２０１０年第２ｌ期 ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ０高校讲坛。 科技信息 一类具扩散含非单调发生率 传染病模型的定性分析 刘陆军孟凤娟 （南京师范大学泰州学院数学系 江苏泰州 ２２５３００） 【摘要】本文研究了一类具时滞和扩散、含非单调发生率的ＳＩＲ传染病模型，利用特征子空间分解和线性化方法研究元病平衡点的局部 稳定性．利用构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函的方法研究无病平衡点的全局稳定性，结果表明当基本再生数小的时候，无病平衡点是局部渐近稳定，同时也 是全局渐近稳定的；反之，无病平衡点局部不稳定． 【关键词】传染病模型；扩散；非单调发生率；稳定性；Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数法 ０引言 ／－（ｄ＋ｋｅ Ｍ ） 一ｋｅ－％／ Ｈ Ｖ２ ｔ－ｃ） ｙＶ ＼ 在过去的五十年里，传染病模型已经得到广泛研究，近年来有大 “．）＝ｌ ｋｅ ｚ 拓 Ｉ ：）Ｖ 一（ｄ－ｑｚ）Ｖ２ ０ ｝， 、０ ／ｘＶ２ 一（ｄ＋ｙ） ３ 量工作（文献［１—３］）研究具有非单调发生率的ＳＩＲ传染病模型，本文考 。 ． ， ２ 虑将文献［３］中的模型推广如下： Ｍ ＝— ＬＴ， Ｈ ＝ ｛可． ）－ｄｔＡｕ￣（ｘ＇ｆ）＝ｂ－ｄｕｌ（ｘ，ｆ）一 删， １＋０【 ２’ （１＋￣２３） 对于每个ｉ≥１， 是算子 的不变子空间，则算子作用在 上为 ｝ ∈ｎｘ（Ｏ， ）， ＝一地 ＋ ，令ＶＩ Ｉｅ ，Ｉ 庐 妒 ，Ｖ３＝ｃ￣ｅ 代入得 ｕｎ（ｘ，ｔ）－ｄ２Ａ ｕｚ（ｘ ，ｔ） ，ｚ）＇ ｆＸ＋ｏ＇／ｌ＋（ ｅ ） ｋｅ－￣ｕｌ＊Ｆ（ｕｆｆ）ｅ￣ －－ｙ １ ｆ。ｌ １ ｆｏ １ ｛ｔ Ｏ ｅ叶 ２） 竹 ｅ 。 －ｇ （ｄ ）ｌ ）∈ｎｘ（ｎＯ，∞）， … ＋仃 ０ （ｄ竹）Ｊ【｝｛ｃｃ３２ ＪＩ ｌ＿０｝Ｏ Ｊ ， ｆＭ ，￡）一ｄ３△¨３ ，ｔ）＝： Ｅ 如， ）一（ｄ＋们ｕ３（ｘ， ， ￡）∈Ｄｘ（Ｏ，。。）， 由于ｃ ，ｃ ｃ，不全为零，故系数行列式为零，即得特征方程 Ｉ（Ａ）＝Ｏ． Ｊ１ Ｏｒ／ ： ｄ，７ ： ｄ’７ ：０， ｚ） Ｏｆ￣ｘ（Ｏ， ， 对于无病平衡点Ｅｏ（ ，０，０），特征方程为 ，ｏ）： ∞（ｘ）Ｉ＞０ ｉ＝１，２，３， ｆ）∈ｆｔｘ［－ｒ，０Ｊ， ）＠（ ＋ Ｉ＋ｄ）（ 竹 ｅ （ｄ ））（ ３＋（ｄ十ｙ））＝０， 其中“缸，￡），ｉ＝１，２，３分别表示易感者，染病者，移出者在ｔ时刻的密 （１）先考察Ｒ ｋｂ ｅ －￣＞１的情况度，ｄ 、 、ｄ３分别表示易感者，染病者，移出者的空间扩散率，＇７为边界 ： 上的单位外法向量，齐次Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件说明上述系统是封闭的， 取ｉ＝１，贝ⅡＯ＇１＝０， －（ｋ）＝（ｋ＋ｄ）（Ｘ－ｋｅ－￣ｕ 。 ＋（ｄ ））（ ＋（ｄ十ｙ）），若ｋ＝０， 在边界上没有人口移动，ｎ表示 中的有界区域，ｎ的边界０Ｘｑ光滑， 则 。（０） （ｄ＋１，）（ ｅ。 Ｉ ＋（却））＜Ｏ，又因为当 一。。