精讲解读篇
因动点产生的相似三角形问题
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P( 0，2) 顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点. (1) 求直线AB的函数表达式；
(2) 如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值； (3) 如图②，若点 Q在y轴左侧，且点T (0，t) (t V2)是射线PO上一点, 当以P、B、Q为顶点的三角形与△ PAT相似时，求所有满足条件的t的值.
图① 图② 备用图
2. 如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8过线段BO上一动点D,作AD丄BC 交半圆O于点A,联结AO,过点B作BH丄AO,垂足为点H，BH的延长线交半 圆O于点F.
(1) 求证：AH=BD
(2) 设BD=x, BE?BF=y求y关于x的函数关系式；
(3) 如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当厶卩人丘与厶FBG相似时， 求BD的长度.
3•如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB过点A (3, 0)、B (0, m) (m>
0), tan / BAO=2
(1) 求直线AB的表达式；
(2) 反比例函数y= 的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BDv BC),
x
当AD=2DB时，求&的值；
(3) 设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数
y 的图象于点F，分别联结OE OF，当厶OE2AOBE时，请直接写出满足条 x
4. 如图，在RtAABC中，/ ACB=90, AC=1, BC=7,点D是边CA延长线的一点， AE丄BD,垂足为点E, AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE交AB于 点G.
(1) 当点E是BD的中点时，求tan / AFB的值；
(2) CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值; 如果变化，请说明理由；
(3) 当△BGE和△ BAF相似时，求线段AF的长.
5. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知B (- 1, 0), —次函数y=-x+5的图象 与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点 B.
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 点P是该二次函数图象的顶点，求△ APC的面积；
(3) 如果点Q在线段AC上，且△ ABC与厶AOQ相似，求点Q的坐标.
6 .已知：半圆O的直径AB=6,点C在半圆O上，且tan / ABC=2匚，点D为弧 AC上一点，联结DC (如图) (1) 求BC的长；
(2) 若射线DC交射线AB于点M，且△ MBC与厶MOC相似，求CD的长； (3) 联结OD,当OD// BC时，作/ DOB的平分线交线段DC于点N,求ON的 长.
7•如图，已知二次函数 y=«+bx+c(b, c为常数)的图象经过点 A (3,- 1), 点C (0,- 4),顶点为点 M，过点A作AB// x轴，交y轴与点D,交该二次函 数图象于点B,连结BC.
(1) 求该二次函数的解析式及点 M的坐标；
(2) 若将该二次函数图象向上平移 m (m > 0)个单位，使平移后得到的二次函 数图象的顶点落在△ ABC的内部(不包含厶ABC的边界)，求m的取值范围；
(3) 点P时直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与△ BCD相 似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)•
备用医I
因动点产生的等腰三角形问题
8 .如图1,在厶ABC中，/ ACB=90, / BAC=60,点E是/BAC角平分线上一点， 过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是 BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF.
(1) 如图1,若点H是AC的中点，AC=2「，求AB, BD的长； (2) 如图1,求证:HF=EF
(3) 如图2,连接CF, CE猜想：△ CEF是否是等边三角形？若是，请证明； 若不是，说明理由.
9 •已知，一条抛物线的顶点为E (- 1,4),且过点A (-3, 0),与y轴交于点 C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且-3vmv- 1,过点D作DK 丄x轴，垂足为K, DK分别交线段AE、AC于点G、H. (1) 求这条抛物线的解析式; (2) 求证：GH=HK
10.如图，已知在 RtA ABC中，/ ACB=90, AB=5, si nA丄，点P是边BC上的
5 一点，PEI AB,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q, 线段CQ与边AB交于点D. (1) 求AD的长；
(2) 设CP=x △ PCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3) 过点C作CF丄AB,垂足为F,联结PF、QF,如果△ PQF是以PF为腰的等 腰三角形，求CP的长.
C C
11 •如图(1),直线y=- x+n交x轴于点A,交y轴于点(0,4),抛物线y=「x2+bx+c
3 3 经过点A,交y轴于点B (0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的 垂线PD,
过点B作BD丄PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m. (1)
求抛物线的解析式；
(2)当厶BDP为等腰直角三角形时，求线段 PD的长;
(3)如图(2),将厶BDP绕点B逆时针旋转，得到△ BD P'当旋转角/ PBP = / OAC
且点P的对应点P落在坐标轴上时，请直接写出点 P的坐标.
12 •综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=ax+bx - 8与x轴交于A， B两点,
2 与y轴交于点C,直线I经过坐标原点0，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线 的对称轴交于点E,连接CE已知点A，D的坐标分别为(-2, 0)，(6，- 8). (1) 求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B和点E的坐标； (2)
试探究抛物线上是否存在点 F,使厶FOE^A FCE若存在，请直接写出点F
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0, m),直线PB与直线
是等腰三角形. 因动点产生的直角三角形问题
13. 已知，如图 1，在梯形 ABCD中，AD// BC,/ BCD=90, BC=11, CD=6, tan / ABC=2点E在AD边上，且 AE=3ED EF// AB交BC于点F,点M、N分别在 射线FE和线段CD上.
(1) 求线段CF的长；
(2) 如图2,当点 M在线段FE上，且 AM丄MN，设FM?cos/ EFC=x CN=y 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3) 如果△ AMN为等腰直角三角形，求线段 FM的长.
C
C
14. 如图，在矩形ABCD中，点0为坐标原点，点B的坐标为(4, 3)，点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线h： y=2x+3，直线12： y=2x-3. (1) 分别求直线l1与x轴，直线12与AB的交点坐标；
(2) 已知点M在第一象限，且是直线12上的点，若△ APM是等腰直角三角形， 求点M的坐标； (3)
我们把直线h和直线12上的点所组成的图形为图形 F.已知矩形ANPQ的顶
点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且围(不用说明理由).
