维普资讯 http://www.cqvip.com Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２３，Ｎｏ．１，ＰＰ．１４８—１５０ Ｍａｒ．２００７ ＩＳＳＮ １００３－－７９８５ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ａ Ｃ ｍａｐ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ Ｓｈｉ Ｐｉｎｇ Ｍａ Ｊｉｐｕ。 （ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉａｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００３，Ｃｈｉｎａ） （ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２ １００９３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔｆ ｂｅ ａ Ｃ ｍａｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ Ｅ ａｎｄ Ｆ．Ｉｔ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ａｐｏｉｎｔｓ ｏｆｆ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｅ ｎｏｔｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔｓ ｏｆ｛。ｈａｓ ｓｏｍｅ ｃｒｕｃｉｌａ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ａｎｄ ｇｌｏｂａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｗｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｅ ｔｚｈｅ ｇｅｎｅｒｌｉａｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔｓ ｏｆ ｆ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｉｎｔｅｇｅｒ－ｖａｌｕｅｄ（ｏｒ ｉｎｆｉｎｉｔｅ）ｉｎｄｉｃｅｓ Ｍ（ｘｏ），Ｍｏ（ｘｏ）ａｎｄ ＭＡｘｏ）ａｔ Ｘｏ∈Ｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙｆａｎｄ ｂｙ ｎａｌａｙｚｉｎｇ ｇｅｎｅｒｌｉａｅｄ ｚｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｉｆｆ （Ｘｏ）ｈａｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｅｄ ｚｉｎｖｅｒｓｅ ｉｎ ｈｅ ｔＢａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ坝Ｅ， ｏｆａｌ１ ｂｏｕｎｄｅｄ １ｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ Ｅｉｎｔｏ Ｆ ａｎｄ ａｔ １ｅａｓｔ ｏｎｅ ｏｆｔｈｅ ｉｎｄｉｃｅｓ Ｘｏ）， （Ｘｏ）ａｎｄ （Ｘｏ）ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ，ｔｈｅｎ Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒｌｉａｅｄ ｒｚｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔ ｏｆｆ ｉｆ ｎｄ ｏｎｌａｙ ｉｆ ｈｅｔ ｍｕｌｉｔ－ｉｎｄｅｘ（Ｍ（ ）， （ ），Ｍｒ（ ））ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｔ Ｘｏ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ；ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌｉｅｄ ｉｚｎｖｅｒｓｅ；ｉｎｄｅｘ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉｎｔ；ｓｅｍｉ－ ａＦｒｅｄｈｏｌｍ ｍａＤ Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １ Ｌｅｔ ｆ．－Ｕ ｃ Ｅ—｝ ｂｅ ａ Ｃ ｍａｐ． ｗｈｅｒｅ Ｕｉｓ ｏｐｅｎ ｉｎ Ｅ．Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｘ０∈Ｕｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｇｅｎ－ ａｎｄ ｒｅｇｕｌｒ ｖａｌａｕｅｓ ｏｆ ａ Ｃ ｍａｐｐｉｎｇ ｆ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｇｌｏｂａｌ ａｎａｌ— ｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔ ｏｆ｛ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｇｅｎｅｒｌｉａｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅｆ （ｘ０） ｏｆ ｆ （ｘ０）ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｒ（ｆ （ ））ｎ Ⅳ（ｆ （ｘ０） ）＝｛０）ｎｅａｒ ｘ０，ｗｈｅｒｅｆ （ ）ｉｓ ｔｈｅ Ｆｒ６ｃｈｅｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆｆａｔ ∈Ｕ． Ｄｅｆｉｉｔｎｉｏｎ ２ Ｌｅｔ ｆ．－Ｕ ｃ Ｅ—｝ ｂｅ ａ Ｃ ｍａｐ， ｗｈｅｒｅ Ｕ ｉｓ ｏｐｅｎ ｉｎ Ｅ．Ａ ｐｏｉｎｔ Ｙ∈Ｆ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌ— ｙｓｉｓ．Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｅ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆｆ ｗａｓ ｉｆｒｓｔ ｉｎ－ ｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ Ｒｅｆ．