时，妒－（ 一ｏＤ，从而 ｂ表示出生率，ｄ表示种群的自然死亡率，肛表示恢复率， 表示移出者 由介值定理可得： ｏ＞０，使得 （ ）＝Ｏ，所以 （ ）＝Ｏ有一个正根，由 失去免疫力而转为易感染者类的转化率，系统（１一Ｉ）中出现的所有参 文献『６１的推论１．１１知当Ｒｏ＞ｌ时，Ｅ０局部不稳定。 数都是正常数。文献【１Ｉ中首次提出发生率— ，文献ｆ３］假定ｔ—ｒ时刻 （２）再讨论Ｒｏ＜ｌ的情况： 』＋０ 对于特征方程 的染病者经过 时间后具备传染力，则在ｔ时刻疾病的发生率为 （Ａ）＝（ ＋ Ｉ （Ｘ＋ｏ＇ｄｒ－ｋｅ （嘶））（ ３＋（嘶））＝Ｏ， 等 ，其中ｅ廿（ｏ＜ｅ１打≤１）表示时滞脚。系统（１＿１）的初始条件 易知 ）＝Ｏ的根都具有负实部，且所有特征根的实部小于一个 负数，从而由文献［６］的推论ｌ，１１知：当 。＜１时，Ｅ。局部渐近稳定。综 “ 在ｎｘ［一 ，Ｏ】上是ＨＯｌｄｅｒ连续且非负有界的，由生物意义我们假定 上，我们有 在Ｓｑｘ［－－ｒ，０］上Ｍ ）＞０，ｉ＝１，２，３． 定理２．１当Ｒｏ＞ｌ时，无病平衡点Ｅ。局部不稳定，当Ｒｏ＜ｌ时，Ｅ。局 部渐近稳定． １局部稳定性 ２全局稳定性 由正性引理 直接可得系统（１—１）具有非负初值的任意解非负并 且有界，本节我们利 本节我们采用构造适当的Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函的方法考虑无病平衡点 用特征予空间分解和线性化方法考虑无病平衡点的局部稳定性。 的全局稳定性，并有如下结论： 令系统（１－１）的右端为零，总有无病平衡点Ｅ。ｆ丁ｏ，０，０），这里我们 定理３．１当Ｒｏ＜ｌ时，无病平衡点Ｅ０是全局渐近稳定的。 定义基本再生数 证明：设Ｅ０Ｉ ，ｏ，０）＝Ｅｏ（ｕｌ ｏ，０），ＩＲ￣ｎＴ Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数 ）１‘ Ｖ㈣＝ｆ。（咄州－ｕ妣ｆ）＋争（“ 咖 ） ｆ ｆ ＿ｌ 下面用特征子空间的分解和线性化方法考虑系统（１—１）在无病平 如． 衡点的局部稳定性。类似于文献【５］的方法，设Ｏ＝ １＜ｔｒ２＜ｏ－３＜Ｌ是具齐次 其中ｆｌ，ｆ ２ Ｏ待定，注意到 Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件的算子一△在ｎ中的特征值，且Ｅ（Ｏ＇ｉ）是 在Ｃ （Ｑ）上的特征空间。 ㈤≥ｍｉ“｛ Ｊ－，争｝Ｊ ｎ（ｕ如￡）札如ｃ） Ｉ）一 ）ｄｘ＞Ｏ・ 对 Ｉ１关于时间ｔ求导得 令 ＝｛Ｈ＝（“ｌ， ２，“ ∈［Ｃ （ｆｔ）］ ＩＯｑｚ＝Ｏ，ｘ＝∈Ｏｆｔ｝， ｛咖 ＝１，２，Ｌ，ｄｉｍＥ（ｏ＂ ）｝是Ｅ（ｔｒ￣）的一组标准正交基， ＝｛ｃ・咖 ｌｃ∈Ｒ ｌ，Ｘ产①ｄｉ （ ） ， ＝① Ｘｉ． 嗡，＝』 ｕ 一 篆 ）） 如 下面进行线性化：设ｕ’＝（ｕ。 ， ，ｕ，’）是系统（１—１）的常数稳态解，令 ＝ｕ ，￡）＝Ｈ ｘ，ｆ）＋ ｘ，ｔ），ｉ＝１，２，３代人（１－１）可得Ｖｒ＝ＬＶ＝ＤＡ 十 （“ ），其中 』 （（（ｄｚＡｕａ）＋，ｋｅ ＇＋￣ｕ ｌｕ２ （；ｘｌｆｔ二－ｒ ）一 ＋ ｕ２＋ｚ （如△ 舭 ｒ（ｄ＋们” ） ｆｄ１ ０ ０ １ Ｄ＝｛０ ｄ２ ０｝， ＋１３（“ 一“ ’（ｄ－△“ ＋６一ｄｕ 一与兰 ： 《 尝 “ ）（下转第１４７￣） ０ ０出 １７２ 科技信息 Ｏ高校讲坛Ｏ ２０１０年第２１期 筑材料和其他隔热材料热物理性的测试。其现场检测方法是在墙体内 高。