2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《直线与圆的位置关系》(陕西崔世轮)

直线与圆、圆与圆的位置关系 §2、3直线与圆的位置关系

教学设计说明

陕西省绥德中学 崔世轮

二○一○年九月

直线与圆、圆与圆的位置关系

§2、3直线与圆的位置关系

陕西绥德中学 崔世轮

一、教材的理解与处理

本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。而解决问题的主要方法是解析法。解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

二、教学目标确定说明

学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数

学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：

（1） 知识与技能目标：

① 理解直线与圆三种位置关系。

② 掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。

（2） 能力目标：

① 通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。

② 强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。

（3） 情感、态度与价值观目标：

通过对本节课知识的探究活动，加深学生对解析法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。

三、教学重点、难点确定说明

本节课的内容是在学生初中了解了直线和圆位置关系的判断方法之后，利用直线和圆的方程的再研究。情境的改变必然导致研究思路的变化，本节课主要是研究利用解析法来判断直线和圆的位置关系，研究问题的思想方法学生不熟悉。新课程《标准》要求，教学中

应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：用解析法研究直线与圆的位置关系。难点确定为学生体会和理解解析法解决几何问题的数学思想。

四、教学策略的选择说明

丰富学生的学习方式，改进学生从学习方法是高中教学课程追求的理念。学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受。本节课主要是如何判断直线与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。

五、教学环节设计说明 （一）．创设问题情境，引入新课

[问题1]：初中我们已学习了直线与圆的位置关系，请同学们回顾直线与圆有那几种位置关系？并画图表示。

[问题2]对直线与圆的三种不同的位置关系，你将用怎样的方法判断是那一种位置关系呢？试说说。

设计意图：引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础。

（二）．迁移问题情境，探究新知

[提出问题]：如果将上述图形置于直角坐标系中，对直线与圆位置关系的判断你是否有新的想法呢？（教师利用多媒体课件给出引例）

引例 已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系. y [分析处理]：引例我先只给出图形 1、观察图形，你能判断出直线 与圆是那种位置关系吗？

2、当学生得出结论后，教师反问：你 的结论可靠吗？依据是什么？如果不可靠那又 该如何准确判断呢？

3、在上述直角坐标系中，直线与圆都有他们的方程（课件给出方程） 那么能否利用方程准确判断他们的位置关系呢？

4、让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。 [教师点拨]：1、当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，那么我们可以直接利用点到直线的距离公式求d（学生通过计算得出结论）。

2、类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。

[概括总结]：1、学生明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

2、师生回到本环节开始提出的问题，共同分析，总结解决同类问题的一般方法。

设计意图：这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认

O l x 知冲突，激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般。通过学生对以上问题的解答，使学生理清判断直线与圆的位置关系的方法，真正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识。

（三）．例题示范，巩固应用（处理课本例5）

设计意图：使学生进一步熟练掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断两条直线的位置关系的方法，规范学生解题过程的书写。

（四）．变式探究，强化方法

变式1：已知圆C的方程为(x1)2(y1)2r2(r＞0)，直线l的方程为xy20，问r为何值时，直线与圆相交、相切、相离？

变式2：已知圆C的方程为(x1)2(y1)21，直线l的方程为

kx-y-2=0，问k为何值时，直线l与圆相交，相切，相离？

设计意图：这两个变式我是这样处理的：学生自主完成并与同桌讨论，教师积极参与学生讨论中，鼓励学生寻求简捷解决问题的方法。讨论结束后让学生展示自己的探究思维过程以及结论，并及时给予鼓励和点评。进一步激发他们学习数学的兴趣和热情。之后教师概括解题方法，并用多媒体课件展示解题过程。

这两个变式是在例5的题型基础上变式而来，变式1将例5中圆的半径变为参数，变式2将例5中直线方程中的斜率变为参数，这

样做不仅使学生进一步熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法，也能揭示知识的发生、发展过程，更能起到培养学生创新意识的作用，也为后续学习直线与圆锥曲线含参数问题做好铺垫。

（五）．课堂练习（课本P83. 1、2）

设计意图：目的是为了巩固学生所学的数学知识，方法和思想，提高学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力。

（六）．课堂小结

通过本节课的学习，同学们有哪些收获？

（1）我们共同探究了直线与圆的位置关系的新的判断方法 ——解析法.

