一元一次方程知识点及经典例题

知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程。 2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果

，那么

；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果

，那么

；如果

，那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：

（其中m≠0）

特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：

－

=1.6，将其化为：

－

=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤： 常用步骤 去分母 去括号

具体做法 分母的最小公倍数 去中括号，最后去大律 括号

移项

把含有未知数的项都等式基本性质1 移到方程的一边，其

移项要变号，不移不变号；

依据

注意事项

防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；

在方程两边都乘以各等式基本性质2

一般先去小括号，再去括号法则、分配注意变号，防止漏乘；

他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)

合并同类把方程化成ax＝b(a合并同类项法则 项

≠0)的形式 知数的系数a，得到方程 的解x＝

系数化成1 在方程两边都除以未等式基本性质2

计算要仔细，不要出差错；

计算要仔细，分子分母勿颠倒

要点诠释：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解

；

②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。

知识点三：列一元一次方程解应用

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。 3、常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

类型

(1)和、差、倍、分问题

基本数量关系 余量

②总量＝倍数×倍量

(2)等积变形问题

变形前后体积相等

等量关系

①较大量＝较小量＋多抓住关键性词语

(3)行程

问题 追及问题

相遇问题

路程＝速度×时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题

顺流速度＝静水速度＋顺流的距离＝逆流的距水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

(4)工程问题 (5)数字问题

工作总量＝工作效率×各部分工作量之和＝1 工作时间

设一个两位数的十位上抓住数字所在的位置或的数字、个位上的数字新数、原数之间的关系 分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

(6)储蓄问题

利息＝本金×利率×期本息和＝本金＋利息＝数

(7)按比例分配问题 (8)日历中的问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率) 全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)

日历中每一行上相邻两日历中的数a的取值范数，右边的数比左边的围是1≤a≤31，且都是数大1；日历中每一列上正整数 相邻的两数，下边的数

比上边的数大7

类型一：一元一次方程的相关概念

1.判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)

[变式1]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2

离

类型二：一元一次方程的解法 1.巧凑整数解方程：

[变式2]解方程：

2．巧用观察法解方程：

＝2x－5

3．巧去括号解方程：

4．运用拆项法解方程：

5．巧去分母解方程：

6．巧组合解方程：

7.巧解含有绝对值的方程：|x－2|－3＝0

类型三、一元一次方程的常见应用题 1.优化方案问题

1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

类型 双人房 三人房

普通 (元/间) 140 150

豪华 (元/间) 300 400

2.行程中的追及相遇问题

2. 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/

。摩托车从乙地出发2小时30分

时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的

钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？

3．日历中的方程

3.每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。 (1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。

4．银行储蓄

4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？