北师大版九年级数学下册第二章质量检测试题

初中数学试卷

北师大版九年级数学下册第二章质量检测试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人 得分 一、选择题

1．二次函数y=-x2+2x+2化为y=a（x-h）2+k的形式，下列正确的是( ) A. y=-（x-1）2+2 B. y=-（x-1）2+3 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x-2）2+4 2．抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )

A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）

3．把抛物线y=－x2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）

A.y=－(x－1)²－3 B.y=－(x+1)²－3 C.y=－(x－1)²+3 D.y=－(x+1)²+3 4．小明从图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面四条信息：①2a3b0；②b24ac＜0；③abc0；④方程

ax2bxc0必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个

数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数的图象（﹣0.7≤x≤2）如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1 C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，无最大值

唐玲

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6．二次函数yax2bxc(a0)，自变量x与函数y的对应值如下表：

则下列说是( )

A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是x=

7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y坐标系内的大致图象是（ ）

a与正比例函数y=bx在同一x5 2x y … … ﹣5 4 ﹣4 0 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣1 0 0 4 … … 法正确的

A． B． C． D．

8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）

9．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）

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A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9

10．已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k>-5555 B．k-且k≠0 C．k- D．k>-且k≠0 4444得分 二、填空题

评卷人 11．已知抛物线y=x2﹣（k+1）x+4的顶点在x轴上，则k的值是 ． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．

13．利用图象法求方程的解，体现了数形结合的方法，它是将方程的解看成两个函数图象交点的横坐标．若关于x的方程x2+a﹣于 ．

14．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．

评卷人 4=0（a＞0）只有一个整数解，则a的值等x得分 三、解答题

15．已知：关于x的方程：mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0． （1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

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16．如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点． （1）写出方程ax+bx+c=0的解；

（2）若ax+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．

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17．已知抛物线y=x﹣2x﹣8．

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（1）用配方法把y=x﹣2x﹣8化为y=（x﹣h）+k形式；

（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大．

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2mx﹣m+1的对称轴是直线x=1． （1）求抛物线的表达式；

（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；

（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．

19．根据下列要求，解答相关问题．

（1）请补全以下求不等式﹣2x﹣4x＞0的解集的过程．

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①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x﹣4x的图象（只画出图象即可）．

②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x﹣4x=0的解为 ；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x﹣4x图象中y＞0的部分．

③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x﹣2x+1≥4的解集．

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20．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x﹣4mx+2m+1，和y2=x+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．

21．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

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时间x（天） 售价（元/件） 每天销量（件） 1≤x＜50 x+40 200﹣2x 50≤x≤90 90 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

22．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积； （3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=

1S△BCD，求点P的坐标． 2唐玲

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23．如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ．当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16时，函数的解析式不同）．

（1）填空：m的值为 ；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．

24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

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（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

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参考答案

1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7.B 8．A 9．B． 10．B 11．3或﹣5． 12．x1=1，x2=﹣3． 13．3．

14．y=x2﹣2x﹣3.

15．解：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；②当m≠0时，方程为一元二次方程， △=[﹣（3m﹣1）]﹣4m（2m﹣2） =m+2m+1 =（m+1）≥0，故方程有两个实数根； 故无论m为何值，方程恒有实数根．

(2)、∵二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2， ∴2

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(3m1)24m(2m2)m2

=2， 整理得，3m﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣

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1． 3则函数解析式为y=x﹣2x或y=﹣

128x+2x﹣． 3316．解：(1)、根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可；(2)、确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可．

试题解析：(1)、∵抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0），∴方程ax+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1；

(2)、由图可知，ax+bx+c＞mx+n时，﹣4＜x＜0．

17．解：(1)、y=x﹣2x﹣8=x﹣2x+1﹣1﹣8 =（x﹣1）﹣9．

(2)、由(1)知，抛物线的解析式为：y=（x﹣1）﹣9， ∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣9）

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抛物线的对称轴方程是x=1 当y=0时， （x﹣1）﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4， ∴抛物线与x轴交点坐标是（﹣2，0），（4，0）； ∵该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1， 2

∴当x＞1时，y随x的增大而增大． 18．解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣b2a2m12=1． 解得：m=1．∴抛物线的解析式为y=﹣x2

+2x． （2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3． 将y=﹣3代入得：﹣x2

+2x=﹣3．解得：x1=﹣1，x2=3． ∵a=﹣1＜0，∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．

（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：

∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2

+2×（﹣1）=﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣∵当P=2时，q=﹣22

+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）． ①当k＜0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0． 解得：k≥﹣2．

②当k＞0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方， ∴k﹣4≤﹣3．解得；k≤1． ∴k的取值范围是﹣2≤k≤1． 19．解：①图所示：

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3）． —————————— 唐玲制作仅供学习交流 ——————————

