平面向量单元测试题

平面向量单元测试题

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．化简ACBDCDAB得（ ）

A．AB B．DA C．BC D．0 →→

2．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则相等的向量是（ ）

→→

A. AD与CB →→

C. AC与BD

3．某人先位移向量a：“向东走5 km”，接着再位移向量b：“向西走3 km”，则ab表示( )

A．向东走2 km C．向东走8 km

B．向西走2 km D．向西走8 km

→→

B. OB与OD

→→

D. AO与OC

4．如果△ABC的顶点坐标分别是A(4,6), B(2,1),C(4,1),则重心的坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4)

→→→

5．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝( )

A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7)

D．(－3，－7)

6．下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）

A.e1=（0，0），e2 =（1，－2） C. e1=（3，5），e2=（6，10）

7． O是ΔABC所在的平面内的一点，且满足（OB-OC）·（OB+OC-2OA）=0，则ΔABC的形

状一定为（ ）

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形

8．已知|a|3,|b|5,且ab12，则向量a在向量b上的投影为（ ）

A．

1 / 7

B. e1=（－1，2），e2=（5，7）

13D. e1=（2，－3），e2=（，－）

2412 5B．3 C．4 D．5

9．已知两个力F1,F2的夹角为900，它们的合力的大小为10N，合力与F1的夹角为600，则 F1的大小为（ ）

A．53N B．5N C．10N D．52N

→→→→

10．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标为( )

A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)

二、填空题（每小题5分，共20分）

11．若a3,b2，且a与b的夹角为600，则ab ．

12．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，

若ABa，ACb，则MN＝ ．

13．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则船实际航行的速度的大小是 km/h．

14．设点M1(2,－2), M2(－2,6)，点M在M2M1的延长线上，且| M1M|=|M M2|，则点M的坐标是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共780分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)． （1）试计算ab及ab的值； （2）求向量a与b的夹角的余弦值。

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15

16．（本小题满分14分）

已知a3，b2，a与b的夹角为60°，c3a5b，dma3b. (1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？

17．（本小题满分12分）

→

已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．

18．（本小题满分12分）

如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，AB4,AD2,且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，且DAB60，求AMDN的值.

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19．（本小题满分14分）

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． →→

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

20．（本小题满分14分）

已知平面向量a（1）证明：ab；

133，1，b，

22（2）若存在不同时为零的实数k和t，使xat3b，ykatb，且xy，试

求函数关系式kf(t)；

（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)k0的解的情况。

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平面向量单元测试题参

一、选择题

DDABB BCABC

1

二、填空题 11、7 12、3 （b－a） 13、4 14、(3,4) 15、解：（1）a =（1，0）-（0，1）=（1，-1），b=（4，0）+（0，3）=（4，3）。

a·b=（1，-1）·（4，3）=1；„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

|a+b|=|（5，2）|=29。„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 （2）cosab2。„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

|a||b|1016、解：(1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，

29

即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，解得m＝. 14

29

故当m＝时，c⊥d. „„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

14(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)，即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，

3－λm＝0，

∵a，b不共线，，∴

5＋3λ＝0.

λ＝－3，解得9

m＝－.5

5

9

故当m＝－时，c与d共线．„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

5→

17、解：设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，

→→

BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)， →→

∵D在直线BC上，即BD与BC共线， ∴－6(y－2) －（－3）（x－3）＝0，

∴x－2y＋1＝0.①„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 →→又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②

x＝1，由①②可得„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

y＝1.

→→

∴|AD|＝1－22＋22＝5，即|AD|＝5，D(1,1)．„„„„„„„„„„„„12分

18、解：设ABa，ADb所以a4，b2，则ab42cos604„„„4分

11AMDN(ADDM)(ANAD)(ba)(ab) 故

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21211abab2441„„„„„„„„„„„12分 844（本题可建坐标解答）

→→

19、解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．

→→→→又∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD.„„„„„„„„„„„„„„„6分 →→→→(2)∵AB⊥AD，若四边形ABCD为矩形，则AB＝DC. 设C点的坐标为(x，y)，则有(1,1)＝(x＋1，y－4)，

x＋1＝1，x＝0，∴∴∴点C的坐标为(0,5)． y－4＝1，y＝5.

→→→→→→由于AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，∴AC·BD＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，|AC|＝25，|BD|＝25.

→→

AC·BD1

设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝＝＝>0. →→205|AC||BD|

4

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.„„„„„„„„„„„„„„14分

5

1320、解：①a·b310 ab„„„„„„„„4分

22xy，x·y0，即at3b·katb0 ②

22 整理得：katkt3a·btt3b0

22 因为：a·b0，a4，b1，则4ktt30

kf(t)123tt„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 4422121391399kf(t)(t3t)tt③

4441616242 且方程f(t)k0的解的情况可以看作曲线yf(t)与直线yk的交点的个数

9时，yk与f(t)有两个交点，因此方程f(t)k0有两解； 169 k时，yk与f(t)有一个交点，因此方程f(t)k0有一解；

169 k时，yk与f(t)没有交点，因此方程f(t)k0无解。

16 k„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

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