专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(原卷版)

第五章 平面向量

专题1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（理科）

【三年高考】

1. 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(m,nR), 则mn ▲ .

【答案】3

2. 【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=

AB+AD，则+的最大值为

A．3

B．22

C．5

D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y ,根据等面积公式可得圆的半径r242，即圆C的方程是x2y2 ，

55x2 ，APx,y1,AB0,1,AD2,0，若满足APABAD，即y1

,1y ，所以x2xxxy1，设zy1 ，即y1z0，点Px,y在圆222x22y22z24上，所以圆心到直线的距离dr，即 ，解得1z3，所以z的最大值51514是3，即的最大值是3，故选A.

3.【2016年高考北京理数】设a，b是向量，则“|a||b|”是“|ab||ab|”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D

【解析】由|ab||ab|(ab)(ab)ab0ab，故是既不充分也不必要条件，故选D.

4．【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（） （A）225 8 （B）

18（C）

1 4 （D）

118

【答案】B

【解析】设BAa，BCb，∴DE1133AC(ba)，DFDE(ba)， 22241353532531AFADDFa(ba)ab，∴AFBCabb，故选B.

448482444

5．【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|=|a|+|b|,则m=. 【答案】2

【解析】由|ab||a||b|,得ab,所以m1120,解得m2. 6．【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（ ） （A）AD222222

1414ABAC (B)ADABAC

3333（C）AD【答案】A

4141ABAC (D)ADABAC 3333【解析】由题知ADACCDAC1114BCAC(ACAB)=ABAC，故选A.

33338.【2015高考北京，理13】在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC， 则x 【答案】

；y

．

11, 26

【解析】特殊化，不妨设ACAB,AB4,AC3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y32轴，建立直角坐标系，A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2,)，

MN(2,),AB(4,0),AC(0,3)，则(2,)x(4,0)y(0,3)，

111,x,y. 22612124x2,3y9.【2015高考新课标2，理13】设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________． 【答案】

1 2ka2b）【解析】因为向量ab与a2b平行，所以ab（，则

k，1

所以．

212k,10.【2015江苏高考，6】已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若ma+nb=(9,8)(m,nR), 则mn的值为______. 【答案】3

【解析】由题意得：2mn9,m2n8m2,n5,mn3. 11.【2015高考浙江，理15】已知e1,e2是空间单位向量，e1e215，若空间向量b满足be12,be2，22且对于任意x,yR，b(xe1ye2)b(x0e1y0e2)1(x0,y0R)，则x0 ，y0 ，

b ．

【答案】1，2，22. 【2017考试大纲】

1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景.

(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算

(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.

(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义.

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题, 对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，向量作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．

【2018年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出 ,高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2018高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.

【2018年高考考点定位】

高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题. 【考点1】向量的概念 【备考知识梳理】

1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.

2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0•a=0，0+a=a. 3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.

5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(- a)= a. 【规律方法技巧】

1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向.

2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小.

a. |a|【考点针对训练】

1.设向量a(x,1)，b(4,x), 若a,b方向相反, 则实数x的值是（ ） A．0 B．2 C．2 D．2 【答案】D

【解析】由题意得：x2140，解得：x2，当x2时，a2,1，b4,2，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x2时，a2,1，b4,2，此时a，b方向相反，符合题意．所以实数x的值是2，故选D． 2.已知向量a=3,4，若A．

a5，则实数的值为（ ）

11 B．1 C． D．1 55【答案】D

【解析】因为a=3,4，所以a345，因为

22aa5，所以55，解得：1，

故选D．

【考点2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1.向量加法:

①平行四边形法则：平移a，b使其由公共的起点，以a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是a与b的和向量.②三角形法则：要注意“首尾相连” ③两个向量的和向量仍为向量

④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合. 2．向量减法应注意：

①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；

②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”. 3.向量数乘运算

①实数与a的积仍是向量，|a|=|||a|，当＞0时，a与a方向相同，当＜0时，a与a方向相反，当=0时，a=0.

②向量数乘的特殊情况：a=0充要条件是a=0或=0. ③实数与向量可以求积，但可以求和、差.

④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运

算律.

4.平面向量基本定理

①平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对

x,y，使c=xa+yb.

