（ ）； （5）正方形与 正八边形（ ）； （6）正三角形、正方形与正六边形（ ）； （7）任意四边形（ ）； （8）任意三角形（ ）．

7．用正三角形和正方形可以密铺吗？若能，请说明在一个顶点处各需要几个正三角形和几个正方形；若不能，请说明理由．

考点6：中心对称图形

一、考点讲解：

1．定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这

个点叫做它的对称中心．

2．性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分． 3．中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称．

4．中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称． 二、经典考题剖析：

【考题6－1】（2004、衢州，3分）下列几个图形（见图1－4－47）是国际运用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ） 解：D 点拨：判定一个图形是不是中心对称图形， 看其绕某一点旋转180o后能否和原图形重合．

○

【考题6－2】（2004、浙江绍兴，3分）4张扑克牌如(图1－4－48⑴）所示放在桌子上小敏把其中一张旋转180°后得到如图（1－4－48⑵）所示，那么她所旋转的牌从左数起是 （ ） 三、针对性训练：(10 分钟)

1．在我们学过的图形：线段、直线、射线、角、等腰三角形、平行四边形、矩形展形、正方形、

等腰梯形、圆中，其中轴对称图形是一，中心对称图形是 _______________，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______________．

2．在图1－4－49中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

3．下列图形中，既不是中心对称图形，又不是轴对称图形的是（ ） A．直角梯形 B．两条相交直线

C．正五边形 D．把一张纸对折，任意剪成一个形状，把它打开后，所得到的图形

4．图1－4－50中，由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）

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5．(2005，长沙）下列说法中，正确的是（ ）

A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．正方形的对角线互相垂直平分且相等

C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．菱形的对角线相等

6．已知四边形ABCD，如图1－4－51，求作四边形 ABCD关于点A的对称图形．

7．已知四边形ABCD和AB的中点O，求作四边形ABCD关于点O的对称图形．

8．如图1－4－52，已知直线l1⊥l2，垂足为O，作线段PM关于直线l1、l2的对称线段M1P1、M2P2 ，

并说明M1P2和M2P2关于点O成中心对称．

★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★

（79分，45分钟）答案(P236)

【回顾1】（2005、北京，5分）如图1－4－53，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BE⊥AC于 E，CF⊥BD于 F．求证：BE=CF．

【回顾2】（2005、北京，5分）如图l－4－，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若 BC=12，DC＝7，BE：EC=1：2，求AB的长

【回顾3】（2005、内江）如图1－4－56，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ） A、AD＝BC′ B、∠EBD＝∠EDB C、△ABE∽△CBD D、sinABEAE

ED【回顾4】（2005、衢州，9分)已知：如图1－4－56，AG∥BC，DE∥AG，GF∥AB，点点E为AC

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的中点，求证：DE=FC

【回顾5】（2005、临沂）．如图1－4－57，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（ ）

(A)42． (B)52 (C)6． (D)9．

【回顾6】（2005、临沂）．如图1－4－58，Rt△ABC中，A＝90，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动(不与B、C重合)，过D点分别向AB、Ac作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为 ________________

【回顾7】（2005、重庆）如图1－4－59，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度

【回顾8】（2005、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1－4－60所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________。

【回顾9】（2005、小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块四边形墙角需铺设(如图1－4－61甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1－4－61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)

【回顾10】（2005、南充）如图1-4-62，正方形ABCD的边长为1 cm，AC

是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．（1）求证：BE＝CF．

（2）求BE的长．

【回顾11】（2005、南充）如图1-4-63，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

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（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围．

（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由

【回顾12】（2005、武汉）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图1-4-所示的图形，已知∠CED=60°，则∠AED的大小是（ ） A．60°. B．50°. C．75°. D．55°

如图1-4-

【回顾13】（2005、武汉）如图1-4-65，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC ＝∠BCD，AD＝BC，求证：AO＝BO.

【回顾14】（2005、自贡，4分）张珊的父亲打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙，又不重叠，所购瓷砖形状不能是（ ） A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形

【回顾15】（2005、自贡，4分）从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的（ ）

A．两腰长的和 B．周长的一半 C．周长 D．一腰长与底边长的和

【回顾16】（2005、杭州）在平行四边形ABCD中, ∠B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF，则∠E+∠F的值为( ) (A)110 O (B)30 O (C)50 O (D)70 O

D 如图1-4-65

C

O A B ★★★(III)2006年中考题预测★★★ ( 100分 60分钟) 答案(236 )

一、基础经典题(36 分) (一)选择题(每题3分，共18分)

【备考1】下列四边形中，两条对角线一定不相等的 是（ ）

A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形

【备考2】如图1－4－67，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（ ）

A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5 【备考3】某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形

形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A． 正方形B．正六边形C.正八边形 D.正十二边形 【备考4】如图1－4－68，在菱形ABCD中，∠BAD

＝80 ，AB的垂直平分线EF交对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）

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A．80° B．70° C．65° D．60° 【备考5】下列四个命题中，假命题是（ ）

A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．菱形的一条对角线平分一组对角 C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 D．等腰梯形的两条对角线相等

【备考6】如图1－4－69，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形， 则矩形ABCD的面积为（ ）

A．98 B． 96 C．280 D．284 （二）填空题（每题3分，共18分）

【备考7】已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．

【备考8】已知AD为∠ABC的角平分线，E、F分别为边AB、AC中点，连接DE，DF，在不再添加其他线段的前提下，要使四边形AEDF为菱形，还需添加一个条件，这个条件是__________

【备考9】直角梯形下底与一腰的夹角为60°，此腰与上底长都为8，则中位线长为_______．

【备考10】如图l－4－70，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-

【备考11】如图1－4－71，ABCD是面积为a2 的任意四边形，顺次连结ABCD各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn则四边形AnBnCnDn的面积为___________

【备考12】如图1－4－72，在矩 形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，A B=7cm， 且A E：EB=5：2，则阴影部分的面积为_________㎝2. 二、学科内综合题（每题10分，共20分）

【备考13】如图1－4－73，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， （1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是 h，梯形的周长为C，则C=___________（请用含a、 b 、c的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明) （3）若AD=3，BC=7，BD=5

5 ，求证：AC⊥BD．

【备考14】阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1－4－74给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．

请你按照上述方法将图l45中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形．

三、跨学科渗透题(8分)

【备考15】如图1－4－76，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）

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四、实际应用题(10分)

【备考16】师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行

（1）如图1－4－77，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图1－4－77①），使AB=CD，EF= GH； （2）摆放成如图1－4－77②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是__________．

（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图1－4－77③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图1－4－77④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________

五、渗透新课标理念题

【备考17】(开放题）用三种不同的方法把平行四边形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．

【备考18】（探究题）如图如图1－4－79，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间 （0＜t＜6），那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论

【备考19】（猜想题）如图l－4－80，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．

（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE＝∠AOF＝90o，BO=AO，又因为AG⊥EB，所以∠l+∠3 =90°=∠2+∠3，所以∠l＝∠2，所以 Rt△BOE≌Rt△AOF，所以OE=OF．

解答此题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，AG交 EB的延长线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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