高中数学思想专题讲座--特殊与一般的思想方法

高中数学思想专题讲座

----特殊与一般的思想方法

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过考察其特殊情况（如特殊图形、特殊位置、特殊取值等）揭示其一般规律.这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中.通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问

题更加深刻.“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。

特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:

1、 特殊问题一般化

在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.

【例1】解方程组

9a－3b＋c＝－27

4a－2b＋c＝－8

a － b＋c＝－1

（解）原方程组变形

27＋9a－3b＋c＝0 －－－－（1） 8＋4a－2b＋c＝0 －－－－（2）

1＋ a－ b＋c＝0 －－－－（3） 考虑三次函数f（x）＝x3＋ax2－bx＋c

由（1）、（2）、（3） 分别得：f（3）＝0、f（2）＝0、f（1）＝0。 即〝1，2，3〞为方程式x3＋ax2－bx＋c＝0之三个根 由根与系数关系得到

a＝－（1＋2＋3）＝－6

b＝（1³2）＋（2³3）＋（3³1）＝11 c＝－（1³2³3）＝－6

【例2】 求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.

【分析】 此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.

解： 在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b. 由正弦定理得

=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，

所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.

特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论.

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2. 一般问题特殊化

在解决选择题或填空题时，恰当使用“特殊值”法可以明显简化解题过程，提高

正确率.

【例3】 设集合Ax4x19,xR,Bx0,xR x35x则AB= （ ）

25(D)(,3)[,)

2(A)(3,2] (B)(3,2][0,] (C)(,3][5,)

2【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B可知，x3，因而排除(C)，再由x2B，又可排除(A)，(B)，于是选(D).

【例4】 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（ ）.

解： 本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求得ＶＥ－

ＡＢＣＤ

＝³３³３³２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所以不

必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.

【例5】 已知函数y=asin2x+cos2x的图象的一条对称轴是x＝

，则

a= .

【解析】 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象具有轴对称性或中心对称性，且其对称轴通过函数图象的最高点或最低点（即对称轴与x轴交点的横坐标使函数取得最大或最小值）.特殊地：因为x=是函数y=asin2x+cos2x的一条对称轴，且该函数定义域为Ｒ，所以当x=0和x=时函数值相等，即asin0+cos0=asin（2³）+cos（2³），易得a=1.

３. 特殊问题特殊化

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对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题. 【例6】 求函数

的最大值与最小值.

一般解法：∵ 对一切x∈R，２－sinx≠0都成立， ∴ 函数的定义域为Ｒ. 由

∵ 函数的定义域为Ｒ，

∴ 函数的最大值与最小值分别为：，-；

特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为

，－

.

【点评】例6是将解释为直线的斜率，从而利用解析几何知识和方法解决该问题.

【例7】解方程式x5x56 （xR）

（解）把〝一维〞的问题（数线）放到〝二维〞（平面）上看：

z5z56 原式

x29y2161

z之虚部＝0 y＝0

∴x＝±3

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强化训练

1. 数列｛cn｝中，cn=2n+3n.试问：是否存在常数p，使数列｛cn+1-pcn｝是等比数列？不

管存在与否，都要说明理由；

2. 已知n次多项式Pn(x)a0xna1xn1an1xan,

如果在一种算法中，计算x0k（k＝2，3，4，„，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)a0,Pk1(x)xPk(x)ak1（k＝0， 1，2，„，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要 次运算．

3. 如图２，三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧棱ＡＡ１和ＢＢ１上各有一动点Ｐ、Ｑ满足Ａ１Ｐ＝ＢＱ，过Ｐ、Ｑ、Ｃ三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）.

Ｂ. １：２

Ｃ. １：３ Ｄ. １：４

4. 已知a、b是方程u2+cotθ²u-cscθ=0的两个根，求证：不论θ为何值，过Ａ（a，a2），Ｂ（b，b2）的直线恒切于一定圆.

5. 直角梯形ＯＡＢＣ的四个顶点都是定点，两平行边ＯＡ、ＢＣ上有两动点Ｐ、Ｑ，直线ＰＱ二等分梯形的面积（如图）.求证：直线ＰＱ必过一定点，并求出此定点的坐标.

