高中数学必修二第二章经典练习题

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明

评卷人 得分 一、单项选择

1. 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确

2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（ ）

A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条

3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形 （ ）

A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形

4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )

A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ） A． 相交 B． 异面 C． 平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )

7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（ ）

A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形

C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE，SD所成的角的余弦值为( ) A.

1233 B.3 C.3 D.23 9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED

与D1F所成角的大小是 （ ） A．

15 B。13 C。132 D。2

10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,,则下列命题中正确的是( )

A.若m//,n,则m//n B.若m,mn,则n C.若m//,n//,则m//n

D.若m//,m,In,则m//n

11. 在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ( ) A．30o B．45o C．60o D．90o

12. 已知直线 l、m，平面、，且l，m，则//是lm的

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

13. 设b,c表示两条直线，,表示两个平面，下列命题中是真命题的是

（ ）

A．bbc//b//c B．b//cc//

C．c//c

D．c//c

14. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）

15. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD中心,则A1O与平面ABCD所成角的正切值为( ) A.2 B.

22 D.33 16. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）

A AC B BD C A1D D A1D1 17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（ ） A．1 B．3 C．4 D．1或4

18. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是( )

A．若a，b与α所成角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥b C．若a？α，b？β，a⊥b，则α⊥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

D ·P

A

C

B

19. 如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平

面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )

A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条

20. 已知AA/

是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任意两

点，那么线段AA/

与EF的长度关系是 （ ）

A EFC．若m，m，则∥ D．若m∥，n，则m∥n

22. 三个角是直角的四边形（ ） A．一定是矩形

B．一定是空间四边形

C．是四个角为直角的空间四边形 D．不能确定

23. 如图长方体中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角 C1—BD—C的大小为（ ）

Ａ．30° B．45° C．60° D．90°

24. 直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（ ）

A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有 25. 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是（ ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 26. 直线与平面平行的充要条件是（ ）

A．直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线不相交

C．直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直线平行

27. 下列四个结论：

⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

28. 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中错误．．

的是（ ） A．点H是A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1

C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45o 29. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ） A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角。以上命题正确的有 （ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D3个

31. 正四棱锥PABCD的所有棱长相等,E为PC的中点,那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于( ) A.

12 B.2232 C.3 D.3

32. 对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l ( )

(A)平行 （B）相交

(C)垂直 (D)互为异面直线

33. 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ） A． 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B． 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交

C． 若a在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为O，E为PC的中点，则直线AP与OE的位置关系是( )

A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能

35. 三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为500π

3的球的表面上，△ABC所

在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ) A．7 B． C．8 D．9 36. 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ） （A）

3574 (B) 4(C) (D) 34 437. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）

A． a//b，b//，则a//

B． a，b，a//，b//，则//

C． a，b//，则ab

D． 当a，且b时，若b∥，则a∥b 38. 与空间四点距离相等的平面共有（ ） A．3个或7个 B．4个或10个 C．4个或无数个 D．7个或无数个

39. 已知直线l，m与平面，，满足Il，l//，m，m，则有( )

（A）且m// （B）且lm （C）m//且lm （D）//且

40. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与平面ABCD所成的角为( )

A、6 B、

arctan33 C、3 D、arctan22

第II卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明

评卷人 得分 二、 填空题

41. 已知直线a和平面,,试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系,构造出一个条件,使之能判断出⊥ ,这个条件可以是 .

42. 已知三个平面α、β、γ，α∥β∥γ，a,b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A、B、C三点，b与α、β、γ分别交于D、E、F三点，

连结AF交平面β于G，连结CD交平面β于H，则四边形BGEH必为__________．

11题图

43. m、n为直线,、为平面,给出下列命题: ①若m,m,则;

②若m,n,m、n是异面直线,则; ③若m,n,m∥,n∥,则∥;

④若m,n∥m,n,n,则n∥且n∥. 其中正确命题序号是 .

44. 已知平面,,,直线l,m满足:,Im,Il,lm,那么

①m; ②l; ③; ④.

可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上).

45. 已知平面,和直线，给出条件：

①m//；②m；③m；④；⑤//.