目前还不能用在大量的建筑工程上进行检测。 表面人为地加上一个合适的平面恒定热源，对墙体进行一定时间的加 ４热，通过测定墙体内外表面的温度响应辨识出墙体的传热系数。原理 结语 如图１所示，绝热盖板和墙体之间的加热部分由５层材料组成，加热 围护结构的传热系数是考察建筑热工性能的重要评估方法之一． 板Ｃ。、Ｃ 和金属板Ｅ，、Ｅ 对称地各布置两块，控制绝热层两侧温度相 本文针对现有的建筑围护结构热阻的检测技术进行了归纳总结，并且 等，以保证加热板Ｃ，发出的热量都流向墙体，Ｅ 板起到对墙体表面均 指出了各自技术的局限性。从而为改善建筑围护结构热工性能提供了 匀加热的作用。墙体内表面测温热电偶Ａ和墙体外表面测温热电偶 客观分析的依据，使其现场检测技术进一步完善和发展。 Ｂ记录逐时温度值 ｏｌ。 【参考文献】 ［１］廖亚非，张青文，何容盛．热流计的发展、国际领先技术与改进方向研究叨．重 庆建筑大学学报．２９（７）：８４—８７． ［２］黄峥，朱彤，赵鸿．非稳态法检测建筑围护结构传热系数叨．建筑节能，２００５ （８）：４５＿４７． ［３］潘雷，陈宝明，方肇洪，等．热箱一热流计法现场检测围护结构热阻．工业加热， ２００６，（３）：４ｌ—４４． ［４］ＡＳＴＭＣ１３６３－９７，Ｓｔａｎｄａｒｄ Ｔｅｓｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｔｅａｄｙ－Ｓｔａｔｅ Ｔｈｅｒｍａｌ Ｐｅｆｆｏｒｍａｎｅｅ ｏｆ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ Ａｓｓｅｍｂｌｉｅｓ ｂｙ Ｍｅａｎｓ ｏｆ ａ Ｇｕａｒｄｅｄ Ｈｏｔ Ｂｏｘ［ｃ】．Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ １－试赣奠体Ｉ ２－始热藏救ｌ ３一绝热艨 Ｔｅｓｔｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，１９９７． 壤体内襞秘蔫滤热电一Ｉ 蟪热聪孵糍 淑燕电僵ｌ ｃ’、岛一加热投Ｉ Ｄ－－墙体，｝寰砸滔飘熟啦锅ｔ最， 一盘囊扳 ［５］Ｇａｏ，Ｙ，Ｒｅｄｕｃｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｔａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｈｏｌｌｏｗ ｂｌｏｃｋｓ ｗａｌｌｓ，ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｈｏｔ ｂｏｘ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ，Ｅｎｅｒｇｙ ａｎｄ Ｂｕｉｌｄｉｎｇｓ，２００４，３６（１１）：１１０７－１Ｉ１５． ［６］Ｍ Ｌｅｎｚｅｎ，Ｒ Ｅ Ｃｏｌｌｉｎｓ，Ｌｏｎｇ－ｔｅｒｍ ｆｉｅｌｄ ｔｅｓｔｓ ｏｆ ｖａｃｕｕｍ ｇｌａｚｉｎｇ叨．