45分钟 人教数学A版选修2-3 综合测试 (25)

(时间：60分钟

一、选择题(每小题5分，共30分)

1

1．已知随机变量X服从二项分布X～B3，3，则D(3X＋5)＝( )

A．6 C．3

121

解析：∵D(X)＝3×3×1－3＝3. 2

∴D(3X＋5)＝9D(X)＝9×3＝6. 答案：A

2．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )

A．6和2.4 C．2和5.6

B．2和2.4 D．6和5.6 B．9 D．4

满分：100分)

解析：由已知得E(ξ)＝6，D(ξ)＝2.4，又ξ＋η＝8，所以E(η)＝8－E(ξ)＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.

答案：B

3．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的数学期望是( )

10A．3 80C．9

55B．9 50D．9

4×45

解析：由题意得成功的概率为1－36＝9， 5

∴ξ～B10，9，

550

∴E(ξ)＝10×9＝9. 答案：D

i

4．(2019·唐山期末)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝2a(i＝1,2,3,4)，则P(X＜3)＝( )

2A．5 3C．10

3B．5 7D．10

i1234

解析：∵随机变量X的分布列为P(X＝i)＝2a(i＝1,2,3,4)，∴2a＋2a＋2a＋2a＝1，解得a＝5，

123

∴P(X＜3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝10＋10＝10，故选C． 答案：C

5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 C．300

B．200 D．400

解析：由题意设没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B(1 000,0.1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.

答案：B

6．一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )

1

A．48 1

C．12

1B．24 1D．6

解析：由已知，得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，

答案：D

二、填空题(每小题5分，共20分)

1

7．已知随机变量ξ～B5，3，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________.

57

解析：∵E(ξ)＝3，∴E(η)＝2E(ξ)－1＝3. 7

答案：3

8．(2019·晋中期末调研)两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6，0.3，那么两名狙击手中，获胜希望大的是________．

解析：设甲得分为X，乙得分为Y，则E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(Y)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.

因为E(X)9．(2019·杭州二中月考)一牧场的10头牛，因误食含疯牛病毒的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________.

解析：由已知ξ服从二项分布：ξ～B(10,0.02)， 所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.196

10．若随机变量X服从正态分布X～N(3,2)，η＝望是________．

X－3333X

＝E－＝－＝解析：∵X～N(3,2)，∴E(X)＝3，∴E(η)＝E

222220.

答案：0

三、解答题(共50分)

X－3

，则随机变量η的期2

11．(12分)某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．

(1)求两天全部通过检查的概率；

(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天、2天分别奖300元、900元．那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？

解：(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件．“记第一天通过检查”为C439

事件A，则P(A)＝C4＝5.

10

C418

记“第二天通过检查”为事件B，则P(B)＝C4＝3.

10因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的，

311

所以两天全部通过检查的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝5×3＝5. (2)记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为－300,300,900. 224

P(ξ＝－300)＝P(－A－B)＝P(－A)P(－B)＝5×3＝15. P(ξ＝300)＝P((A－B)∪(－AB))＝P(A－B)＋P(－AB) 32218＝P(A)P(－B)＋P(－A)P(B)＝5×3＋5×3＝15. 1P(ξ＝900)＝P(AB)＝5. 所以，ξ的分布列为

ξ P －300 4 15300 8 15900 1 5481所以E(ξ)＝－300×15＋300×15＋900×5＝260. 故该车间在这两天内得到奖金的数学期望是260元．

12．(12分)(2019·太原五中检测)为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站，为此搜集并整理了过去50年的水文数据，得如下表：

年入流量X 年数 40＜X＜80 10 80≤X＜120 30 120≤X＜160 8 X≥160 2 将年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X的限制，并有如下关系：

年入流量X 发电机最多可运行台数 40＜X＜80 1 80≤X＜120 2 120≤X＜160 3 X≥160 4 已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1 500万元，若水电站计划在该水库安装2台或 3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由．

1

解：(1)依题意，P1＝P(40＜x＜80)＝5， 3

P2＝P(80≤X＜120)＝5， 4

P3＝P(120≤X＜160)＝25， 1

P4＝P(X≥160)＝25，

1

所以年入流量不低于120的概率P5＝P(X≥120)＝P3＋P4＝5.由二项分布，13111－1－在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为P＝C0＋C3355

2

16448112

×5＝125＋125＝125.

(2)记水电站的总利润为Y(单位：万元) ①若安装2台发电机的情况：

Y P 3 500 15 10 000 45 14∴E(Y)＝3 500×5＋10 000×5＝8 700， ②若安装3台发电机的情况：

Y P 2 000 15 8 500 35 15 000 15 131∴E(Y)＝2 000×5＋8 500×5＋15 000×5＝8 500. 因为8 700＞8 500，所以应安装2台发电机．

13．(13分)某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如下茎叶图(单位：cm)：

在这30株树苗中，树高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“生长良好”，树高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．

(1)对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？

(2)若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

解：(1)根据茎叶图知，“生长良好”的有12株，“非生长良好”的有18株，

51

用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是30＝6，

11

∴“生长良好”的有12×6＝2(株)，“非生长良好”的有18×6＝3(株)， 用事件A表示“至少有一株‘生长良好’的被选中”，

2C337

则P(A)＝1－C2＝1－10＝10. 5

(2)依题意，一共有12株生长良好，其中A种树苗有8株，B种树苗有4株，则X的所有可能取值为0,1,2,3，

3C814

P(X＝0)＝C3＝55；

1221C8C428

P(X＝1)＝C3＝55；

1221C4C812

P(X＝2)＝C3＝55；

123C41

P(X＝3)＝C3＝55.

12

分布列如下：

X P 0 1455 1 2855 2 1255 3 155 1428121所以E(X)＝0×55＋1×55＋2×55＋3×55＝1.

14．(13分)世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机非常强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场，为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，相关部门随机抽取了某市的1 000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别 频数 [0,20) 2 [20,40) 250 [40,60) 450 [60,80) 290 [80,100) 8 (1)求所得样本的中位数(精准到百元)； (2)根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N(51,152)，若该市共有高中毕业生65 000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8 100元以上；

(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生

回访，记选出的男生人数为Y，求Y的分布列与数学期望．

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.

2250450x－40

解：(1)设样本的中位数为x，则1 000＋1 000＋1 000·20＝0.5，解得x≈51. 所以所得样本中位数为5 100.

(2)由题意得μ＝51，σ＝15，μ＋2σ＝81， ∴旅游费用支出在8 100元以上的概率为 P(x≥μ＋2σ)＝000＝1 482，

∴估计有1 482位同学旅游费用支出在8 100元以上． (3)由题意得Y的可能取值为0,1,2,3. C355

P(Y＝0)＝C3＝28，

8

2C13C515

P(Y＝1)＝C3＝28，

81C23C515

P(Y＝2)＝C3＝56，

8

1－Pμ－2σ＜x≤μ＋2σ1－0.954 4

＝＝0.022 8,0.022 8×65

22

C313

P(Y＝3)＝C3＝56，

8∴Y的分布列为：

Y P 0 528 1 1528 2 1556 3 156 5151519∴E(Y)＝0×28＋1×28＋2×56＋3×56＝8.