z变换 离散系统分析实验报告

学生姓名： 学号 专业班级：

实验类型：□ 验证 □ 综合 □ 设计 □ 创新 实验日期： 2012、5、24 实验成绩：

MATLAB基础上机训练一八

一、实验项目名称: z变换及离散时间系统的Z域分析

二、实验目的：

（1）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法

（3）掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法

三、实验原理

1）离散系统零极点

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即

ay(ni)bx(nj) （8-1）

iji0j0NM其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z变换的

H(z)Y(z)X(z)bzjMjazii0j0NiB(z) （8-2） A(z)将式（8-2）因式分解后有：

(zq)jMH(z)C(zp)ii1j1N （8-3）

其中C为常数，qj(j1,2,,M)为H(z)的M个零点，pi(i1,2,,N)为H(z)的N个极点。

系统函数H(z)的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函

数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

 系统单位样值响应h(n)的时域特性；  离散系统的稳定性；  离散系统的频率特性；

2）离散系统零极点图及零极点分析

1．零极点图的绘制

设离散系统的系统函数为

H(z)B(z) A(z)则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：

p=roots(A)

其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向量。多项式根的MATLAB命令举例如下：

A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P =

-0.5000 -0.2500

需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按z的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）H(z)按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如

1z32zH(z)4 32z3z2z2z1其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）H(z)按z的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z0的零点或极点就可能被漏掉。如

112z1H(z)

11121zz24其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得H(z)的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零

极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold on

axis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square')

plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off

2．离散系统零极点分析

（1）离散系统零极点分布与系统稳定性

《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：

 时域条件：离散系统稳定的充要条件为

nh(n)，即系统单位样值响应绝对可和；

 Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H(z)的所有极点均位于Z平面的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。 （2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系

从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数H(z)与单位样值响应h(n)是一对Z变换对；因而，H(z)必然包含了h(n)的固有特性。

离散系统的系统函数可以写成

(zq)jMH(z)C(zp)ii1j1N （8-4）

若系统的N个极点均为单极点，可将H(z)进行部分分式展开为：

H(z)i1Nkiz （8-5） zpi由Z逆变换得：

h(n)ki1Ni(pin)un( ) （8-6）

从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律：

  

H(z)位于Z平面单位圆内的极点决定了h(n)随时间衰减的信号分量； H(z)位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了h(n)的稳定信号分量；

H(z)位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了h(n)的随时间增长的

信号分量；

3）离散系统频率特性分析

1．离散系统的频率响应H(e)

对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：

jx(n)Asin(0n)u(n)

则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：

yss(n)AH(ej)sin[n()]u(n)

H(ej)H(z)zejH(ej)ej()定义离散系统的频率响应为

j其中，H(e)——称为离散系统的幅频特性；

()——称为离散系统的相频特性；

H(ej)是以2为周期的周期函数，只要分析H(ej)在范围内的情况，便可分析出系

统的整个频率特性。

2．用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法

设某因果稳定系统的系统函数H(z)，则系统的频响特性为：

H(ej)H(z)zejH(ej)ej()

MATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：  [H,w]=freqz(B,A,N)

B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频响H(e)在0~范围内N个频率等分点的值，向量w则包含0~范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。  [H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)

j0~2H(e)的值。 该调用格式将计算离散系统在范围内N个频率等分点的频率响应

j因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在

0~或0~2范围内的频响曲线。

2）几何矢量法

利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。

ejqjBjejj

ji ejpiAei有：

jH(e)

Bejj1Ni1Mj(12M)H(ej)ej()

j(12N)Aei则系统的幅频特性和相频特性分别为：

H(ej)Bj1Ni1Mj （8-7）

iAMj1()ji （8-8）

i1N根据式（8-7）和（8-8），利用MATLAB来求解频率响应的过程如下：  根据系统函数H(z)定义分子、分母多项式系数向量B和A；

 调用前述的ljdt()函数求出H(z)的零极点，并绘出零极点图；  定义Z平面单位圆上的k个频率分点；

 求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点的距离；  求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；

j 根据式（8-7）和（8-8）求出系统的H(e)和()；

 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；

下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k为用户定义的频率等分点数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0~r）。

function dplxy(k,r,A,B)