②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础.5.平面向量的基本运算

①若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2），a=（x1，y1）， ②若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2-x1，y2-y1）. 【规律方法技巧】

1．在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 2．当M是线段AB的中点时，则OM=

1(OAOB)是中点公式的向量形式，应当做公式记忆. 23．当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【考点针对训练】

1. 【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三四模】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点

A的三等分点，则

A. BO【答案】D

【解析】由题意： BO11115151ABAC B. BOABAC C. BOABAC D. BOABAC 626266661151ABACABABAC.本题选择D选项. 32662. 【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断】在直角梯形ABCD中， ABAD， AD BC，

ABBC2AD2， E， F分别为BC， CD的中点，以A为圆心， AD为半径的圆交AB于G，

点P在DG上运动（如图）.若APAEBF，其中， R，则6的取值范围是（ ）

A. 1,2 B. 2,22 C. 2,22 D. 1,22

【答案】C

【解析】建立如图所示的坐标系，则A0,0， B2,0， E2,1， C2,2， D0,1， F1,，

32设Pcos,sin，其中02， APcos,sin， AE2,1， BF1,3，∵23APAEBF，∴cos,sin2,11,，即{3，解得

2sin2cos21348，∴62sin2cos22sin，∵0，∴{4112sincos24sincos432,22，故选C. ，∴222sin22，即6的取值范围是444

【考点3】平面向量共线问题 【备考知识梳理】

1. 共线向量的概念:若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.

向量共线的充要条件:①共线向量定理：a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b. ②若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥bx1y2-x2y1=0. 【规律方法技巧】

1.向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.

2.对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

3.若A、B、C三点共线且OAOBOC，则=1. 【考点针对训练】

1. 【福建泉州新世纪中学2017年普通高中毕业班质量检查】已知向量a,b满足a3,1， b1，且

ab，则实数__________．

【答案】2

2312a31【解析】很明显0，则： b,1，解得： 2. ，据此有： 2. 【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试】已知向量a1,2,b2,y，且a//b，则3a2b_______. 【答案】5 【解析】因为y224,3a2b1,25 【应试技巧点拨】

1.向量与平行四边形相关的结论

向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设

ABa,ACb，则有以下的结论：

①ABACabAD,通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若ABDC,可判断四边形为平行四边形；

②abAD,abCB,若ababab0对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；

(ab)(ab)0ab对角线垂直.则平行四边形为菱形；

③abab2a2b说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；

2222 b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；④||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、 b不共线当a、||a||b|||ab||a||b|(这些和实数比较类似).

2. 向量平行的重要应用

向量平行的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断平行；二是利用平行的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.

向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0; 3.向量运算问题的两大处理思路

向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化. 树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系时，要正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点. 4.如何判断三角形形状

给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有： （1）利用向量加减法的运算可以合并或分解. （2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简. （3）利用一些常见的结论进行判断.

1. 【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量】已知直线PA,PB分别于半径为1的圆O相切于点，则实数的取值范围是A,B,PO2,PM2PA1PB.，若点M在圆O的内部（不包括边界）( )

A. 1,1 B. 0, C. ,1 D. 0,1 【答案】B

【解析】因为PO2，由切线长定理知PAPB3，又OMOPPMOP2PA1PB ，因此OM9611，解得02223132． 32. 【河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三】一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB， AD分别交于E、F，且交其对角线AC于M，若AB2AE， AD3AF， AMABAC,R，

5=（ ） 231A.  B. 1 C. D. -3

22则【答案】A

【解析】由几何关系可得： AM11AC ，则： AMAC ，即： 551511AM0ABAC,,0 ，则= .本题选择A选项.

52253. 【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷】设a,b都是非零向量，下列四个条件，使

ab成ab立的充要条件是（ ）

A. ab B. a2b C. a//b且ab D. a//b且方向相同 【答案】D 【解析】

aab的条件是a与b同向即可，故选D． 表示a方向的单位向量，因此aab4. 【山西省太原市2017届高三第三次模拟】在ABC中， AB3， AC2， BAC60，点P是，若APABC内一点（含边界）

2ABAC，则AP的取值范围为（ ） 3210332132138 B. 2, C. 0,A. 2, D. 2,

3333【答案】D

5. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）】在ABC中， AB2， BC3， ABC60， AD为BC边上的高， O为AD的中点， AOABBC，则（ ） A.

214 B. C. D. 1 323【答案】A

【解析】由题知ABBCABBCcos1203，又O为AD的中点， AOABBC，则

AD2AO2AB2BC，可得

ADBC2AB2BCBC2ABBC2BC618．又AD为BC边上的高， AD与

2BC互相垂直，则ADBC0，即6180，可得3，又AD2AB2BCBDADAB，

则BD21AB2BC，而BD,BC共线，则210,题答案选A．

6. 【安徽省马鞍山市2017届高三第三次模拟】．已知向量a2,1， b3,4， c1,m，若实数满足abc，则m（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B

【解析】由平面向量的坐标运算法则可得： ab5,5,c,m ，据此有： {112，所以，则．故本

6235 ，解得：

m55,m1,m6 .本题选择B选项.