［１】，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒｌｉａｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔｓ ｏｆｆ ｎｄ ｈａｓａ ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔｎｔａ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｒｅｆｓ．【２—３】．Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｖａａｌｕｅｓ ｏｆｆ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｅ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆｆｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ ｒｅｇｕｌｒ ｖａａｌｕｅｓ ｏｆｆＴｈｅ ａｌｍ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｏ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ａｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｆ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｐｒｅｉｍａｇｅ 厂 （），）ｉｓ ｅｍｐｔｙ ｏｒ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ａｐｏｉｎｔｓ ｏｆｆ． Ｆｏｒ ａ Ｃ ｍａｐｐｉｎｇ ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｒｅｅ ｉｎｄｉｃｅｓ． ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ａ Ｃ ｍａｐｐｉｎｇ ｆ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ｂｙ ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｌｅｔ ｕｓ ｒｅｃａｌｌ ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｎｏｔａ－ ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ Ｅ ａｎｄ Ｆ ｄｅｎｏｔｅ Ｂａｎａｃｈ Ｄｅｆｉｉｔｎｉｏｎ ３ Ｌｅｔ｜ＵＣ Ｅ Ｆ ｂｅ ａ Ｃｌ ｍａｐｐｉｎｇ， ｗｈｅｒｅ Ｕ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｎ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｅ．Ｆｏｒ ａｎｙ ∈Ｕ．ｄｅｆｉｎｅ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ。双Ｅ， ｉｓ ｈｅ ｔｓｅｔ ｏｆ ｌａｌ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐ— ｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ Ｅ ｉｎｔｏ Ｆ．Ｌｅｔ Ｒ（ ｎｄ Ｎ（ａ ）ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ （ ）＝ｄｉｍＮ（ｆ （ ）），＾ （ ）＝ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （ ））ａｎｄ Ｍｒ（ｘ）＝ｄｉｍＲ（ｆ （ ））． Ｃｌｅａｒｌｙ， （ ），＾ （ ），＾ （ｘ）∈Ｚ ，ｗｈｅｒｅ Ｚ ＝ｒｎｇｅ ａａｎｄ ｎｕｌｌ ｓｐａｃｅ ｏｆ Ｔ∈坝Ｅ，Ｆ），ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ ∈坝Ｆ，Ｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ Ｔ∈坝Ｅ，ｎ，ｉｆ ７Ｔ Ｔ＝Ｔ ｎｄ Ｔ ７Ｔ ＝Ｔ Ｉａ ．Ｌｅｔ ｆ Ｕ ＣＥ Ｆ ｂｅ ａ Ｃｌ ｍａｐｐｉｎｇ，ｗｈｅｒｅ Ｕ ｉｓ ｏｐｅｎ ｉｎ Ｅ．Ａ ｐｏｉｎｔ ∈Ｕ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｒｅｇｕｌｒａ ｐｏｉｎｔ ｆｏｒｆｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ 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ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｆ． 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ａ Ｃ ｍａｐ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ １４９ Ｔｈｅｏｒｅｍ １ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ｝ ＵＣＥ Ｆ ｉｓ ａ Ｃｌ ｍａｐｐｉｎｇ． １）Ｉｆ Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔｈｅｎ Ｍ（ｘ），Ｍｃ（ｘ）ａｎｄ Ｍｒ（ｘ）ａｒｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｔ ｘｏ． ２）Ｉｆｆ （Ｘｏ）ｈａｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｎ钡Ｆ， ｎａｄ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｄｉｃｅｓ Ｍ（ ）， （ ）ａｎｄ （ｘ０）ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ，ｔｈｅｎ Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ｐｏｉｎｔ ｏｆｆ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｍｕｌｉｔ—ｉｎｄｅｘ（ （ ）， （ ）， （ ））ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｔ Ｘｏ． Ｐｒｏｏｆ １）Ｓｉｎｃｅ ｘ０ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ｐｏｉｎｔ ｏｆｆ，ｂｙ ｌｅｍｍａ １， ｘ）ｉｓ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｔｏ ｆ （ｘｏ）ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ Ｕ（ｘｏ）ｏｆ ｘｏ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｔｗｏ ｄｉｆ－ ｆｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ“： ） “（Ｕ（ｘｏ）），Ｖ： ０） Ｖ（ ０）） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｕ（ｘ０）＝０，ｖ（０）＝ Ｘｏ）ａｎｄ ｘ）＝ｖ（ｆ （ ｏ）ｕ（ｘ）） ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈ ｘ０），ｗｈｅｒｅ ｖ（ｏ）ｉｓ ａ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ ａｔ ０ Ｆ ｗｈｅｎｃｅ ， （ ）＝ｖ （， （Ｘｏ）ｕ（ｘ））ｆ （ ｏ）ｕ ｒ（ ） ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈ ｘ０）． Ｌｅｔ Ａ（ｘ）＝ｖ （， （Ｘｏ）ｕ（ｘ）），Ｂ（ｘ）＝ｕ ｒ（ ）ｆｏｒ ａｌｌ ｘ ∈ Ｘｏ）．Ｓｉｎｃｅ ｕ ａｎｄ ｖ ａｒｅ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ，Ａ（ｘ） ∈坝Ｆ， ａｎｄ Ｂ（ｘ）∈钡Ｅ，Ｅ）ａｒｅ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｘ∈Ｕ（ｘ ）．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈａｔ ｆ （ｘ）：Ａ（ｘ）ｆ （ ） Ｂ（ｘ），Ⅳ（ｆ （ 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ｏｎｌｙ ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｃｙ ｂｙ １）． Ｓｉｎｃｅ Ｍ（ｘ）， （ｘ）ａｎｄ （ｘ）ａｒｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｔ ｘｏ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ Ｖ ａｔ ｘｏ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｍ（ｘ） ＝Ｍ（ｘｏ）， （ ）＝ＭＡｘｏ）ａｎｄ （ ）＝Ｍｒ（Ｘ０）ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈ Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆｆ （ ）ａｔ ｘ０ ｔｈａｔ ｈｔｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ Ｖｏ ｏｆＸｏ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｌｌ， （ ）一， （ 。）ｌｌ＜ｌＩｆ （ ） ｌｌ一 ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ，ｗｈｅｒｅｆ （Ｘ０） ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｆ （Ｘｏ）． Ｄｅｎｏｔｅ Ｃ（ｘ）＝ＩＦ＋（ｆ （ ）－－ｆ （Ｘ０））ｆ （ 。） ａｎｄ Ｄ（ｘ）＝ ＋， （Ｘｏ） （ｆ （ ）一， （ ｏ）） ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈Ｙｏ，ｗｈｅｒｅ Ｉ Ｆａｎｄ ｌ Ｅａｒｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ Ｆ ａｎｄ Ｅ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｎ Ｃｔ ∈ ｔＦ，Ｆ ａｎｄ Ｄ（ｘ）∈钡Ｅ，Ｅ）ａｒｅ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ，ａｎｄ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｆ （ ）， （Ｘｏ） ｆ （ ｏ）＝Ｃ（ｘ）ｆ （ ｏ） ｆ （Ｘｏ） ｆ （ 。）Ｄ（ｘ）：， （ ｏ） ｆ （ ） Ｄ（ｘ）ｆ （Ｘｏ） ：， （ 。） Ｃ（ｘ） ， （ ） Ｃ（ｘ）～＝Ｄ（ｘ） ｆ （Ｘｏ） ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ Ｒ（ｆ （ ）） Ｒ（Ｃ（ｘ）ｆ （Ｘｏ）） ｎａｄ Ⅳ（厂 （ ） ｘ） ）＝Ⅳ（厂 （ ） ） ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ． Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ （ ）＜ｏｏ．Ｔｈｅｎ ｄｉｍＲ（ｆ （ ））＝ （ｘ）＝ （Ｘｏ）＝ｄｉｍＲ（ｆ （Ｘｏ））＜ｏｏ ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈ ｂｕｔ ｄｉｍＲ（ｆ （ ））≥ｄｉｍＲ（Ｃ（ｘ）ｆ （Ｘｏ））＝ ｄｉｎａＲ（ｆ （ｘ０））ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ，ｔｈｕｓ ｄｉｍＲ（ｆ （ｘ））＝ ｄｉｅｒＲ（Ｃ（ｘ）ｆ （ ））＜ｏｏ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖ ｎ Ｖｏ，ｗｈｅｎｃｅ Ｒ（ｆ （ ））＝Ｒ（Ｃ（ｘ）ｆ （ ｏ））ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｎ Ｙｏ．