Ｓｏｌａｒ Ｅｎｅｒｙ，１９９７，６ｌ（ｇ１）：１ １－１５． ｔｈｅｒｍａｌ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅｒｍａｌ ｔｒａｎｓｍｉ￣ａｎｅｅ． ＳＯ ９８６９ Ｔｈｅｒｍａｌ ｉｎｓｕｌａｔｉｏｎ一一ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔ一－Ｉｎ—ｓｉｔｕ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ 由于此方法是非稳态法检测物体热性能的一种方法．可以大大缩 ［７］Ｉ短实际检测时间，而且能减小室外空气温度变化给传热过程带来的影 响。 ［８］范宏武，等．建筑维护结构传热系数现场检测技术［Ｊ］．计量与能源，２００３（３）：１３— １５． ３现场检测技术的缺陷 ［９］朱先锋．建筑围护结构热工性能现场检测技术探讨．建筑热能通风空调， ２００７，２６（７）：７９－８２． 目前建筑节能检测验收中用于现场检测建筑物围护结构传热系 ［１０］黄峥。等．非稳态法检测建筑围护结构传热系数．建筑节能，２００５，８：４５—４７． 数的几种常用方法，热流计法、热箱法、非稳态法，三种方法各有特点， 但是都有一定的局限性，热流计法易受季节的，必须在采暖期进 作者简介：汤雯￣（１９８９－－）。女，汉族，江苏南通人，南京师范大学建筑环境与 行检测，而且测试周期较长，一般要持续一周，不适合于大面积大批量 设备工程专业本科生。建筑的检测；热箱法在使用中测定的数据存在较大的误差，而且热箱 法适合严寒地区和寒冷地区建筑围护结构的热工测量．无法测量热桥 ［责任编辑：汤静］ 等部位的热工性能；非稳态法技术还处于实验研究阶段，成熟度还不 ｃ上接第，７２页，＋ （ 其中 一 ）） ＠Ａ＋Ｂ （ ，ｔ）≤一Ｊ ｈｄ ｌＶ １）１‘ｄｘ＋Ｊ （一砒（ 一“一’－（１－ ＋们＋２ （ｕ，－ｕ１３）ｕ， ＋（２ ＋Ｚ ‘ 一（ｄ “）Ｍ２） ． 应用文献【７］的引理２．５．３得到 Ａ＝Ｊｎ（ｄ２Ａｕ２＋ｌ１ｄ３Ａｕ３＋ｌ３（ｕｌ－ｕｌ３ｄ１△“１）ｄｘ ＝』 等 西等＋ｆ３（ｕ ｔ ｄｓ一』 ｕ，－ｕｌ － 』 Ｉ Ｉ ＝ 』 （ｕｘ－ｕ，１ ＝ 』 ｕ ＝ 『ｎ础＝０． 由Ｐｏｉｎｃａｌｅ）Ｖ／￣１ｉ ｍ Ｊ （ｕ１－￣１）‘ｄｘ＝０，又由 Ｊｎ ｕ，－ｕｌ ‘ｄ ＝０ 』 ＩＶｕｏｌ 曰＝ （（ｋｅ￣ｕｌｕ２（ｘ＇ｔ－＇ｒ）一（ｄ ｆ （ｊｄ ｕ ） ＋ｚ ｕ，一 。 （一ｄ（ｕ 一ｕ， 一 ； ： ： ； ： ＋ｙ ，） ＝一 可得＿－“－ ，再型用一致估计及紧性得Ｅ。（争，０，ｏ）是全局渐近稳定的， 详见文献［７］．Ｑ 【参考文献】 【ｌ ＪＤ．Ｘｉａｏ，Ｓ．Ｒｕａｎ，Ｇｌｏｂａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａｎ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｎｏｎ—ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｒａｔｅ，Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｓｃｉ２０８『２００７）：４１９—２９． １２ Ｊｖ．Ｃａｐａｓｓｏ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｔｒｕｅｔｕｒｅ ｏｆ Ｅｐｉｄｅｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｉｎ：Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｂｉｕｍａｈｅｍａｔｔｉ－ｅｓ，ｖ０１．