；

②方程﹣2x﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0， 解得：x1=0，x2=﹣2； 则方程的解是x1=0，x2=﹣2， 图象如图1；

③函数y=x﹣2x+1的图象是：

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当y=4时，x﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1． 则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．

20．解：(1)、设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）+k， 当a=2，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=2（x﹣3）+4． ∵2＞0， ∴该二次函数图象的开口向上． 当a=3，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=3（x﹣3）+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．

∵两个函数y=2（x﹣3）+4与y=3（x﹣3）+4顶点相同，开口都向上， ∴两个函数y=2（x﹣3）+4与y=3（x﹣3）+4是“同簇二次函数”．

∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）+4与y=3（x﹣3）+4．

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(2)、∵y1的图象经过点A（1，1）， ∴2×1﹣4×m×1+2m+1=1． 整理得：m﹣2m+1=0． 解得：m1=m2=1．

∴y1=2x﹣4x+3=2（x﹣1）+1， ∴y1+y2=2x﹣4x+3+x+bx+c=3x+（b﹣4）x+（c+3）， ∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”， ∴y1+y2=3（x﹣1）+1=3x﹣6x+4， ∴函数y2的表达式为：y2=x﹣2x+1．

∴y2=x﹣2x+1=（x﹣1）， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1． ∵1＞0，

∴函数y2的图象开口向上． 当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上， ∴y2的取值范围为0≤y2≤4．

21．解：(1)、当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x+180x+2000， 当50≤x≤90时，

y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，

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2x2180x2000(1x50)综上所述：y=；

120x12000(50x90)(2)、当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×45+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； (3)、当1≤x＜50时，y=﹣2x+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，

因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，

因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天， 所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．

22．解：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）+4， 把点B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4； (2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4； 令y=0，则0=﹣（x﹣1）+4，

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11∴x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=2CD×|yB|=2×4×3=6； 111(3)由(2)知，S△BCD=2CD×|yB|=2×4×3=6；CD=4， ∵S△PCD=2S△BCD，

唐玲

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113∴S△PCD=2CD×|yP|=2×4×|yP|=3， ∴|yP|=2， ∵点P在x轴上方的抛物线上， 33∴yP＞0， ∴yP=2， ∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； ∴2=﹣（x﹣1）

2+4，

10101033∴x=1±2， ∴P（1+2，2），或P（1﹣2，2）．

考点：二次函数综合题．

23．解：（1）如图1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别为M，N． 由题意AB=AC=8，∠A=120°， ∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°， ∴AM=

1AB=4，BM=CM=43， 2∴BC=83， ∴m=BC=83， 故答案为：83．

（2）①当0≤m≤8时，如图1中，

在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x， ∴PN=s=

1x． 21111•BQ•PN=•x••x=x2． 2224②当83＜x≤16时，如图2中，

在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，

11PC=8﹣x， 221111∴s=•BQ•PN=•x•（8﹣x）=x2+4x．

2224∴PN=

③当83＜x≤16时， s=

11×83•（8﹣x）=23x323， 22唐玲

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综上，当0≤m≤8时，s =s=23x323.

121x；当83＜x≤16时，s=x2+4x；当83＜x≤16时，44（3）①当点P在AB上，点Q在BC上时，△PQC不可能是等腰三角形． ②当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC， ∵PC=3QC，

∴16﹣x=3（83﹣x）， ∴x=43+4．

③当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ， 即16﹣x=x﹣83， ∴x=8+43．

∴△PCQ为等腰三角形时x的值为43+4或8+43．

考点：动点问题的函数图象．

24．（1）二次函数的表达式为：y=x﹣3x﹣4；

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3172（2）存在，P点的坐标为（，﹣2）；

（3）此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．

解：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为

唐玲

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高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 试题解析：（1）将B、C两点的坐标代入得：

164bc0c4， b3c4；

解得：所以二次函数的表达式为：y=x﹣3x﹣4； （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为（x，x﹣3x﹣4），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E， ∵C（0，﹣4）， ∴CO=4， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=2 ∴y=﹣2； ∴x﹣3x﹣4=﹣2

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31731722解得：x1=，x2=（不合题意，舍去）， 3172∴P点的坐标为（，﹣2）；

（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d，

2

d44kd0， 则k1d4，

解得：∴直线BC的解析式为：y=x﹣4， 则Q点的坐标为（x，x﹣4）；

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当0=x﹣3x﹣4， 解得：x1=﹣1，x2=4， ∴AO=1，AB=5， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

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111=2ABOC+2QPBF+2QPOF

11122

=2×5×4+2（4﹣x）[x﹣4﹣（x﹣3x﹣4）]+ 2 x[x﹣4﹣（x﹣3x﹣4）]

=﹣2x+8x+10 =﹣2（x﹣2）+18

当x=2时，四边形ABPC的面积最大，

此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．

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