（2）解析的方法给我们表示、研究、解决几何问题的新视角，开辟了新途径.

（3）事物是相互联系的.

设计意图：通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力。

（七）．作业布置

必做题：P85 A组6 选做题：P86 B组 1 ， 2

设计意图：目的是巩固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和不足，强化基本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯，通过必做题和选做题，使不同层次的学生均有所收获，体现因材施教的教学原则。

（八）．板书设计

设计意图：设计目的是按照突出重点，结构简明原则设计板书，力求以美来陶冶学生的品质。

（九）．评价和分析

1.通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体。

2.利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力。体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化。

北师大版必修（Ⅱ）直线与圆 圆与圆的位置关系

§2．3 直线与圆的位置关系

陕西绥德中学 崔世轮

教材分析：

“直线与圆的位置关系”是北师大版必修（II）第二章第二节《直线与圆，圆与圆的位置关系》第一课时。

学生在初中的学习中已了解了直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆交点的个数以及圆心到直线距离d与圆的半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是在初中学习时，这两种方法却以结论性的形式呈现。在高一学习了解析几何以后，要求学生掌握如何用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，解决问题的方法主要是解析法。其中一种判断方法是初中学习的基础上结合高中所学的点到直线的距离公式，求出圆心的到直线的距离d后，与圆的半径r比较，从而做出判断；另一种方法是类比求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。由于考虑到圆这个图形性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径。课堂师生着力解决用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来判断直线与圆的位置关系。由于前面学生学习了用解方程的思想求两条直线交点的方法，也为后续学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础，也为了进一步培养学生自主探究的能力，所以把联立方程组，判断方程组解的个数，来确定直线与圆的位置关系，留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

这样处理教材，既符合学生的认知结构特征，也抓住了教材重点内容，强化了学生用解析法解决问题的意识，也起到逐步转变学生学习方式的作用。

§ 2．3．直线与圆的位置关系

三维目标：

(一)知识目标

1．理解直线与圆的位置关系．

2．掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法.

(二)能力目标

1．通过两种方法的判断直线与圆位置关系，进一步培养学生用解析法解决问题的能力． 2．通过两种方法的比较，进一步培养学生分析问题和灵活应用所学知识解决问题的能力．

(三)情感与价值观

通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，使学生在学习活动中获得成功的体验．锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点：用解析法研究直线与圆的位置关系.

教学难点：学生体会和理解用解析法解决问题的数学思想. 课时安排：1课时

教具准备：多媒体课件 教学过程：

（一）创设问题情境，导入新课

[问 题1]：初中我们已学习了直线与圆的位置关系，请同学们回顾直线与圆有哪几种

位置关系？并画图表示。

[学生活动]：回顾交流，并动手作图。

[教师明晰]：直线与圆有三种位置关系，分别是相交、相切、相离，如图：

（相交） （相切） （相离）

［问 题2］：对上述直线和圆的三种不同位置关系，你将用怎样的方法判断是哪一种

位置关系呢？试说说．

［师生概括］：

①定义法：看直线与圆公共点的个数；

公共点的个数 位 置 关 系 d与r的比较 位 置 关 系 0 相离 d>r 相离 1 相切 d=r 相切 2 相交 d（二）迁移问题情境，探究新知

[提出问题]：如果将上述图形置于直角坐标系中，对直线与圆位置关系的判断你是否有新的想法呢？（教师利用多媒体课件给出引例）

引例 已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系. y [分析处理]：引例我先只给出图形

1、 观察图形，你能判断出直线 与圆是那种位置关系吗？ 2、 当学生得出结论后，教师反

O 问：你的结论可靠吗？依据是什

么？如果不可靠那又该如何准确判断呢？ 3、 在上述直角坐标系中，直线与圆都有他们的方程（课件给出方程） 那么能否利用方程准确判断他们的位置关系呢？ 4、让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。 [教师点拨]：1、当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键

是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，那么我们可以直接利用点到直线的距离公式求（d学生通过计算得出结论）。2、类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方

程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。

[概括总结]：1、学生明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明

确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

2、师生回到本环节开始提出的问题，共同分析，总结解决同类问题的一般方法。

（三）、例题示范，巩固应用

教师用多媒体课件给出例5，对第（1）问明确解题思路后，教师板书解题过程，以规范学生的解题步骤；对第（2）问学生独立完成。

解：已知圆的圆心为C(1,1),半径r1. 点C到直线xy20的距离为

d1122.