９７，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９９３． ｌ＋ａ 一—１＼ ≤（№） ｌ＋ｏｔ， ） ／ （ ｕ￣（ｘｔ－ ｃ）『ｎ（－ｄｌ３（Ｕｌ－Ｕ￣３￣－（１ ＋１ｗ（ｕ，－ｕ，））ｕｚ＋（ｆ －（ｄ ）ｕ 【３ ｊＨ．Ｆ．Ｈｎｏ，Ｚ．Ｐ．Ｍａ。Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａ ｄｅｌａｙｅｄ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｎｏｎ—ｍｏｎｏｔｏｎｉｃ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｒａｔｅ．Ｃｏｍｍｕｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｉ Ｎｕｍｅｒ Ｓｉｍｕｌａｔｌ５『２０１０）：４５９—４６８． 【４ ＪＣ．Ｖ．Ｐａｏ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ ａｎｄ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｐ１ｅｎｕｍ Ｐｒｅｓｓ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ， １９９２． ￣＋ｋｕｌ－ ｕ （ｕ 一ｕ ）＿ｉｅｕｚ ＋ｎ“（ｘｔ－ ＇ｒ））ｄｘ． ＇，双易知对于Ｖｌｌ，ｌ３＞０，有ｚＩ（ｄ ＋／３ｙ（ｕ１一Ｍｌ３＞０恒成立，又由于Ｒｏ＜１， 下面我们取１２＞ ｕ１・且０＜／ｌ＜ ｄ＋／ｘ（１Ｒ。），则可以满足 一【５ｊＰ．Ｙ．Ｈ．Ｐａｎｇ，Ｍ．Ｘ．Ｗａｎｇ，Ｓｔｒａｔｅｇｙ ａｎｄ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｐａｔｔｅｒｎ ｉｎ ａ ｔｈｒｅｅ—ｓｐｅｃｉｅｓ ／．ｔ ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ ｍｏｄｅｌ，Ｊ．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ２００（２００４）：２４５—２７３． Ｌ６ ＪＪ＿Ｈ．ｗｕ，Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐａｒｔｉｌａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， Ｉｇ＋ｈｅ￣－（ｄ ＜０， （３－１） Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１ １９，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，１９９６． ｕＩ—ｚ２一 ｆ３ｕｌ（Ｍｌ—ｕ１３＜０， （３－２） ［７］王明新．非线性抛物型方程．科学出版社，１９９３． 即可以取到适当的１１， Ｚ ＞Ｏ，使得（３—１）、（３—２）成立，因此 ［责任编辑：曹明明］ １４７