A / / / /0 / C x
N点的横坐标为x,请直接写出x的 取值范因动点产生的平行四边形问题
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax - 2ax-3a (av0)与x轴交 于A, B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线I: y=kx+b与y轴交于点C, 与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC
(1) 直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式(其中k, b用含a的式子 表示); (2) 点E是直线I上方的抛物线上的一点，若△ ACE的面积的最大值为「，求a
4 的值； (3)
请说明理由.
设P是抛物线对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶
16.如图，在矩形OABC中, OA=5, AB=4,点D为边AB上一点，将△ BCD沿直
线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC, OA所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系.
(1) 求点E坐标及经过O, D, C三点的抛物线的解析式；
(2) 一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时 动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点 B时，两点同时停止运动.设运动时间为 t秒，当t为何值时，DP=DQ (3)
若点N在(2)中的抛物线的对称轴上，点 M在抛物线上，是否存在这样 的点
M与点N,使得以M , N, C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
17•如图，抛物线y=-X1 2 3+2X+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与 y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与y轴交于点E.
1 求直线AD的解析式；
2 如图1,直线AD上方的抛物线上有一点 F,过点F作FG丄AD于点G,作 FH平行于X轴交直线AD于点巴求厶FGH周长的最大值；
3 点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A, M , P, Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形•若点T和点Q关于AM所在直 线对称，求点T的坐标.
18•如图，点A和动点P在直线I上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边 作RtAABQ，使/ BAQ=90 , AQ: AB=3: 4,作厶ABQ的外接圆0.点C在点P 右侧，PC=4过点C作直线m丄I,过点O作OD丄m于点D,交AB右侧的圆弧 于点E.在射线CD上取点F,使DF冷CD,以DE, DF为邻边作矩形DEGF设 AQ=3x.
(1) 用关于X的代数式表示BQ, DF.
(2) 当点P在点A右侧时，若矩形DEGF勺面积等于90，求AP的长. (3) 在点P的整个运动过程中，
① 当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
② 作直线BG交。O于点N,若BN的弦心距为1，求AP的长(直接写出答案)
19. 在平面直角坐标系xOy(如图)中，经过点A(- 1,0)的抛物线y=-x4 5 6 7+bx+3 与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称. (1) 求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
(2) 如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F 在E的右边，过点E作EG丄AD与点G,设E的横坐标为□,△ EFG的周长为I, 试用m表示I ；
(3) 点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果 以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点 Q的坐标.
20. 如图，直线y=mx+4与反比例函数(k>0)的图象交于点 A、B,与x
x 轴、y轴分别交于 D、C, tan/ CDO=2 AC: CD=1： 2. 5 6
求反比例函数解析式； 联结BO,求/ DBO的正切值；
7 点M在直线x=- 1上，点N在反比例函数图象上，如果以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N的坐标.
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2, 9）,与 y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B. （1） 求二次函数y=a/+bx+c的表达式；
（2） 过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；
（3） 若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四 边形是平行四边形，且 AE为其一边，求点M、N的坐标.
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因动点产生的梯形问题
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=厂+bx+c的图象与y轴交于
点A,与双曲线y=〉：有一个公共点B,它的横坐标为4,过点B作直线I// x轴，
x
与该二次函数图象交于另一个点 C,直线AC在y轴上的截距是-6. (1) 求二次函数的解析式； (2) 求直线AC的表达式；
(3) 平面内是否存在点 D,使A、B、CD为顶点的四边形是等腰梯形？如果 存在，求PN交
23 •如图，矩形OMPN的顶点0在原点， 于C,0M=6, 0N=3,反比例函数y=的图象与 CA丄x轴于点A,过点D作DB丄y轴于点 (1) 求证：AB// CD;
(2) 在直角坐标平面内是否若存在点 E,
M、N分别在x轴和y轴的正半轴上,
B, AC与BD交于点G.
使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的
出点D坐标；如果不存在，说明理由.
因动点产生的面积问题
24•如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线 经过点A,点P是抛物线上点A, C间的一个动点(含端点)，过点P作PF丄BC 于点F,点D、E的坐标分别为(0, 6), (-4, 0),连接PD、PE DE
(1) 请直接写出抛物线的解析式；
(2) 小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定 值，进而猜想：对于任意一点 P, PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正 确，并说明理由；
(3) 小明进一步探究得出结论：若将 使厶PDE的面积为整数”的点P记作 好点” 则存在多个 好点”且使△ PDE的周长最小的点P也是一个 好点”请直接写出 所有 好点”的个数，并求出厶PDE周长最小时 好点”的坐标.
25•如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点 0、A不重合)，连接CP,过点P作PM丄CP交AB于点D,且PM=CP,过点M 作 MN // 0A，交 B0于点 N,连接 ND、BM,设 0P=t. (1) 求点M的坐标(用含t的代数式表示).
(2) 试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由. (3) 当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.
TA
26•在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2二的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与 AG在同一直线上.
(1) 小明发现DG丄BE请你帮他说明理由.
(2) 如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE的长.
(3) 如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段 DG与线段BE
mi
将相交，交点为H,写出BHD面积之和的最大值，并简要说明理由.
27.在平面直角坐标系中, O为原点，直线y=- 2x- 1与y轴交于点A,与直线
y=- x交于点B,点B关于原点的对称点为点C. (1) 求过A, B, C三点的抛物线的解析式；
E
(2) P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q. ① 当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
② 若点P的横坐标为t (- 1v t V 1),当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并 28.如图，在平面直角坐标系中，点 A (10, 0),以0A为直径在第一象限内作 半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB过C作CD丄x轴于点D, 交线段0B于点E,已知CD=8,抛物线经过0、E、A三点. (1) _____________ Z 0BA= ° (2) 求抛物线的函数表达式. (3)
若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、0、A、E为顶点的四 边
形面积记作S,则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
(0, 3),
(1)求抛物线的解析式;
(2) DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点 P, 若不存在请说明理由; (3)
如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点 F,使2&FBC=3SEBC？若存在求出点 F
的坐标，若不存在请说明理由.
图1 图2
30•已知抛物线y=mx2+ (1 - 2m) x+1 - 3m与x轴相交于不同的两点 A、B (1) 求m的取值范围；
(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P,并求出点P的坐标； (3) 当I vm< 8时，由(2)求出的点P和点A, B构成的△ ABP的面积是否有 4 最值？若有，求出该最值及相对应的 m值. 31 •问题提出
(1) 如图①，已知△ ABC请画出△ ABC关于直线AC对称的三角形. 问题探究
（2） 如图②，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6, AE=4 AF=2是否在边 BC CD 上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最 小值；若不存在，请说明理由. 问题解决
（3） 如图③，有一矩形板材 ABCD AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一 个面积尽可能大的四边形 EFGH部件，使/ EFG=90, EF=FG=：米，/ EHG=45, 经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB BC上，且AFv BF,并满足点H 在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合
要求的面积尽可能大的四边形 EFGH部件？若能，求出裁得的四边形 EFGH部件 的面积；若不能，请说明理由.
32. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴 和x轴的正半轴上，OC=8 OE=17,抛物线y= x2-3x+m与y轴相交于点A,
2 0 抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
（1） 将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处.
① 点B的坐标为（ ______ 、 _______ ）, BK的长是 ______ , CK的长是 _______ ; ② 求点F的坐标；
③ 请直接写出抛物线的函数表达式；
（2） 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处, 连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重 合），连接MG, MO,过点G作GP丄OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M 从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△ MOG和厶NOG的 面积分别表示为S1和在点M的运动过程中，S1?S2 （即S与S2的积）的值 是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.
33. 如图，已知？ABCD的三个顶点 A (n, 0)、B (m, 0)、D (0, 2n) (m>n>
D 0),作？ABCD关于直线AD的对称图形ABiCiD
(1) 若m=3，试求四边形CGBiB面积S的最大值； O
(2) 若点Bi恰好落在y轴上，试求和的值.
1
C
4
-V
\\ 丁
因动点产生的相切问题
34. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=a«+2x+c与x轴交于点A ( 1, 0)和点B，与y轴相交于点C (0，3)，抛物线的对称轴为直线I. (1)
写出其对称轴和顶点
求这条抛物线的关系式，并M的坐标；
(2) 如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线I的 对称点为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；
(3) 点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相 切，求点P的坐标.
AC=14, tanA=；，点 D 是边 AC 上一点，AD=8, 4
点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点 D,点F是边AC
上一动点(点F不与A、C重合)，作FG丄EF,交射线BC于点G.
(1) 用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长(保留作图痕迹)；
(2) 当点G的边BC上时，设AF=x CG=y求y关于x的函数解析式，并写出 它的定义域；
(3) 联结EG,当厶EFgA FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的 圆G与圆E可能产生的各种位置关系.
36•如图，线段PA=1,点D是线段PA延长线上的点，AD=a(a> 1),点0是线 段AP延长线上的点，OA^OP/OD以0为圆心，0A为半径作扇形 OAB,/ BOA=90.
点C是弧AB上的点，联结PC DC. (1)
联结BD交弧AB于E,当a=2时，求BE的长;
0 P A D (2)当以PC为半径的。P和以CD为半径的。C相切时，求a的值； 求扇形OAB
的半径长.
