专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(原卷版)

第五章 平面向量

专题1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理

【三年高考】

1．【2017江苏高考】如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为45°．若OCmOAnOB(m,nR)，则mn ▲ ．

2. 【2015江苏高考，6】已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若ma+nb=(9,8)(m,nR), 则mn的值为______. 3．【2013江苏，理10】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=BC.若23DE1AB2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．

4．【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP= AB+AD，则+的最大值为 A．3

B．22

C．5

D．2

5．【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn<0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

6．【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,) ,若a||b,则 .

7．【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

8．【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，若ADm,ABnAC，则

m_____,n___________.

9.【2015高考北京，理13】在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC， 则x

；y

．

10.【2015高考新课标2，理13】设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________．

11.【2015高考浙江，理15】已知e1,e2是空间单位向量，e1e215，若空间向量b满足be12,be2，22且对于任意x,yR，b(xe1ye2)b(x0e1y0e2)1(x0,y0R)，则x0 ，y0 ，

b ．

【2018年高考命题预测】

纵观2017各地市高考试题，对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．在2017高考，对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2016高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.

【2018年高考考点定位】

高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题. 【考点1】向量的概念 【备考知识梳理】

1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.

2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0•a=0，0+a=a. 3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.

5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(- a)= a. 【规律方法技巧】

1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向.

2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小. 【考点针对训练】

1.设向量a(x,1)，b(4,x), 若a,b方向相反, 则实数x的值是____________． 2.已知向量a=3,4，若

a. |a|a5，则实数的值为________________．

【考点2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1. ①

向量加法:

平行四边形法则：平移a，b使其由公共的起点，以a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为

起点的对角线对应的向量就是a与b的和向量. ② ③ ④

三角形法则：要注意“首尾相连” 两个向量的和向量仍为向量

当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合.

2．向量减法应注意：

①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；

②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”. 3.向量数乘运算

①实数与a的积仍是向量，|a|=|||a|，当＞0时，a与a方向相同，当＜0时，a与a方向

相反，当=0时，a=0.

②向量数乘的特殊情况：a=0充要条件是a=0或=0. ③实数与向量可以求积，但可以求和、差. ⑤

熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积

的运算律.

4.平面向量基本定理

①平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对

x,y，使c=xa+yb.

②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础. 5.平面向量的基本运算

①若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2）， ， a=（x1，y1）

②若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2-x1，y2-y1）. 【规律方法技巧】

1. 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 2. 当M是线段AB的中点时，则OM=

1(OAOB)是中点公式的向量形式，应当做公式记忆. 23. 当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【考点针对训练】

1.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线，P为垂线上任一点，则错误!未找到引用源。等于________.

2.若G是ABC的重心，a，b，c分别是角A,B,C的对边，若aGbG3cGC0，则角3A______．

【考点3】平面向量共线问题 【备考知识梳理】 1. 共线向量的概念

若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 2. 向量共线的充要条件

① 共线向量定理：a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b. ② 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥bx1y2-x2y1=0. 【规律方法技巧】 1.

向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向

量，要注意待定系数法和方程思想的应用. 2.

对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量

共线且有公共点时，才能得出三点共线. 3.

若A、B、C三点共线且OAOBOC，则=1.

【考点针对训练】

1.向量a＝(1,2)、b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k＝_________．

2.已知平面向量a，b，c，a(1,1)，b(2,3)，c(2,k)，若(ab)//c，则实数k___________．

【两年模拟详解析】

1．【2017年第二次全国大联考江苏卷】A,B,C为单位圆上三个不同的点，若

ABCπ,OBmOAnOC,(m,nR)，则mn最小值为_______. 412．【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图，在ABC中，AHBC于H,MAH,AMAH，

3若AMxAByAC，则xy的值为．

3．【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆21心的单位圆上一动点，点Q满足AQAPAC，则BQ的最小值是 ▲ ．

33

4．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知ABAC， ABAC，点M满足AMtAB1tAC，若

BAMA.

3，则t的值为（ ）

32 B. 21 C.

31 D. 231 25．【2017四川七中三诊】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ）

5111ABAC B. BOABAC 66625111C. BOABAC D. BOABAC

6662A. BO6．【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模文科】已知抛物线y22px的准线方程为x1，焦

点为F，A,B,C为该抛物线上不同的三点，FA,FB,FC成等差数列，且点B在x轴下方，若

FAFBFC0，则直线AC的方程为 ．

7．【2016届天津市南开中学高三下第四次月考文科】如图，等腰三角形ABC，

ABAC2,BAC120.E,F分别为边AB,AC上的动点，且满足AEmAB,AFnAC，其中m,n(0,1),mn1，M,N分别是EF,BC的中点，则MN的最小值为______.

8．【2016届江苏省泰州市姜堰区高三下期初考试】在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=3，P为平行四边形内一点，且AP=

3，若APABAD(,R)，则3的最大值为___________． 2，

OAOB0，

9．【2016届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末文科】已知点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设

，则= ．

，

10．【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月测】设D是△ABC所在平面内一点，且设

，则x+y= ．

11．【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练一】在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)和两个动

点B(1,y1)，C(1,y2)满足ABAC，动点P满足BP//OA，OC//OP，设动点P的轨迹为C. （1）求y1y2的值； （2）求轨迹C的方程；

（3）证明：轨迹C的任意两条互相垂直的切线的交点均在直线BC上.

12．【2016届江苏省清江中学高三上学期12.29周练】在直角坐标系xoy中，已知点A,B,C是圆

x2y24上的动点，且满足ACBC.若点p的坐标为0,3，则PAPBPC的最大值为 . 【一年原创真预测】

1. 已知点A7,1,B1,a，若直线yx与线段AB交于点C，且AC2CB，则实数a__________． 2. 已知OA1,OB2,AOB150,点C在AOB的内部且AOC30，设OCmOAnOB，则

m______________. nOB、OC、OD满足：OA＝OBOCOD(，，R)，B、C、D为不共线三3.已知非零向量OA、点，给出下列命题：

①若＝，＝-，＝1，则A、B、C、D四点在同一平面上； ②当0，0，12122时，若|OA|＝3，|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，

OB，OC5，OD，OBOD，OC则α+β的最大值为62； 62③已知正项等差数列annN*，若a2，a2014，0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则

49的最小值为25； a1a2015④若0,10 ，则A、C、D三点共线且A分CD所成的比λ一定为其中正确的命题的序号是 ．

． 