高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性 滨湖区课外辅导教育专家

考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数yf(x)的定义域为A，区间IA 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间 （2）设函数yf(x)的定义域为A 如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最大值； 如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即 x1x2(x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 大德 大智 大成

大成教育

滨湖区课外辅导教育专家

定义法判断单调性：如果用定义证明yf(x)在某区间I上的单 调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明yf(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1x2，有f(x1)f(x2)即可。 例1. 求证：（1）函数f(x)2x3x1在区间(,]上是单调递增函数； （2） 函数f(x)2xx在R上是单调递减函数； （3）函数f(x) 例题解析：（3）对于区间(,1)内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 因为f(x1)f(x2)32342x1在区间(,1)和(1,)上都是单调递增函数． x12x112x213(x1x2)， x11x21(x11)(x21)又x1x21，则x1x20，(x11)0，(x21)0得，(x11)(x21)0 故3(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)． (x11)(x21)2x1在区间(,1)上是单调增函数． x12x1同理，对于区间(1,)，函数f(x)是单调增函数； x12x1所以，函数f(x)在区间(,1)和(1,)上都是单调增函数． x1所以，函数f(x)例2.确定函数f(x)1的单调性． 12x 特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y1分别在x(,0)和(0,)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y 1的单调递减区间为(,0)和(0,) x大德 大智 大成 大成教育

滨湖区课外辅导教育专家

三、复合函数及抽象函数的判定方法 ①若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。 ②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法 考查复合函数yf(g(x))的单调性. 设单调函数yf(x)为外层函数，yg(x)为内层函数 (1) 若yf(x)增，yg(x)增，则yf(g(x))增. (2) 若yf(x)增，yg(x)减，则yf(g(x))减. (3) 若yf(x)减，yg(x)减，则yf(g(x))增. (4) 若yf(x)减，yg(x)增，则yf(g(x))减. xf(x)2例1. 求函数2x2的单调区间. 解题过程： ty2外层函数： 内层函数：txx2 2y1x[,]2内层函数的单调增区间： 1x[,]2 内层函数的单调减区间：由于外层函数为增函数 12x1x[,]2所以，复合函数的增区间为： 1x[,]2 复合函数的减区间为： 例2.求函数f(x)log2(xx2)的单调区间. 解题过程： 外层函数：ylog2t 大德 大智 大成 2大成教育

内层函数：txx2 2滨湖区课外辅导教育专家

tx2x20 由图知： 内层函数的单调增区间：x[1,] 内层函数的单调减区间：x[,2] 由于外层函数为增函数 所以，复合函数的增区间为：x[1,] 复合函数的减区间为：x[,2] y2o1x 检验：1．函数fxlog24xx2的单调递减区间是（ ） A．(0,4); B．(0,2); C．(2,4); D． (2,) 2．函数ylog1(x25x6)的单调增区间为（ ） 2；B．(3，A．，2) )；C．，；D．(， 5252四、抽象函数单调性判断——定义法 关键：特殊值的使用 例题.设f(x)是定义在R上的函数，对m、nR恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1。 （1）求证：f(0)1； （2）证明：xR时恒有f(x)0； （3）求证：f(x)在R上是减函数； （4）若f(x)f(2x)1，求x的范围。 1111解：(1)取m=0，n= 则f(0)f()f(0)，因为f()0 所以f(0)1 2222 (2)设x0则x0 由条件可知f(x)o 又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0 ∴xR时，恒有f(x)0 （3）设x1x2则 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1) =f(x1)f(x2x1)f(x1) =f(x1)[1f(x2x1)] 因为x1x2所以x2x10所以f(x2x1)1即1f(x2x1)0 又因为f(x1)0，所以f(x1)[1f(x2x1)]0 所以f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数. 大德 大智 大成 大成教育

(4) 因为f(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0) 所以2xx20，所以x的范围为x2或x0 滨湖区课外辅导教育专家

检验：1、设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1 求：（1）f（1）；（2）当f(x)f(x8)2时x的取值范围. 2、 定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x＞0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围. 五、函数的值域求解——把握单调性以及单调区间 例题：1．函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大和最小值的和为a，则a=_______ y 2 2.作出函数f(x)|x1|x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.2 解:当x1或x1时, yxx1(x)1225 4 当1x1时, yxx1(x_)21225 4-1 由函数图象可以知道函数增区间为(,1],[,1] 121 函数减区间为[1,],[1,) 2 六、对号函数——f(x)＝x＋在[0121xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，xa，＋∞)上是增函数．（利用单调性定义证明其单调性） 例题： 2b（1）如果函数f(x)＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值； xc（2）求函数f(x)＝x＋(c＞0)在区间[1,2]上的最小值； xc2（3）研究函数f(x)＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； x 大德 大智 大成

大成教育

课堂跟随练： 1.函数yx2|x|的单调递减区间为______. [,0]和[,) 滨湖区课外辅导教育专家

12122.单调增函数f(x)对任意x,yR，满足f(xy)f(x)f(y),若f(k3x)f(3x9x2)0 恒成立，则k的取值范围是_______. (,221) 3.函数y＝1x2x802的单调递增区间为________. (,8) 4.函数y＝1, ＋1] 1x1x的递减区间是 (－的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；函数y＝1x1x2), f()， 325.已知函数f(x)在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数f(lg100), f(6.(1) 证明：函数 y(2)并判断函数 yx(3)求函数yxx在 [0,)上是增函数， x在 [0,)上的单调性 x在区间[1，4]上的值域. 7.若f(x)是定义在(0,)上的增函数，且对于x0满足f()f(x)f(y)。 （1）求f(1)的值；（2）若f(6)1，试求解不等式f(x3)f()2。 答案：5、从大到小的顺序是f(（2）因为f(6)1，所以 xy1x2)>f(lg100)>f(） 327、解：（1）令xy0，则f(1)f(x)f(x)0。 11f(x3)f()2f(x3)f()2f(6) xxf[x(x3)]f(6)f(6)f[x(x3)]f(6)f(6) x(x3)ff(6) 6x(x3)x(x3)0，所以6， 由于f(x)是定义在(0,)上的增函数，且663317解得：0x。 2 大德 大智 大成