50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面

切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A,A,B,B分别为

（i）当满足条件 时，有m//；（ii）当满足条件 时，有m. （填所选条件的序号）

评卷人 得分 三、 解答题

46. 如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2, PAB120o,PBC90o.

(1)求证:平面PAD平面PAB; (2)求三棱锥D－PAC的体积; 47. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， ADAB，CD2AB4，

AD2，E为CD的中点，将BCE沿BE折起，使得CODE，其

中点O在线段DE内.

（1）求证：CO平面ABED；

（2）问CEO(记为)多大时, 三棱锥CAOE的体积最大? 最大值为多少?

48. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO面ABCD,E是PC的中点. 求证:(1)PA∥平面BDE (2)平面PAC平面BDE

49. 如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2. （ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积； （Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．

CD»,C¼D,»DE,D¼E的中点，O1,O1,O2,O2分别为CD,CD, DE,DE的中点．

（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

（2）设G为AA中点，延长AO1到H，使得O1HAO1．证明：

BO2平面HBG．

参

一、单项选择

1.【答案】B

【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a平面，b，c，且bcA，则ab，ac，即平面内两条直交直线b，c都垂直于同一条直线a，但b，c的位置关系并不是平行．另外，b，c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面外，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时，b，c的位置关系是异面．

③如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，易知A1B1//平面ABCD，A1D1//平面ABCD，但A1B1A1D1A1，因此该命题是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确． 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 【解析】∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确． 5.【答案】D 6.【答案】D

【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个． 7.【答案】C

8.【答案】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE＝1,AO＝2,AE=2213, 于是cosAEO9.【答案】A 10.【答案】D 11.【答案】C

【解析】取BC的中点E，则AE面BB1C1C，

(3)212(2)2231133【答案】C 3AEDE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE，设ABa，则AEDEa，即有tanADE3,ADE600． 23a，212.【答案】B 13.【答案】C 14.【答案】A

【解析】∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A. 15.【答案】A 16.【答案】B 17.【答案】D

【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D. 18.【答案】 D

【解析】正四棱锥P－ABCD中，PA、PC与底面ABCD所成角相等，但PA与PC相交，∴A错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β，α⊥β，故B错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a？α，b？β，a⊥b，但α∥β，故C错； 19.【答案】Ｃ

【解析】在平面DAB内过点Ｂ与直线BC成60°角的直线共有２条， 故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。 20.【答案】D 21.【答案】D

依次画出各选项的示意图：

【解析】依次画出各选项的示意图： 显然D不正确，选D 22.【答案】D

【解析】若此四边形是平面图形，则一定是矩形．若为空间图形，则为有三个角为直角的空间四边形． 23.【答案】A 24.【答案】B

【解析】过a与该点作一平面与平面相交，则交线与a平行，那么在平面内过该点的直线中，除这一条直线外，其余的与a都不平行，所以正确选项为B. 25.【答案】D

【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D. 26.【答案】C 27.【答案】A

【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内 28.【答案】D 29.【答案】D

【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所以正确选项为D，即有

又EF∥AC1EF//ACEH∥BD2EF//GH，EFGH,EFEH， 1ACBDGH//AC2ACBD

∴ 四边形EFGH是正方形．

30.【答案】A 31.【答案】D

32.【答案】C 33.【答案】C 34.【答案】A 35.【答案】C

【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π， ∴小圆半径r＝O′A＝4，

500π4πR3500π

又球体积为，∴＝，

333

∴球半径R＝5，∴OO′＝3，

故三棱锥的高为PO′＝R±OO′＝8或2，故选C. 36.【答案】D

【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴

AE3,AS3∴ SE23，AF33，∴sinABF 2437.【答案】B

38.【答案】D

【解析】若A、B、C、D四点不在一个平面内，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．若A、B、C、D四点在一个平面内，则距离相等的平面有无数个． 39.【答案】B