37 •如图，在矩形ABCD中，AB=6cm AD=8cm,点P从点B出发，沿对角线BD 向点D匀速运动，速度为4cm/s,过点P作PQ丄BD交BC于点Q,以PQ为一边 作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上，点0从点D出发，沿DC向点C匀 速运动，速度
为3cm/s，以0为圆心，0.8cm为半径作O 0,点P与点0同时出 发，设它们的运动时间为t (单位：s) (Ovt (1) 如图1,连接DQ平分/ BDC时，t的值为 _________ ; (2) 如图2,连接。皿，若厶CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； (3) 请你继续进行探究，并解答下列问题： ① 证明：在运动过程中，点 0始终在QM所在直线的左侧； ② 如图3,在运动过程中，当QM与。0相切时，求t的值；并判断此时PM与 O 0是否也相切？说明理由. 38•如图，抛物线y=-*x2+mx+n的图象经过点A (2, 3),对称轴为直线x=1, 一次函数y=kx+b的图象经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B 位于点P的同侧. (1) 求抛物线的解析式； (2) 若PA: PB=3: 1，求一次函数的解析式； (3) 在(2)的条件下，当k>0时，抛物线的对称轴上是否存在点 C,使得。C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点 C的坐标，如果不存在，请 说明理由. 备用 因动点产生的线段和差问题 39 .如图，抛物线y=x2 - 4x与x轴交于O, A两点，P为抛物线上一点，过点 P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q. (1) __________________________ 这条抛物线的对称轴是 _________________ ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 _ ; (2) 若两个三角形面积满足 S^POCF ' PAQ,3 求m的值； (3) 当点P在x轴下方的抛物线上时，过点 C (2，2)的直线AC与直线PQ交 40. 抛物线 y=ax^+bx+4 (a^ 0)过点② A PD?DQ(1，-1的最大值)，B( 5，. - 1)，与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 如图1,连接CB,以CB为边作?CBPQ若点P在直线BC上方的抛物线上， Q为坐标平面内的一点，且？CBPQ的面积为30,求点P的坐标； (3) 如图2, O01过点A、B、C三点，AE为直径，点M为，：•上的一动点(不 与点A, E重合)，/ MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长 度的最大值. 41. 女口图，在每一个四边形 ABCD中，均有AD// BC, CD丄BC, / ABC=60, AD=8, BC=12 (1) _____________________________________________________________ 如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则厶BMC的面积为 ____________ ; (2) 如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出厶BNC周长的 最小值； (3) 如图③，在四边形 ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cos/ BPC的 值最小？若存在，求出此时cos/ BPC的值；若不存在，请说明理由. 图① 图② 图③ 42. 如图，把△ EFP按图示方式放置在菱形 ABCD中，使得顶点E、F、P分别在 线段 AB、AD、AC上，已知 EP=FP=4 EF=4「，/ BAD=60，且 AB>4「. (1) 求/ EPF的大小； (2) 若 AP=6,求 AE+AF 的值； (3) 若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB AD、AC上运动，请直接写出 AP长的最大值和最小值. A E B V 2 d 43. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-；X - x+2与x轴交于B、C两点 （点B在点C的左侧），与y轴交于点A,抛物线的顶点为D. （1） 填空：点A的坐标为（ __ , _______ ），点B的坐标为（ _____ , ______ ）, 点C的坐标为（ _______ ， ______ ），点D的坐标为（ ______ ， ______ ）； （2） 点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合） ① 过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC求点E的坐标； ② 在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接 写出线段EF的长； ③ 若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动 点（点R不与点A、C重合），请直接写出△ PQR周长的最小值. 圍1 备用圉 44. 如图，矩形 ABCD中，AB=4, AD=3, M是边CD上一点，将△ ADM沿直线 AM对折，得到△ ANM. （1） 当AN平分/ MAB时，求DM的长； （2） 连接BN,当DM=1时，求△ ABN的面积； （3） 当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值. 45. 如图，半圆0的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径，向点0方向作半圆 M，其中P点在4上且不与A点重合，但Q点可与B点重合. 发现：沖的长与&的长之和为定值I,求I: 思考：点M与AB的最大距离为 _______ ，此时点P, A间的距离为 ________ ； 点M与AB的最小距离为 _______ ，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面 积为 _______ ； ） 探究：当半圆M与AB相切时，求屮的长. 图（注：结果保留L n, cos35°备用图, cos55° ）46. （1）发现：如图1,点A为线段3 BC外一动点，且3 BC=a AB=b. 填空：当点A位于 _______ 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ________ （用 含a，b的式子表示） （2）应用：点Q A为线段BC外一动点，且BC=3, AB=1,如图2所示，分别以AB， AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形ACE连接CD, BE ① 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段BE长的最大值. （3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（2, 0）,点B的坐标 为（5, 0）,点P为线段AB外一动点，且 PA=2 PM=PB, / BPM=90，请直接 写出线段 AM长的最大值及此时点P的坐标. 