%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点 q=roots(B); %求零点 figure(1) ljdt(A,B) %画零极点图 w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w); %定义单位圆上的k个频率等分点 N=length(p); %求极点个数 M=length(q); %求零点个数 yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量 yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量 vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量 vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量 Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模 Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模 Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角 Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角 fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应 H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应 figure(2)

plot(w,H); %绘制幅频特性曲线 title('离散系统幅频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('幅度') figure(3)

plot(w,fai) title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')

四、实验说明：

例1：绘制如下系统函数的零极点

3z35z210z（1）H(z)3 2z3z7z510.5z1（2）H(z)

31121zz48例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性

例3：已知如下系统的系统函数H(z)，试用MATLAB分析系统单位样值响应h(n)的时域特性。 （1）H(z)（2）H(z)1，单位圆上的一阶实极点； z11z22zcos()18（3）H(z)，单位圆上的一阶共轭极点；

z，单位圆上的二阶实极点； 2(z1)1，单位圆内的一阶实极点；

z0.8（4）H(z)（5）H(z)1，单位圆内的二阶实极点；

(z0.5)21，单位圆外的一阶实极点；

z1.2（6）H(z)例4：绘制如下系统的频响曲线

z0.5z

考题：已知离散系统函数

（1）(z^2-2*z-1)/(2*z^2-1) (2) (z^2+2)/(z^3+2*z-4*z+1) 绘制零极点图，并判断系统的稳定性； 若稳定，则绘制其频响特性曲线。 H(z)

五、实验步骤及结果 例1

（1）>> A=[1 -3 7 -5]; >> B=[3 -5 10 0];

>> ljdt(A,B)

（2）>> A=[1 3/4 1/8]; >> B=[1 -0.5 0]; >>ljdt(A,B)

例2

由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。 例3

1）>> a=[1 -1]; >> b=[0 1]; >> impz(b,a,10)

2）>> a=[1 -2*cos(pi/8) 1]; >> b=[0 0 1]; >> impz(b,a,50) 3）>> a=[1 -2 1]; >> b=[0 1 0]; >> impz(b,a,10) 4）>> a=[1 -0.8]; >> b=[0 1]; >> impz(b,a,10) 5）>> a=[1 -1 0.25]; >> b=[0 0 1]; >> impz(b,a,10) 6）>> a=[1 -1.2]; >> b=[0 1]; >> impz(b,a,10)

例5： B=[1 -0.5]; A =[1 0];

[H,w]=freqz(B,A,400,'whole'); Hf=abs(H); Hx=angle(H); clf

figure(1) plot(w,Hf)

title('离散系统幅频特性曲线') figure(2) plot(w,Hx)

title('离散系统相频特性曲线')

考题：（1）

>> A=[2 0 0 -1];

>> B=[2 -2 -1];

>> ljdt(A,B) 由零极点曲线知系统稳定

>> A=[2 0 0 -1]; B=[2 -2 -1];

[H,w]=freqz(B,A,400,'whole'); >> Hf=abs(H); >> Hx=angle(H); >> clf

>> figure(1) >> plot(w,Hf)

>> title('离散系统幅频特性曲线') >> figure(2) >> plot(w,Hx)

>> title('离散系统相频特性曲线')

考题（2）

>> A=[1 2 -4 1]; >> B=[1 0 0 2];

>> ljdt(A,B) 由零极点曲线知不稳定

六、思考讨论题或体会或对改进实验的建议

通过这次实验，基本学会用MATLAB绘制系统零极点图的方法、逆z变换的求法及离散系统频率特性的分析方法；更进一步加深对离散系统的理解及MATLAB的操作，巩固课堂所学的理论知识。