Ｈｅｎｃｅ Ｒ（， （ ））ｎⅣ（， （ｘ。） ）＝Ｒ（Ｃ（ｘ）ｆ （ｘｏ））ｎ Ⅳ（， （ ） Ｃ（ｘ） ）＝｛０｝ｆ０ｒ ａｌｌ ｘ∈ＶＮ Ｖｏ，ｔｈａｔ ｉｓ，Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ｐｏｉｎｔ ｏｆｆ． Ｎｏｗ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ （Ｘｏ）＝ｏｏ，ｅｉｔｈｅｒ Ｍ（ｘｏ）＜ｏｏ ｏｒ （ ｏ）＜ｏｏ． Ｉｆ Ｍ（ｘｏ）＜ｏｏ，ｔｈｅｎ ｄｉｍＮ（ｆ （ 。） ｆ （ ））＝ｄｉｍＤ（ｘ） Ⅳ（ｆ （Ｘ０））＝ ｄｉｍＮ（ｆ （Ｘ０））＝Ｍ（ｘｏ）＜ｏｏ ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ；ｈｏｗｅｖｅｒ，Ｍ（ｘ）＝Ｍ（Ｘｏ）ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖ ｎａｄⅣ（ｆ （ ０） ｆ （ ）） ＾，（， （ ）），ｔｈｕｓ ｄｉｍＮ（ｆ （Ｘ０） ｆ （ ））＝ｄｉｍＮ（ｆ （ ））＜ｏｏ ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈ＶＮＶｏ，ｗｈｅｎｃｅ Ⅳ（ｆ （Ｘ０） ｆ （ ））＝Ⅳ（ｆ （ ）） ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈ＶＮ Ｖｏ．Ｔｈｕｓ Ｒ（ｆ （ ））ｎⅣ（， （ ０） ）：｛０｝ ｏｆｒ ａｌｌ ｘ∈ＶＮ Ｖｏ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔ ｏｆｆ． Ｉｆ （Ｘｏ）＜ｏｏ，ｗｅ ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｄｉｍＮ（ｆ （ ０） ）＝ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （ ｏ））＝＾ （ ｏ）＜ｏｏ 维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ５０ Ｓｈｉ Ｐｉｎｇ，ａｎｄ Ｍａ Ｊｉｐｕ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｓｕｂｓｐａｃｅ Ｎ—ｏｆ尺 （ ））ｎＷ （Ｘｏ） ）ｉｎ Ｗ （Ｘｏ） ）， ｔｈａｔ ｉｓ ｃｊｃ ＝：（２ｊｃ 二：一 ‘—・２ ： 二：一 ‘） ｆｉｓ ａ Ｃ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ ｍａｐｐｉｎｇ，ｄｉｍＮ（ｆ （ｘ））：１ ａｎｄ ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （ｘ））：１ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｕ．Ｓｉｎｃｅｆ （ｘ）ｉｓ ｎｏｔ Ⅳ（ｆ （Ｘｏ） ）：Ｎ一０［Ｒ（Ｓ （ ））ｎⅣ（ｆ （Ｘｏ） ）】 ｗｈｅｎｃｅ Ｆ：Ｒ（Ｃ（ｘ）ｆ （Ｘｏ））０Ⅳ（ｆ （Ｘｏ） Ｃ（ｘ） ）： Ｒ（Ｃ（ｘ）ｆ （Ｘｏ））０Ｎ（ｆ （ ０） ）： Ｒ（Ｓ （ｘ））＋Ⅳ（ｆ （Ｘｏ） ）：Ｒ（Ｓ （ｘ））０ Ｎ— ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖｏ．Ｔｈｕｓ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ，ｆ ｃａｎｎｏｔ ｈａｖｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｒｅｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ．Ｂｙ ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １，ｅｖｅｒｙ ｘ∈Ｕ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒ— ａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔ ｏｆ｛．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆ ｈａｓ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ，ｅ．ｇ．，（ｅ ，Ｙ）（Ｙ≠０）ｉｓ ａ ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （ ））：ｄｉｍＮ一：ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （Ｘｏ））： ｄｉｍＮ（ｆ （Ｘｏ） ）＜。。 ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈ｖｎＶｏ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ Ｒ（ｆ （ｘ））ｎＮ（ｆ （Ｘｏ） ） ：｛０｝ｆｏｒ ａｌｌ ｘ∈Ｖ ｎ Ｖｏ．Ｈｅｎｃｅ Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｇｕｌｒａｒ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｆ．Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． Ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｅｍｉ—Ｆｒｅｄｈｏｌｍ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ【 ］ｏｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ，ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈａｔ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｆ． Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ［１】Ｍａ Ｊｉｐｕ．（１．２）ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ｌｏｃａｌ ｃｏｎｊｕｇａｃｙ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ】．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆＭａｔｈ：Ｓｅｒｉｅｓ Ｂ，１９９９，２０（１）：５７—６２． ［２】Ｍａ Ｊｉｐｕ．Ｒａｎｋ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ｆＪ１．Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ：Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，２０Ｏ０，４３（１）：ｌ～５． Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １ Ｌｅｔｆ：Ｕ（Ｘｏ）ｃＥ Ｆ ｂｅ ａ Ｃ ｍａｐ— ｐｉｎｇ，ｗｈｅｒｅ Ｕ（Ｘｏ）ｉｓ ａｎ ｏｐｅｎ ｓｕｂｓｅｔ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｘ０ ａｎｄ ［３】Ｍａ Ｊｉｐｕ．Ｌｏｃａｌ ｃｏｎｊｕｇａｃｙ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｒａｎｋ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｎ ａｄ— ｖａｎｃｅｄ ｃａｌｃｕｌｕｓ ａｎｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃ— ｆ （Ｘｏ）∈坝Ｅ，Ｆ）ｂｅ ａ ｓｅｍｉ—Ｆｒｅｄｈｏｌｍ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ．Ｔｈｅｎ Ｘｏ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌａｒ ｔｉｎｇ Ｂａｎａｃｈ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ［Ｊ】．Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ，Ｓｅｒｉｅｓ Ａ， ２０００．４３（１２）：ｌ２３３—１２３７． ［４】Ｎａｓｈｅｄ Ｍ Ｚ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ】． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ．１９７６． ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｆ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｅｉｈｔｅｒ ｄｉｍＮ（ｆ （ｘ））： ｃＵｍＮ￣ｅ （Ｘｏ））＜。。ｏｒ ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （ ））：ｃｏｄｉｍＲ（ｆ （Ｘｏ）） ＜。。．ｎｅａｒ Ｘｏ． 【５】Ｎａｓｈｅｄ Ｍ Ｚ，Ｃｈｅｎ Ｘ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ—ｌｉｋｅ ｍｅｔｈ— ｏｄｓ ｆｏｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｏｕｔｅｒ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ［Ｊ】．ＮｕｍｅｒＭａｔｈ，１９９３，６６：２３５—２５７． ２ Ｅｘａｍｐｌｅ Ｗｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｎ ［６】Ｚｅｉｄｌｅｒ Ｅ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎｓ：１Ｖ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ】．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１ ９８８． ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ Ｃ ｍａｐｐｉｎｇ ｆ ｃａｎｎｏｔ ｈａｖｅ ａｎｙ ｒｅｇｕｌｒ ｐｏｉａｎｔ ａｎｄ ｎｏｎｔｒｉｖｉｌａ ｒｅｇｕｌｒ ｖａｌａｕｅ，ｈｏｗｅｖｅｒ ｆ ｈａｓ ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ ｅｇｒｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｇｕｌｒ ｖａａｌｕｅｓ． ［７】Ｂｅｒｇｅｒ Ｍ Ｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ａｎｄ ｕｎｃｔｆｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ】． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ．１９７７． Ｅｘａｍｐｌｅ １ Ｌｅｔ Ｕ＝｛ｘ＝（ｘｌ，ｘ２）∈Ｒ ｝ ｌ 一ｘ２ ≠０｝ＣＲ２．ｆ（ｘ）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ，（ｘ）：（ｆｌ（ｘ）， （ ））：Ｒ２一 Ｒ２，［８】Ｓｈｉ Ｐｉｎｇ，Ｍａ Ｊｉｐｕ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ Ｍ．Ｓ．Ｂｅｒｇｅｒ 【Ｊ】．Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｍａｔｈ Ｊ，２００３，１９（４）：３６６—３７０． ［９】Ｍａ Ｊｉｐｕ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｄｉｃｅｓ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ Ｂ（Ｈ）［Ｊ】． Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ：Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，ｌ９９７．４０（１２）：ｌ２３３—１２３８． ｗｈｅｒｅｆｌ（ｘ）：ｅｘ 一 ‘， （ ）： ｌ －ｘ２ ，ｔｈｅｎ Ｂａｎａｃｈ空间之间Ｃ 映射的广义正则点 史平 马吉溥 （ 南京财经大学应用数学系，南京２１０００３） （ 南京大学数学系，南京２１００９３） 摘要：设，是２个Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ和Ｆ之间Ｃ 映射．已经证明，的广义正则点概念是，的正则点概 念的一个推广并且在非线性分析和大范围分析中有非常重要的应用．用．厂产生的在Ｘｏ∈Ｅ处的３ 个整数（或无穷大）值指标Ｍ（ ），Ｍ。（ ）和Ｍ （ ）和分析Ｂａｎａｃｈ空间上有界线性算子的广义 逆来刻画，的广义正则点，即，如果， （ ）在从Ｅ上到Ｆ的有界线性算子组成的Ｂａｎａｃｈ空间 以Ｅ，Ｆ）内有广义逆，且Ｍ（ｘｏ），Ｍ。（ ）和Ｍ （ｘ。）中至少有一个是有限，则Ｘｏ是，的广义正则点 的充分必要条件是多重指标（Ｍ（ ），Ｍ。（ ），Ｍ （ ））在Ｘｏ点处连续． 关键词：Ｂａｎａｃｈ空间；有界线性算子；广义逆；指标；广义正则点；半Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射 中图分类号：Ｏ１７７．９１