47. 如图，直线I: y=- 3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax -2ax+a+4 （av 0）经过点 B. （1） 求该抛物线的函数表达式； （2） 已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM , 设点M的横坐标为□,△ ABM的面积为S,（图求3} S与m的函数表达式，并求出{卷■用S 的最大 图） 值； （蚩 1（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M . ①写出点M的坐标； ②将直线I绕点A按顺时针方向旋转得到直线I ；当直线I与直线AM重合时停 止旋转，在旋转过程中，直线I与线段BM交于点C,设点B、M到直线I的距离 分别为d2,当di+d2最大时，求直线I旋转的角度(即/ BAC的度数). 48 .如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2 - 1的图象M沿x轴翻折, 把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函 数图象N. (1) 求N的函数表达式； (2) 设点P ( m，n)是以点C (1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次 函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PAf+PE的最大值； (3) 图形内(包括边界)整点的个数. 若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M与N所围成 封闭 49.如图，顶点为A ( :，1)的抛物线经过坐标原点 0，与x轴交于点B. (1) 求抛物线对应的二次函数的表达式； (2) 过B作0A的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证：△ OCD^A OAB; (3) 在x轴上找一点P,使得△ PCD的周长最小，求出P点的坐标. A 2017挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 参考答案与试题解析 一•解答题(共36小题) 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P( 0，2) 顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点. (1) 求直线AB的函数表达式； (2) 如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值； (3) 如图②，若点 Q在y轴左侧，且点T (0，t) (t V2)是射线PO上一点， 【分析】(1)根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线 AB的解 析式； (2) 如图①，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的 垂线，垂足为D，构建等腰直角△ QDC,利用二次函数图象上点的坐标特征和二 次函数最值的求法进行解答； (3) 根据相似三角形的对应角相等推知： △ PBQ中必有一个内角为45°;需要分 类讨论：/ PBQ=45和/PQB=45;然后对这两种情况下的厶PAT是否是直角三角 形分别进行解答.另外，以P、B Q为顶点的三角形与△ PAT相似也有两种情况： △ Q'卩盼 PAT △ Q' B\" PAT 【解答】解：(1)如图①，设直线AB与x轴的交点为M. •••/ OPA=45, ••• OM=OP=2 即 M (- 2, 0). 设直线AB的解析式为y=kx+b (心0),将M (- 2, 0), P (0, 2)两点坐标代 入，得 r 2=kX0+b L0=kX (-2)+b‘ 解得严二1 . Lb=2 故直线AB的解析式为y=x+2; (2) 如图①，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的 垂线，垂足为D,根据条件可知△ QDC为等腰直角三角形，则 QD=±QC. 2 设 Q (m, m2),则 C (m, m+2). ••• QC=m+2 - m2= -(m _ 一)2+ 二 2 4 QD= QC= [ -( m - 1 ) 2+ ' \"]. 故当m=「时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为 2 8 -; (3) vZ APT=45 , •△ PBQ中必有一个内角为45°,由图知，/ BPQ=45不合题意. ① 如图②,若/ PBQ=45 ,过点B作x轴的平行线,与抛物线和y轴分别交于点 Q'、F.此时满足/ PBQ =45° •- Q' (-2, 4), F (0, 4), •此时△ BPQ是等腰直角三角形，由题意知△ PAT也是等腰直角三角形. (i) 当/ PTA=90时，得到：PT=AT=1 此时 t=1; (ii) 当/ PAT=90时，得到:PT=2,此时 t=0. ② 如图③,若/ PQB=45 ,①中是情况之一，答案同上； 先以点F为圆心,FB为半径作圆,贝U P、B、Q'都在圆F上,设圆F与y轴左侧 的抛物线交于另一点Q'. 则/PQ BN PQ B=45(同弧所对的圆周角相等)，即这里的交点 Q'也是符合要 求. 设 Q (n, n2) (- 2 v nv 0),由 FQ' =2 得 n2+ (4 - n2) 2=22，即 n4- 7n2+12=0. 解得 n2=3或 n2=4,而-2vnvO,故 n=-；，即 Q (- 可证△ PFQ为等边三角形， 所以/ PFQ =60；又 PQ =PQ 所以/ PBQ = / PFQ =30. 2 则在△ PQ B中，/ PQ B=45 / PBQ =30°. (i) 若厶Q PAT则过点A作y轴的垂线，垂足为E. :, 3). 贝U ET=「AE=「，0E=1, 所以 0T=二-1, 解得 t=1 -'；; (ii) 若厶Q' BRA PAT则过点T作直线AB垂线，垂足为G. 设 TG=a 贝U PG=TG=a AG= =TG=^a, AP=匚, a+a=':, 解得 PT= =a= = - 1, ••• OT=OP- PT=3-「， t=3 — ■. 综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1 --或t=3 - T. 1 # A / 1 图③ >> 1 1 / / ? 1f ■ / A F ___ J X 图① 2•如图，已知BC是半圆0的直径，BC=8过线段BO上一动点D,作AD丄BC 交半圆0于点A,联结A0,过点B作BH丄A0,垂足为点H, BH的延长线交半 圆0于点F. (1) 求证：AH=BD (2) 设BD=x, BE?BF=y求y关于x的函数关系式； (3) 如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当厶FAE与△ FBG相似时， 求 BD的长度. 【分析】(1 )由AD丄BC, BH丄A0,利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一 对公共角，且半径相等，利用 AAS得到三角形AD0与三角形BH0全等，利用全 等三角形对应边相等得到0H=0D,利用等式的性质化简即可得证； (2) 连接AB, AF,如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等， 再由公共角相等得到三角形 ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式； (3) 连接OF,如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 AFO与三 角 形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可. 