最短距离

海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题：从图中的A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？

几何模型：

条件：点A、B是直线l同旁的两个定点；

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小；

方法：作点A关于直线l的对称点C，连接BC交l于点P，则PA+PB=BC的值最小；

模型应用：

（1）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，则PB+PE的最小值是______________；（答案：23）

（2）如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值；（答案：102）

变形一：

（1）如图，某人从A地到河边l饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地B。此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短？

（2）如图，当四边形PABN的周长最小时，a=____________；（答案：

74）

变形二：

（1）直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离各是2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）（答案：A）

（2）在直角坐标系中，已知两点A（-8,3），B（-4,5），以及两动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值A.23mn为（ ）（答案：C）

B.-2 C.32 D.0

变形三： 方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1PBBA(km)（其中BPl于点P）；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2PAPB(km)

观察计算

（1）在方案一中，d1=______________km（用含a的式子表示）

（2）在方案二中，组长小于为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小于同学的思路计算，d2=_____________km（用含a的式子表示）

探索归纳

（1）当a4时，比较大小：d1___________d2(填“＞”“＝”或“＜”) （2）当a6时，比较大小：d1___________d2(填“＞”“＝”或“＜”) （3）当a1时，就a的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？