6. 对于给定的抛物线y2=2px（p>0），在x的正半轴上是否存在一点Ｍ，过Ｍ的直线l与抛物线交于两点Ｐ、Ｑ，使

7. 解下列无理方程式

x6x102恒为定值.

x6x1010

2

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8. 平行六面体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的底面ＡＢＣＤ是菱形，∠Ｃ１ＣＢ＝∠Ｃ１ＣＤ＝∠ＢＣＤ＝６０°. 问：ＣＤ：ＣＣ１为何值时，Ａ１Ｃ⊥面Ｃ１ＢＤ？

9. 定义在（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间［０，＋∞）上的图象与f（x）原图象重合.设a>b>0，给出下列不等式： ①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b） ②f（b）-f（-a）g（b）-g（-a） ④f（a）-f（-b）Ａ. ①与③ Ｂ. ②与③ Ｃ. ①与④ Ｄ. ②与④

10. 在等差数列｛an｝和｛bn｝中，Sn与Ｔn分别为其前n项和，若

求

11 已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a≠±b，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .

强化训练答案

1.有必要“循规蹈矩”地由

等于一个与n无关的常数去求p吗？决无此必要！

当机

立断地下结论，当p=2或p=3时，｛cn+1-pcn｝是等比数列.

2.本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查. 第一种算法, 计算Pn(x0)的值共需要n(n1)1n次运算,即算;

第二种算法, 计算Pn(x0)的值可以采用递推的方法.设计算Pn(x0)的值的次数为bn,则

bnbn12,由bn是等差数列及b12可得bn2n.

nn32次运

3. 解： 由题意可知动点Ｐ、Ｑ满足的一般性条件是Ａ１Ｐ＝ＢＱ，所以取点Ｐ与点Ａ，点Ｑ与点Ｂ１分别重合这一特殊位置，如图３，于是易得过Ｐ、Ｑ、Ｃ三点的截面把棱柱分成两部分体积之比为１：２，故选Ｂ. 4. 易得过Ａ、Ｂ两点的直线方程为： y=（a+b）x-ab， （１）

由韦达定理知，a+b=-cotθ，ab=-cscθ，于是（１）可变为：

xcosθ+ysinθ=1. （２）

要证（２）切于定圆，但因定圆未知，以下思路不明，为此，不妨先找几条特殊的直线，取

，分别得到x=1，y=1，x=-1，y=-1.它们恰好围成一个正方

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形，显然，所找的定圆即圆心在原点的单位圆.这样对于一般情形，我们只需证明原点到直线的距离为１，事实上，由

知结论成立.

5. 【解析】 建立直角坐标系的过程略.设Ａ（２，０）（这也是特殊化策略的反映）、Ｂ（２a，b）、Ｃ（0，b）、Ｐ（t1，0）、Ｑ（t2，b），则

当t1=t2时，直线ＰＱ的方程是x=

所以t2=a+1-t1. ① 所过直线ＰＱ所过定点的横坐标必为

（既为下一步的证明奠定了基础，也是整个证明过程缜密性的需要）. 当t1≠t2时，直线ＰＱ的方程为y= 综上，直线ＰＱ过定点（

）.

（x-t1），令x=

结合①式得y=.

6. 【解析】 设Ｍ（t，０）（t>0）.分两种情况讨论：（１）若l与x轴垂直，则

只要令t=p，就可得定值

7. 解:变形(x3)122(x3)11022 （特殊问题）

（２）若l与x轴不垂直，设它的倾斜角为α（α≠），则l:y＝（x-t）tanα，

与抛物线方程联立，可得

综上知，存在点Ｍ（p，０）， 使

(x3)y22同样得定值

恒为定值.

(x3)y10

22y2＝1 （一般问题）

x2 y225161 解得x＝±15 y2＝1

8. 【解析】 如图，若固执地欲由Ａ１Ｃ⊥面Ｃ１ＢＤ求出

ＣＤ：ＣＣ１的值，虽也能获解，但难度很大，在考场上短暂的时间内要取得成功是非常困难的.大胆设想，这个值为１！事实上，当ＣＤ：ＣＣ１＝１时，证明Ａ１Ｃ⊥面Ｃ１ＢＤ是易如反掌的事（略）.

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9. 解： 设奇函数f（x）＝x，偶函数g（x）=，画出它们的图象，如图，取a=2，

b=1显然只有①、③ 成立，所以应选Ａ.

【点评】 题目中的f（x），g（x）都很抽象，难以确定选项，把符合条件的 f（x），g（x）都具体化、特殊化，就可直观地判断出正确的选项. 10.

11. 根据题意知，所求结论与α、β的大小无关，不妨取α=0，β＝，则a=（１，０），b=（０，１），从而a+b=（１，１），a-b=（１，－１），所以=90°.

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