【解答】(1)证明：：AD丄BC, BH丄AO， •••/ ADO=Z BHO=90， 在厶ADO与厶BHO中， 'ZAD0=ZBH0 ” ZACD-ZBCH， QA二 0E •••△ ADC^A BHO (AAS, ••• OH=OD, 又••• OA=OB ••• AH=BD (2) 解：连接AB、AF,如图1所示， ••• AO是半径，AO丄弦BF, .... AB=AF •••/ ABF=Z AFB 在 RtAADB与 RtA BHA 中， r AH=BD 「AB二BA' .RtAADB^ RtA BHA ( HL), •••/ ABF=Z BAD, •••/ BAD=Z AFB 又•••/ ABF=/ EBA n=， ••• BA2=BE?BF v BE?BF=y • y=BA2, vZ ADO=Z ADB=90 , • AD2=AC2 - DO2, AD2=A$- BD2, • AO2 - DO2=AB^ - BD2, v直径 BC=8 BD=x, • AB=8x, 则 y=8x (Ov xv 4); ••• 方法二：v BE?BF=y BF=2BH BE? BH =y, •••△ BE»A BOH, •匹 _BD •=, • OB?BD=BE?BH • 4x =]y, y=8x (Ovxv4); (3)解：连接OF,如图2所示vZ GFB是公共角，/ FAE>Z , G, •当厶 FA0A FBG时，Z AEF=Z G, vZ BHA=Z ADO=90, • Z AEF+Z DAO=90 , Z AOD+Z DAO=90 , • Z AEF=/ AOD, • Z G=Z AOD, • AG=AO=4 ••••••/ AOD=Z AOF, •••/ G=Z AOF, 又•••/ GFO是公共角， •••△ FA3A FOG •工_一 OF FG ' ••• AB2=8x, AB=AF AF=2 7x , • ；：_ 」 4 4+2V2x ' 解得：x=3± “；.f£ ••• 3+ :〉4,舍去, •- BD=3- 3•如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线AB过点A (3 , 0)、B (0 , m) (m> 0), tan / BAO=2 (1) 求直线AB的表达式； (2) 反比例函数y= 的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BDv BC), x 当AD=2DB时,求ki的值； (3) 设线段AB的中点为E ,过点E作x轴的垂线，垂足为点M,交反比例函数 y 的图象于点F ,分别联结OE OF ,当厶OE2AOBE时，请直接写出满足条 x 件的所有k2的值. 【分析】(1)先通过解直角三角形求得 A的坐标，然后根据待定系数法即可求得 直线AB的解析式； (2)作DE// OA，根据题意得出丄=^ ,求得DE,即D的横坐标,代入AB UA AD 3 的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得 ki ； (3) 根据勾股定理求得 AB 0E,进一步求得BE,然后根据相似三角形的性质 求得 EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上 点的坐标特征即可求得k2. 【解答】解：(1)v A (3, 0 )、B (0，m) (m> 0)， 0A=3, OB=m, ■/ tan/ BAO= =2OA， • m=6， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 代入 A (3，0)、B (0，6)得：(SBk+b 解得：b=6， k=- 2 •直线AB的解析式为y=- 2x+6; (2) 如图 1，v AD=2DB •匹丄 u.， 作 DE// OA, •： =「=， • DE= OA=13 ， • D的横坐标为1， 代入 y=- 2x+6 得，y=4， • D (1, 4)， • k1=1 X 4=4; (3) 如图 2,v A (3, 0), B (0, 6), • E (号，3), AB可用肿=热, v OE是RtA OAB斜边上的中线， • OE= AB=2 2 2 ； BE= :, 1 6=b ••• EM 丄 x 轴, -F的横坐标为:, £ =兀 二FT，. 圏1 4. 如图，在RtAABC中，/ ACB=90, AC=1, BC=7,点D是边CA延长线的一点， AE丄BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于 点G. (1) 当点E是BD的中点时，求tan / AFB的值； (2) CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF勺值; 如果变化，请说明理由； (3) 当△BGE和△ BAF相似时，求线段AF的长. 【分析】(1)过点E作EH丄CD于H,如图1 ,易证丘日是厶DBC的中位线及△ AHE s' EHD,设AH=x,运用相似三角形的性质可求出 x,就可求出tan / AFB的值； (2) 取AB的中点0,连接0C 0E,如图2,易证四点A、C、B、E共圆，根据 圆周角定理可得/ BCE=/ BAF,根据圆内接四边形内角互补可得/ CAE=180,由此可推出 / CBE=/ BFA从而可得△ BCE^' FAB,即可得到 CE?FA=BC?AB只需求出AB就可解决问题； (3) 过点E作EH丄CD于H,作EM丄BC于M，如图3,易证四边形EMCH是矩 形，由△ BC0' FAB △ BGE与△ FAB相似可得' BGE与△ BCE相似，即可得到 / EBG/ ECB由点A、C B、E共圆可得/ ECA/ EBQ 即可得到/ ECB/ ECA 根据角平分线的性质可得 EM=EH,即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH, 易证 EB=EA根据 HL可得 RtABMEsRtAAHE,则有 BM=AH.设 AH=x,根据 CM=CH 可求出x,由此可求出CE的长,再利用(2)中的结果就可求出AF的值. 【解答】解：(1)过点E作EH丄CD于H ,如图1 , CBE■/ 贝U有/ EHA=Z EHD=90. •••/ BCD=90 , BE=DE ••• CE=DE ••• CH=DH 1 7 ••• EH= BC=. 2 2 设 AH=x,贝U DH=CH=+1. ••• AE 丄 BD, •••/ AEF+Z DEH=Z AED=90 . vZ AEF+Z EAH=90, •••/ EAH=/ DEH, •••△ AHE^A EHD, EH DH ••• EH2=AH?DH, •••(=) 2=x (x+1), 解得x= •- (舍负)， 7_ • tanZ EAH二丄一 一 =.1厂 AH W2-1 7 2 v BF// CD, • Z AFB=Z EAH, • tan/AF B=「- (2) CE?AI的值不变. 