7. 【河北省衡水中学2017届高三押题卷（I卷）】已知a1,， b2,1，若向量2ab与c8,6共线，则a__________． 【答案】2 【解析】2ab4,21 ,由向量2ab 与c8,6 共线，得248210 ，解得1 ，则a2 ，故答案为2. 8. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三临考冲刺】已知向量错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线，则错误!未找到引用源。__________． 【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由向量的坐标运算知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．两向量共线可得错误!未找到引用源。，可化为错误!未找到引用源。．故本题应填错误!未找到引用源。．

9. 【陕西省实验中学2017届高三高考热身】已知菱形ABCD的边长为4， BAD150，点E， F分别在边BC， DC上， 2CE3EB， DCDF（R，且0），若AEAF则的值为__________．

4213，5

【答案】8

【解析】在菱形ABCD中，

32.AEABBEABAD.ABADABADcosBAD448325AFADDFAD1DCAD1AB.

2221124252AEAFABADADABABADABAD13.将

5555ABAD83和AB4，AD4代入得

524212831613，解得8. 55510. 【百校大联考全国名校联盟2017届高三联考】已知ABC中， AB2,AC3,tanBAC22,D是BC边上的点，且BD3CD，则ADBC __________．

【答案】

19 4【解析】ABC中, AB2,AC3,tanBAC22,由sin2BACcos2BAC1,

tanBACsinBAC1,解得cosBAC,D是BC边上的点,且BD=3CD,可得

cosBAC3331AD·BCABBD·ACABABBC·ACABABAC·ACAB

4442213113111919=ABACAB·,故填. AC492344424423411. 【2016届陕西洛南永丰中学高三考前最后一卷】如图所示，已知OA1,OB3,OAOB0，点C在线段AB上，且AOC30，设OCmOAnOBm,nR，则mn等于（ ）

A．

1111 B． C． D． 3223【答案】B

1． 2131311又OCOAACOAOBOAOAOB．所以mn．选B.

442444【解析】因为OA1,OB3,OAOB0，所以AB2,A60,AC12. 【2016届广东省华南师大附中高三5月】如图，在C中，设a，Cb，的中点为Q，

Q的中点为R，CR的中点为，若manb，则m，n对应的值为（ ）

A．

24111213， B．， C．， D．， 77246767【答案】A

13. 【2016届福建省厦门市高三5月】在ABC中，AP则PQ（ ） A．a11AB，BQBC，记ABa，ACb，33131212212b B．ab C．ab D．ab 3333333【答案】A

【解析】因PQAQAPABBQAPaA.

14．【2016届山东省滨州市高三第二次模拟】在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，

112111aBCa(ACAB)ab,故应选3333331NM，若ANABAC(,R)，则的值为（ ） 311A． B． C．1 D．4

43且满足AN【答案】A 【解析】因为AN11NMANAM，又因为ANABAC(,R)，所以341AM4AB4AC，由于三点B,M,C共线，所以441，从而的值为，故选A.

415. 【2016届湖南省师大附中等高三四校联考】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段

OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若ACa，BDb，则AF（ ）

A．

11112112ab B．ab C．ab D．ab 42243323【答案】C．

【解析】如下图所示，设CFCD，AEAF，∴CDODOC∴AFACCF(111ba， 221111111)ab，又∵AFAE(AOOE)(ab)

2422112121123，∴AF2a1b，故选C．

ab，由平面向量基本定理可得，2433113442

【一年原创真预测】

1. 已知向量a和b满足a(2,5)，b1，且ab0，则的值为（ ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】C

【解析】由已知得ab0得ab，故

a3，故的值是3，故选C． b【入选理由】本题考查向量的模、共线向量运算等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题难度不大，故选此题.

2. 设向量a(3,4)，ab(t,8)，c(1,1)，若b∥c，则a在b上的投影为 (A)5 13(B)

5 13(C)

2 2(D)2 2【答案】D

【入选理由】本题考查平面向量的坐标运算、两向量垂直的条件以及向量的投影的求解等基础知识，意在考查基本的运算能力．本题是一个常规题,难度不大，故选此题.

3. 在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM3CM，当AMxAByAC，则

xy_____________．

【答案】2

【解析】因为AMACCMAC11BC，BCACAB，所以AMAC(AC

223113AB)ACAB，所以x,y，xy2．

2222【入选理由】本题考查平面向量线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查运算求解能力.本题是向量在几何中的应用，是高考常考题型，故选此题. 4. A,B,C为单位圆上三个不同的点，若ABCπ,OBmOAnOC,(m,nR)，则mn最小值为4_______.

【答案】2

【入选理由】本题考查向量坐标表示,三角函数最值等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是坐标法解几何问题也是向量的重要应用,向量法解几何问题往往是题目变得简单,故选此题.

5. 已知AB,DC为梯形ABCD的两腰，若AD1,3，BC1x,2x，则x____________． 【答案】3

【解析】由梯形的性质知ADBC，且同向，则12x31x0，解得x3．

【入选理由】本题主要考查平面向量的平行条件，意在考查运算求解能力与转化能力．．本题考查知识基础，

符合高考对向量的要求，故选此题.