《认识无理数》经典第一课时 公开课一等奖 教案

第二章实数 认识无理数 (一 )

教学目标

(一)教学知识点

1.通过拼图活动 ,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由. (二)能力训练要求

1.让学生亲自动手做拼图活动 ,感受无理数存在的必要性和合理性 ,培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回忆有理数的有关知识 ,能正确地进行推理和判断 ,识别某些数是否为有理数 ,训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观要求

1.引导学生充分进行交流 ,讨论与探索等教学活动 ,培养他们的合作与钻研精神.

2.了解有关无理数发现的知识 ,鼓励学生大胆质疑 ,培养他们为真理而奋斗的献身精神. 教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教具准备

有两个边长为1的正方形 ,剪刀.

投影片两张：第|一张：做一做(记作§2.1.1 A)； 第二张：补充练习(记作§2.1.1 B). 教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课：

［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些

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数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数.

［师］对 ,我们在小学学了非负数 ,在初一发现数不够用了 ,引入了负数 ,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围 ,有理数包括整数和分数 ,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢 ?下面我们就来共同研究这个问题. Ⅱ.讲授新课

1.问题的提出［师］请大家四个人为一组 ,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀 ,认真讨论之后 ,动手剪一剪 ,拼一拼 ,设法得到一个大的正方形 ,好吗 ?

［生］好.(学生非常快乐地投入活动中).

［师］经过大家的共同努力 ,每个小组都完成了任务 ,请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题 ,假设拼成大正方形的边长为a ,那么a应满足什么条件呢 ?

［生甲］a是正方形的边长 ,所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积 ,所以根据正方形面积公式可知a2 =2.［生丙］由a2 =2可判断a应是1点几.［师］大家说得都有道理 ,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数 ,那么a是整数吗 ?a是分数吗 ?请大家分组讨论后答复.

［生甲］我们组的结论是：因为12 =1 ,22 =4 ,32 =9 ,…整数的平方越来越大 ,所以a应在1和2之间 ,故a不可能是整数.

111224111,,224339339 ,…两个相同因数的乘积都为分数 ,［生乙］因为

所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知 ,在等式a2 =2中 ,a既不是整数 ,也不是分数 ,所以a不是有理数 ,但在现实生活中确实存在像a这样的数 ,由此看来 ,数又不够用了.

2.做一做：投影片§2.1.1 A

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(1)在以下图中 ,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 ? (2)设该正方形的边长为b ,那么b应满足什么条件 ? (3)b是有理数吗 ?

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中 ,假设两条直角边长为a ,b ,斜边为c ,那么有a2 +b2 =c2. ［师］在这个题中 ,两条直角边分别为1和2 ,斜边为b ,根据勾股定理得b2 =12 +22 ,即b2 =5 ,那么b是有理数吗 ?请举手答复.

［生甲］因为22 =4 ,32 =9 ,4＜5＜9 ,所以b不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得5 ,故b不可能是分数. ［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5 ,所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确 ,像上面讨论的数a ,b都不是有理数 ,而是另一类数 - -无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前 ,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆 \"数〞 ,即 \"宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比〞 ,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来 ,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示 ,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条 ,据说为此希伯索斯被投进了大海 ,他为真理而献出了珍贵的生命 ,但真理是不可战胜的 ,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2 =2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的 ,我们一方面应积极地学习这些经验 ,另一方面我们也不能死搬教条 ,要大胆质疑 ,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进 ,要向古希腊的希伯索斯学习 ,学习他为保卫真理而勇于献身的精神. Ⅲ.课堂练习

(一)课本P21随堂练习

如图 ,正三角形ABC的边长为2 ,高为h ,h可能是整数吗 ?可能是分数吗 ? 解：由正三角形的性质可知BD =1 ,在Rt△ABD中 ,由勾股定理得h2 =3 ,h不可能是整数 ,也不可能是分数. Ⅳ.课时小结

1.通过拼图活动 ,让学生感受有理数又不够用了 ,经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.

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2.能判断一个数是否为有理数. Ⅴ.补充作业

边长分别为2、3的长方形 ,它的对角线长可能是整数吗 ?可能是分数吗 ?假设边长分别为1.5、2呢 ?

解：①设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a ,得a2 =32 +22 ,a2 =13 a不可能是整数 ,也不可能是分数；

②边长分别为1.5、2时 ,根据勾股定理可知 ,对角线长 =2.5 ,是分数 ,也是无理数.

Ⅵ.活动与探究

P22 ,习题2.1 ,问题解决1.以下图是由16个边长为1的小正方形拼成的 ,任意连结这些小正方形的假设干个顶点 ,可得到一些线段 ,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 解：如图 ,AB =2 ,BE =1 ,AB、BE是有理数. AD2 =AB2 +BD2 =22 +32 =13 ,AC2＝1＋1＝2. AE2 =AB2 +BE2 =22 +12 =5.

AC、AD、AE既不是整数 ,也不是分数 ,所以不是有理数. 板书设计：

§2.1.1 认识无理数(一) 一、问题的提出(讨论a2 =2中的a既不是整数 ,也不是分数) 二、做一做(由勾股定理得b2 =5 ,且b既不是整数 ,也不是分数) 三、练习 四、小结 五、作业