取AB的中点0,连接OC OE,如图2 , v/ BCA=/ BEA=90 , • OC=OA=OB=OE •••点 A、C、B、E共圆, • Z BCEZ BAF, Z CBEV CAE=180. ••• BF// CD, •••/ BFA+Z CAE=180, •••/ CBEW BFA •••△ BCE^A FAB 2 FA AB ' • CE?FA=BC?AB vZ BCA=90 , BC=7 AC=1, • AB=5「, • CE?FA=X5「=35 二 (3)过点E作EH丄CD于H ,作EM丄BC于M ,如图3 , 圏3 • Z EMC=Z MCH=Z CHE=90 , •四边形EMCH是矩形. •••△ BC0A FAB △ BGE与厶 FAB相似, • △ BGEg BCE相似 , • Z EBGZ ECB v点A、C、B、E共圆, • Z ECAZ EBG • Z ECBZ ECA • EM=EH •矩形EMCH是正方形, • CM=CH vZ ECBZ ECA= Z BCA=45 , •••/ EBAN EAB=45, ••• EB=EA ••• RtABME^RtAAHE (HL), ••• BM=AH. 设 AH二x,贝U BM=x, CM=7- x, CH=1+x, ••• 7 - x=1+x, ••• x=3, • CH=4 在 RtACHE中， cos/ ECH=1 二 二, CE CE 2 • CE=4 匚. 由(2)可得CE?FA=35匚, ...AF二―二 5. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知B (- 1, 0), 一次函数y=-x+5的图象 与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y二-x2+bx+c的图象经过点A、点 B. (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 点P是该二次函数图象的顶点，求△ APC的面积； (3) 如果点Q在线段AC上，且△ ABC与厶AOQ相似，求点Q的坐标. 【分析】(1)由一次函数的解析式求出 A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标 求出b、c即可确定二次函数解析式； (2)根据二次函数的解析式求出 P点坐标，然后计算三角形 APC的面积； (3)分两种情况讨论：①△ AB3A AOQ，②△ AB3A AQO. 【解答】解：(I)，••一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两 占 八、、) ••• A (5, 0), C (0, 5), ••二次函数y=- x2+bx+c的图象经过点A、点B, b=4, c=5, •••二次函数的解析式为：y=- x2+4x+5. (2)，y=-x2+4x+5= -( x- 2) 2+9, •- P (2, 9), 过点P作PD// y轴交AC于点D,如图， 则 D (2, 3), : =15； (3) ①若△ AB3A AOQ，如图， 此时，OQ// BC, 由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：• OQ的解析式为：y=5x, 由产弘Ly=-x+5解得 : ••• Q「）; y=5x+5, T AB=6, A0=5, AC= ：“J ■:, AQ=3：.i L , ••• Q (2, 3). 综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q(「，r或Q( 2, 3). 6 .已知：半圆0的直径AB=6,点C在半圆0上，且tan / ABC=2匚，点D为弧 AC上一点，联结DC (如图) (1) 求BC的长； (2) 若射线DC交射线AB于点M，且△ MBC与厶MOC相似，求CD的长； (3) 联结0D,当OD// BC时，作/ DOB的平分线交线段DC于点N,求ON的 长. 【分析】(1)如图1中，根据AB是直径，得△ ABC是直角三角形，利用勾股定 理即可解决问题. (2) 如图2中，只要证明△ OBC^A OCD得BC=CD即可解决问题. (3) 如图3中，延长ON交BC的延长线于G,作GH丄OB于H,先求出BG,根 据tan/ HBG=2匚,利用勾股定理求出线段 HB HG,再利用CG// DO得二--, OD ON 由 此即可解决. 【解答】解；(1)如图1中，连接AC, 图1 v AB是直径， •••/ ACB=90, v tan / ABC=2 ■:, •••可以假设 AC=2「k, BC=K v AB=6, AB^ACf+Bg, • 36=8k2+k2, • r=4, v k> 0, • k=2, BC=2 (2)如图2中， •••△ MBC与厶MOC相似， • / MBC=/ MCO, v/ MBC+/OBC=180,/ MCO+/OCD=18°, • / OBC=/ OCD, ••• OB=OC=OD •••/ OBC=/ OCB=/ OCD=/ ODC, 在厶OBM^A OCD中， r ZOBC=ZOCD < Z0CB=Z0DC, QZC •••△ OBC^A OCD ••• BC=CD=2 (3) 如图3中，延长ON交BC的延长线于G,作GH丄OB于H. 图3 ••• BC// OD, • / DOG=Z OGB=/ GOB • BO=BG=3 ••• tan/日虻=三-.：-设 GH=2「a, HB=a, v BGT=GH?+HB2, • 8a2+a2=9, • a2=1, v a> 0, • a=1, HB=1, GH=2「, OH=2, OG=］三--一三「=2 乙 v GC// DO, • GN-CG J •市—iu?., • ON三；4 xH详…. 2 7.如图，已知二次函数 y=«+bx+c (b, c为常数)的图象经过点 A (3,- 4),顶点为点 M，过点A作AB// x轴，交y轴与点D,交该二次函 ), 点C 0,- 1(数图象于点B,连结BC. (1) 求该二次函数的解析式及点 M的坐标； (2) 若将该二次函数图象向上平移 m (m > 0)个单位，使平移后得到的二次函 数图象的顶点落在△ ABC的内部(不包含厶ABC的边界)，求m的取值范围； (3) 点P时直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与△ BCD相 【分析】(1)把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求 b、c的值，然后利用 配方法可求得点M的坐标； (2)先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线 x=1与厶 ABC的两边分别交于点E与点F,然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后 抛物线的顶点在厶BAC的内部列不等式组求解即可； (3) 先证明/ PCM为直角，然后分为△ MPCsA CBD BD3A MCP,两种情况 (9+3b+3=-l 工二-4 求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可. 【解答】解：(1)把A、C两点的坐标代入得: 解得：卩二-J Lc=-4 二次函数的解析式为y=x2 - 2x- 4. 配方得：y= (x- 1) 2- 5. •••点M的坐标为(1,- 5). (2)设直线AC的解析式为y=kx+b,把点A、C的坐标代入得：(弘\"二T ,解得: Lb=-4 /k=l \\b=-4， •直线AC的解析式为y=x-4. 抛物线的对称轴方程为x=「“ 如图1所示，直线x=1与厶ABC的两边分别交于点E与点F,则点F的坐标为(1, -1)・ 将x=1代入直线y=x- 4得：y=- 3. •-E( 1,- 3). •••抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△ BAC的内部， •••- 3v- 5+mv- 1. 二 2v mv4. 