m，m，又lml．

40.【答案】D

二、填空题

41.【答案】aa// 或

aa42.【答案】平行四边形

【解析】由α∥β∥γ，a与AF相交于A有：BG面ACF，

∴ BG∥CF,同理有：HE∥CF，∴BG∥HE．同理BH∥GE，∴ 四边形BGEH为平行四边形．

43.【答案】①② 44.【答案】②④

45.【答案】③⑤ ②⑤

【解析】若m，//，则m//； 若m，//，则m。

三、解答题

46.【答案】(1)证明:∵ABCD为矩形 ∴ADAB且AD//BC

∵BCPB ∴DAPB且ABIPBB ∴DA平面PAB,又∵DA平面PAD ∴平面PAD平面PAB

(2) ∵VDPACVPDACVPABCVCPAB

由(1)知DA平面PAB,且AD//BC ∴BC平面PAB分

∴VCPAB1SPABBC11PAABsinPABBC112313 332627.【答案】（1）在直角梯形ABCD中，CD2AB，E为CD的中点，则ABDE,又AB∥DE，

ADAB,知BECD.在四棱锥CABEO中，BEDE,BECE，

CEIDEE，CE,DE平面CDE，则BE平面CDE.因为CO平面CDE,所以

BECO.又CODE, 且BE,DE是平面ABED内两条相交直线, 故CO平面

ABED.

(2)由(1)知CO平面ABED， 知三棱锥CAOE的体积V111SAOEOCOEADOC 332由直角梯形ABCD中,CD2AB4，AD2，CE2，得三棱锥CAOE中，

OECEcos2cos,OCCEsin2sin,V22sin2， 33当且仅当sin21,0,ππ，即时取等号，（此时OE2DE，O落在线24

段DE内）.故当2π时, 三棱锥CAOE的体积最大，最大值为.

3448.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,又∵OE平面BDE,PA平

面BDE,∴PA∥平面BDE

(2)∵PO底面ABCD,∴POBD,又∵ACBD,且ACPO=O∴BD平面PAC,而BD平面BDE,∴平面PAC平面BDE.

49.【答案】（Ⅰ）∵AA1⊥平面 ABCD，∴AA1BD．

底面ABCD是正方形，ACBD．

AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1．

BD平面B1BDD1，∴平面A1ACC1平面B1BDD1．

（Ⅱ）过D1作D1HAD于H，则D1H//A1A．

∵AA1⊥平面 ABCD，D1H平面ABCD． 在RtD1DH中，求得D1H3．而A1AD1H， 所以四棱台的体积V1173SSSS h1243． 333（Ⅲ）设AC与BD交于点O，连接OC1．

过点B在平面B1BCC1内作BMC1C于M，连接MD． 由（Ⅰ）知BD⊥平面A1ACC1，BDC1C． 所以C1C平面BMD， C1CMD． 所以，BMD是二面角BC1CD的平面角． 在RtC1OC中，求得C1C5，从而求得OMOCOC130． C1C5在RtBMO中，求得BM45，同理可求得DM． 55BM2DM2BD21． 在BMD中，由余弦定理，求得cosBMD2BMDM450.【答案】

（1）连接BO2,O2O2,

依题意得O1,O1,O2,O2是圆柱底面圆的圆心

∴CD,CD,DE,DE是圆柱底面圆的直径

¼»,D¼D,DEE的中点 ∵A,B,B分别为C∴AO1DBO2D90o ∴AO1∥BO2

∵BB//O2O2，四边形O2O2BB是平行四边形 ∴BO2∥BO2 ∴AO1∥BO2

∴O1,A,O2,B四点共面

（2）延长AO1到H，使得O1HAO1，连接HH,HO1,HB ∵O1HAO1

∴O1H//O2B，四边形O1O2BH是平行四边形 ∴O1O2∥HB

∵O1O2O2O2，O1O2BO2，O2O2IBO2O2 ∴O1O2面O2O2BB

∴HB面O2O2BB，BO2面O2O2BB ∴BO2HB

易知四边形AAHH是正方形，且边长AA2 ∵tanHO1HHHAG12，tanAHG

O1HAH2∴tanHO1HtanAHG1 ∴HO1HAHG90o ∴HO1HG

易知O1O2//HB，四边形O1O2BH是平行四边形

∴BO2∥HO1

∴BO2HG，HGIHBH ∴BO2平面HBG．