《随机过程》教学大纲
一、课程信息
课程代码：060148
课程名称：随机过程
英文名称：Stochastic Processes
课程类别：专业核心课
适用专业: 应用统计学
总 学 时：48 学时
理论学时：40 学时
实践学时： 8学时
学 分： 3 学分（理论2.5学分，实践0.5学分）
开设学期：第4学期
考核方式：考试
先修课程：概率论、高等数学
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二、课程简介
《随机过程》是统计学专业的专业必修课程。随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。课程性质为选修课，主要讲述随机过程的基本知识，课程的主要教学教学目的是培养学生运用随机过程分析和解决问题的能力，使学生掌握主要几种随机过程的基本概念与处理随机现象的方法。课程内容包括：随机过程基本概念、Poisson过程、更新过程、Markov链、鞅、布朗运动。
三、教学内容及要求
第一章 预备知识
教学重点和难点：重点和难点是概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
实践环节：无
建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时3学时）（实践学时0学时）
教学目标和要求：通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
第一节 概率空间
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1. 概率空间定义
2. 概率的性质
第二节 随机变量与分布函数
1. 随机变量
2. 常见概率分布
第三节 数字特征、矩母函数与特征函数
1. Riemann-Stieltjes积分
2. 数字特征
3. 关于概率测度的积分
4. 矩母函数
5. 特征函数
第四节 收敛性
1. 收敛性
2. 积分号下取极限的定理
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第五节 独立性与条件期望
1. 独立性
2. 独立随机变量和的分布
3. 条件期望
第二章 随机过程的基本概念和基本类型
教学重点和难点：重点和难点是随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。
实践环节：上机练习
建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时3学时）（实践学时2学时）
教学目标和要求：通过本章学习，使学生理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，理解并掌握随机过程的有限维分布函数族和数字特征，了解随机过程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质。
第一节 基本概念
1. 随机过程的定义
2. 常见随机过程的例子
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第二节 有限维分布与Kolmogorov定理
1. 有限维分布
2. Kolmogorov定理
第三节 随机过程的基本类型
1. 平稳过程
2. 独立增量过程
第三章 Possion过程
教学重点和难点：重点是Possion过程理解、应用，难点是Possion过程两个定义的等价性。
实践环节：上机练习
建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时8学时）（实践学时2学时）
教学目标和要求：通过本章的学习，使学生了解计数过程，理解掌握Possion过程的定义与基本性质，了解泊松过程的实际背景，熟悉它的若干推广及应用。
第一节 Possion过程
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1. Possion过程的第一定义
2. Possion过程的第二定义
第二节 与Possion过程相联系的若干分布
1. Xn和Tn的分布
2. 事件发生时刻的条件分布
第三节 Possion过程的推广
1. 非齐次Poisson过程
2. 复合Poisson过程
3. 条件Poisson过程
第四章 更新过程
教学重点和难点：重点是更新过程理解及应用，难点是更新定理及应用。
实践环节：上机练习
建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时8学时）（实践学时2学时）
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教学目标和要求：通过本章的学习，使学生掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，熟悉更新定理及其应用，了解更新过程的若干推广及应用。
第一节 更新过程定义及若干分布
1. 更新过程的定义
2. N(t)的分布及E[N(t)]的一些性质
第二节 更新方程及其应用
1. 更新方程
2. 更新方程在人口学中的一个应用第三节 更新定理
1. Feller初等更新定理
2. Blackwell更新定理
3. 关键更新定理
第四节 更新过程的推广
1. 延迟更新过程
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2. 更新回报过程
3. 交替更新过程
第五章 Markov链
教学重点和难点：重点是Markov链的定义，转移概率及其渐近性质，难点是常返性的判别及性质，
(n)pij的渐近性质与平稳分布。
实践环节：上机练习
建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时10学时）（实践学时2学时）
教学目标和要求：通过教学要使学生掌握离散时间Markov链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，极限分布和平稳分布，熟悉马尔可夫链的应用，了解连续时间的Markov链的定义及应用。
第一节 基本概念
1. Markov链的定义及一些例子
2. n步转移概率和C-K方程
第二节 状态的分类及性质
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1. 状态的分类
2. 状态的性质
第三节 极限定理及平稳分布
1. 极限定理
2. 平稳分布与极限分布
第四节 Markov链的应用
1. 群体消失模型（分支过程）
2. 人口结构变化的Markov链模型
第五节 连续时间Markov链
1. 连续时间Markov链
2. Kolmogorov微分方程
第六章 鞅
教学重点和难点：重点是鞅的定义，鞅停时定理，难点是一致可积性和鞅收敛定理。
实践环节：上机练习
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建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合
教学学时：（理论学时8学时）（实践学时0学时）
教学目标和要求：通过教学要使学生掌握鞅的基本概念，熟练掌握鞅停时定理及其应用。
第一节 基本概念
1. 鞅的定义
2. 条件Jensen不等式
第二节 鞅停时定理及其应用
1. 鞅停时定理
2. 停时定理的应用——关于期权值的界
第三节 一致可积性
1. 一致可积的定义
2. 停时定理
第四节 鞅收敛定理
1. 鞅收敛定理
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2. 例题
第五节 连续鞅
1. 连续鞅定义
2. 连续鞅的停时定理和收敛定理
四、大纲参考资料
[1] 张波，商豪.应用随机过程（第四版）.中国人民大学出版社，2016
[2] 刘嘉焜.应用随机过程.科学出版社，2003
[3] 何书元.《随机过程》.北京大学出版社，2008
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