12(1)2 因为dr，所以直线与圆相离.

[课堂训练]：已知直线l：x+2y-1=0，圆C：(x1)2(y1)21，判断直线l与圆C的

位置关系.

解：已知圆的圆心为C(1,1),半径r1.

点C到直线x+2y-1=0的距离为

d|1211|2512225 lx 因为dr，所以直线与圆相交。

（四）变式探究，强化方法

[变 式 1]：圆C的方程为(x1)2(y1)2r2(r0)，直线l的方程为x-y-2=0，当r为何值时，直线l与圆C相交、相切、相离？

[处理方法]：①教师让学生独立思考，自主探究，并与小组同学探讨；

②教师积极参与学生讨论中，鼓励学生寻求解决问题的方法。

[概括总结]：①让学生展示自己探究的过程、结论，并及时鼓励；

②教师概括总结解题方法、技巧，用多媒体课件展示解题过程。 解：已知圆的圆心为C(1,1),半径r.

圆心C到直线l的距离d1121(1)222，

∴当rd2时，直线l与圆C相交； ∴当rd2时，直线l与圆C相切； ∴当rd2时，直线l与圆C相离；

[变 式2]：已知圆C的方程为：(x1)2(y1)21，直线l的方程为kxy20，

k为何值时，直线l与圆C相交、相切、相离？

[处理方法]：同变式1。 [概括总结]：同变式1

解：已知圆的圆心为C(1,1),半径r1.

圆心C到直线l的距离dk12k(1)22|k3|k12，

∴当d|k3|k21|k3|k21|k3|k211时，即k4时，直线l与圆C相交； 34时，直线l与圆C相切； 34时，直线l与圆C相离； 3∴当d1时，即k∴当d1时，即k（五）课堂练习

见课本P83（1）（2）

（六）课堂小结

通过本节课的学习，同学们有哪些收获？

（1）我们共同探究了直线与圆的位置关系的新的判断方法 ——解析法. （2）解析的方法给我们表示、研究、解决几何问题的新视角，开辟了新途径. （3）事物是相互联系的.

（七）作 业

必做题：P85 A组6 选做题：P86 B组 1 ， 2

（八）板书设计

直线与圆的位置关系 c r d l c r d c r d l l 相 交 相 切 相 离 （1）两个公共点 一个公共点 无公共点 （2）（dr） l:Ax+By+C=0 圆C：（x-a)2+(y-b)2=r2 圆心C（a,b）到l的距离 已知圆的圆心为C(1,1),半径r1. 解： 点C到直线xy20的距离为 1111d1121(1)222. 又r1， 所以dr，可知直线与圆相离. 教学反思：

本节课是在初中学习了直线与圆的位置关系的基础上进行的，也为后续学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定了基础，本节的主题是直线与圆的位置关系，在解析几何中，直线与圆的位置关系的判断方法是一个非常重要的知识，可以对学生的思维有一个很好的锻炼，也将解析法这种重要的数学思想传输给学生.首先，一开始的复习提问全面又突出重点，特别是“初中学习的如何判断直线与圆的位置关系？”这个问题，为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求，好的例题是一个好教案的重要保证，在例题设计方面，由浅入深，从思维容量上层层递进，对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过例5、课堂练习，对直线与圆的三种位置关系判断方法作了巩固，是每个学生都必须也能掌握的，但这两个题是基础题也并不是平淡无奇的题，它不但印证了判断直线与圆的位置的方法，而且同时又强化了利用解析法解题思想方法，变式题型是进一步强化了学生对直线与圆的位置关系的判断方法，又培养了学生的应用意识，让学生通过具体的练习，通过自主的思考、研究，进一步来体会解析法对我们解题和研究的作用，例题，变式题的设计都给学生留下了足够的讨论思考交流空间，组织学生一起思考起来，对应用的加强更是体现了“分类活动，激发潜能”的基本要求.