把y=- 1代入抛物线的解析式得：x2 - 2x- 4=- 1,解得x=- 1或x=3, •- B (- 1,- 1). • BD=1 . ••• AB// x 轴，A (4, - 1), 即兰L=3'!-，. ， •-D (0,- 1) ••• AD=DC=3 •••/ DCA=45. 过点M作ME丄y轴，垂足为E. •- C( 0,- 4), M (1,- 5). ••• CE=ME=1 •••/ ECM=4°, MC= _. •••/ ACM=9° . •••/ PCM=Z CDB=90. ① 当△ MPCsACBD时， ，即F = •，解得BD\"CM 1 3 3 CF=PF=sin45 ?PC= 3 x - =.2 3 .P ( - 1 3 ,-「). 3 如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF丄y轴，垂足为F . \\ ］」 \\ 0 f 3 厂/ Zi \\ \\ / •/ CP=-, / 3 FCP=45, / CFP=90, .CF=FP=— x—=. .P(-'， 11 y ). 解得PC=3二. 3 2 3 如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE丄y轴，垂足为E. . PC=PC^C 1 ••• PC=3「，/ PCE=45,/ PEC=90, ••• CE=PE=3「X ■ -=3. 2 •-P (- 3,- 7). 如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE!y轴，垂足为E. ••• PC=3「，/ PCE=45,Z PEC=90, ••• CE=PE=3 匚 X—=3. 2 •-P （3，- 1）. 综上所述，点P的坐标为（-3，- 7）或（3，- 1）或（-「，-琴）或（—， 0 0 0 8 .如图1,在厶ABC中，/ ACB=90, / BAC=60,点E是/BAC角平分线上一点， 过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是 BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF. （1） 如图1,若点H是AC的中点，AC=2「，求AB, BD的长； （2） 如图1,求证:HF=EF 1 （3） 如图2,连接CF, CE猜想：△ CEF是否是等边三角形？若是，请证明； 若不是，说明理由. C 【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果； (2) 如图1,连接AF,证出△ DAE^A ADH,A DHF^A AEF,即可得到结果； (3) 如图2,取AB的中点 M，连接CM, FM,在R△ ADE中，AD=2AE根据 三角形的中位线的性质得到 AD=2FM,于是得到FM=AE,由/ CAE= / CAB=30 2 / CMF=Z AMF- AMC=3° ,证得△ ACE^A MCF,问题即可得证. 【解答】解：(1)vZ ACB=90 , / BAC=60, •••/ ABC=30 , ••• AB=2AC=2< 2「=4「, ••• AD丄AB , / CAB=60 , • / DAC=30 , AH= AC=「, 2 • AD= r cos30 =2 , • BD=「「=2 —; (2)如图1,连接AF, ••• AE是/ BAC角平分线, • Z HAE=30 , • Z ADE=/ DAH=30 , 在△。人丘与厶ADH中, ZAHD=ZDEA-90G ZADE=ZDAH , 「AD二AD • △ DAE^A ADH, ••• DH=AE •••点F是BD的中点， ••• DF=AF vZ EAF=/ EAB- / FAB=30 -Z FAB / FDH=/ FDA-Z HDA=Z FDA- 60° (90° -Z FBA) •••Z EAF=/ FDH, 在AOHF与AAEF中， r -60°30° -Z FBA DH=AE € ZHDF=ZEAH, LDF 二AF • △ DHF^A AEF, • HF=EF (3) 如图2,取AB的中点M，连接CM, FM, v F、M分别是BD、AB的中点， • FM// AD，即卩 FM 丄AB. 在 Rt△ ADE 中，AD=2AE v DF=BF AM=BM， • AD=2FM, • FM=AE vZ ABC=30, • AC=CM= AB=AM, 2 vZ CAE= Z CAB=30Z CMF=Z AMF-Z AMC=3° , 在厶 ACE与△ MCF 中, 'AC=CM “ ZCAE^ZCMF, LAE -IF • △ ACE^A MCF, • CE=CF Z ACEZ MCF, vZ ACM=6° , • Z ECF=60, •••△ CEF是等边三角形. 9 •已知，一条抛物线的顶点为E (- 1,4),且过点A (-3, 0),与y轴交于点 C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且-3vmv- 1,过点D作DK 丄x轴，垂足为K, DK分别交线段AE、AC于点G、H. (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 求证：GH=HK 【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4 (a^ 0),将点A的坐标代入 求得a的值即可求得抛物线的解析式； (2) 先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG KH的长 (用含m的式子)，从而可证明GH=HK (3) 可分为CG=CH GH=GC HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式 列方程求解即可. 【解答】(1)解：•••抛物线的顶点为E (- 1, 4), •••设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4 又•••抛物线过点A (- 3, 0), (a^ 0). • 4a+4=0,解得：a=- 1. •••这条抛物线的解析式为y=-(x+1) 2+4. (2) 设直线AE的解析式为y=kx+b. •••将 A (- 3, 0), E (- 1, 4),代入得：■二0,解得：k=2, b=6, \\-k+b-4 •直线AE的解析式为y=2x+6. 设直线AC的解析式为y=kix+bi. •••将 A (- 3, 0), C (0, 3)代入得：,3k+b二Q,解得：k=1, b=3, 飞二3 •直线AC的解析式为y=x+3. v D的横坐标为m, DKL x轴 • G (m, 2m+6), H (m , m+3). v K (m , 0) • GH=m+3 , HK=m+3. • GH=HK (3) 由(2)可知：C (0 , 3) , G (m , 2m+6), H (m , m+3) ① 若CG=CH则：「| = 「：,整理得：(2m+3) 2=m2 ,解得开平方得： 2m+3=± m 解得 mi=- 1 , m2=- 3 , v- 3v mv- 1 , • mM- 1 且 m工-3. •这种情况不存在. ② 若GC=GH贝打£=m+3 ,整理得：2m2+3m=0解得m1=0 (舍去), _ 3 叱-T ③ 若 HC=HG 贝贝「：「=m+3 ,整理得：m2- 6m - 9=0 ,解得；m〔=3 -3 匚, m2=3+3 \"■(舍去). 综上所述：当△ CGH是等腰三角形时,m的值为•或-’\". 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容