（一）教材分析
函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位，在内容上起着承上启下的作用，既与前面学习的整式乘法与因式分解、一元二次方程有着密切联系，又为今后高中阶段函数的学习打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。作为中考的必考内容和重点内容之一，二次函数的综合运用是培养学生数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。
本节课通过复习二次函数的图象及其性质，立足教材，指向中考常考点和热点，让学生进一步掌握用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握二次函数的图象及其性质解决求解长度，面积，最值等问题。 （二）学情分析
在之前新课学习中，学生已经学习了二次函数及其性质，学生有一定的知识方法储备，笔者所教班级学生数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学素养较高，同时学生的综合应用能力还有待提高，特别是，学生对结合函数图象解决平面几何中长度，面积等问题解决能力偏低，分类讨论的思想还不够成熟，通过本节学习初步培养学生解析几何思想；另一方面，本教学设计从学生的认知出发，着重解决求解二次函数解析式问题，结合二次函数图象及性质的求解线段长度，面积和最值问题，以提升学生数形结合能力。 （三）教学目标1.知识点：
（1） 理解二次函数的定义、图象，会用待定系数法求二次函数的解析式； （2） 理解与掌握二次函数图象与直线（含坐标轴）相交问题，抛物线与动
点问题中用字母表示点坐标，线段长，面积大小及结合二次函数求解最值问题。 2.技能：
（1） 让学生理解二次函数的定义、图象，会用待定系数法求二次函数的解
析式，体会与理解待定系数法的本质是列方程（组）求解未知数，从而总结此法是求解函数解析式的常规方法，认识到求二次函数解析式问题本质是列出关于未知系数的方程从而求解方程问题；掌握待定系数法的解题步骤（设， 列，解，答）；熟练掌握完成本节辅例练习第 4 题，典型例题第 1，2 问，
第 1页
变式训练 1，变式训练 2，变式训练 4 第 1 问，课后反馈练习第 1 题第 1 问， 第 2 题，第 4 题第 1 问的练习；
（2） 结合二次函数图象及性质的求解二次函数与直线（含坐标轴）相交中
交点坐标，线段长度，面积和最值问题。及其派生出动点中用字母表示有关量以及结合三角形等几何图形性质解决二次函数求解线段定值和最值等问题；让学生克服“符号化”的恐惧心理，形成数学结合的能力，熟练掌握完成本节辅例练习第 5 题，典型例题第 3 问，变式训练 3，变式训练 4，课后反馈练习第 1 题第 2 问，第 3 题，第 4 题第 2 问的练习。 （四）重点，难点分析
重点：结合二次函数的图象与性质会用待定系数法求二次函数的解析式。 难点：二次函数与直线（含坐标轴）相交时，有关点坐标，线段，以及结合三角形等几何图形性质求解线段长度，面积和最值等综合问题。 （五）教法与学法分析
基于本节课的特点是对旧知识的复习与总结，为了更有效地突出重点、突破难点，应着重采用任务驱动进行复习归纳。所以，本节课采用以题代纲， 梳理知识；查漏补缺，讲练结合；归纳总结，提升能力的方法，让学生在“自主梳理---讨论交流---展示归纳---巩固提升---回顾反思”的教学活动中再次回顾和理解二次函数的图象及性质。教师使用导学案教学，让学生课前自主梳理知识，以自学，对学，群学的小组合作学习进行讨论交流展示归纳， 教师跟踪辅导，重视学生遇到的问题，并及时解决，做好教学过程的反馈工作，使学生得到真正的发展。 （六）教学过程——流程图如下
一、自主梳理
阅读教材《义务教育教科书数学九年级上册》（人民教育出版社）第 32 页 至第 40 页
1. 二次函数的定义：一般的，我们把形如 y ax2 bx c(a 0) 的函数叫做二
第 2页
次 函 数 ， 它 的 一 般 式 是
y ax2 bx c(a 0) ， 顶 点 式 是
y a x h k (a 0) ，交点式是 y a x x (x x1 2 )(a 0) 。求二次函数解析式时，如果已知抛物线上任意三点坐标，用一般式；如果已知抛物线的顶点坐标和任意一点坐标，用顶点_式；如果已知抛物线与 x 轴的交点坐标和 任意一点坐标，用_交点式。
2.一般地，抛物线 y a x h k 与 y ax2 形状相同，位置不同。把抛物线 y ax2 向上（下）向左(右)平移，可以得到抛物线 y a x h k 。平移的方向、距离要根据 h、k 的值来决定。 抛物线 y a x h k 有如下特点：
（1） 当a 0 时，开口向上；当a 0 时，开口向下； （2） 对称轴是直线 x=h ；
2
2
2
2
（3） 顶点坐标是（h,k）。
3. 填表。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y a x h k (a 0) 2 y ax2 bx c(a 0) 当a 0 时，开口向上；当a 0 时，开口向下 bx a b 4ac b2 ( , ) a 4a b 当 x 时，y 有最小值 a 4ac b2 4a x h （h,k） a 0 当 x h 时，y 有最小值 k b 当 x 时，y 有最大 a 4ac b2 值 4a b 当 x 时，y 的值随 x a 的增大而增大； a 0 当 x h 时，y 有最大值 k a 0 当 x h 时，y 的值随 x 的增大而增大； 当 x h 时，y 的值随 x 增减性
第 3页
的增大而减少。 b 当 x 时，y 的值随 a x 的增大而减少。 b 当 x 时，y 的值随 x 当 x h 时，y 的值随 x a 的增大而减少； 的增大而减少； a 0 b 当 x h 时，y 的值随 x 当 x 时，y 的值随 x a 的增大而增大。 的增大而增大。 3 27 4.（自编）抛物线 y (x 2)2 的图象开口向 （填“上”或
2 2 “下”），它的顶点坐标是 值是
。
，当 x 时， y 有最大值， y 的最大
5.（本节例题改编的辅助练习）如图 1，2，已知点 A(6,0) ，B(2,0) ，C(0,4) ， D(4,
112
) ， E(m,2 m) ，则
（1） AB ， OC ， SABC ；
（2） CB ， EB (用 m 表示)
（3）如图 2，过点 D 作 DF 垂直于 x 轴于点 F，交 AC 于点 E，求直线 AC 的解析式及点 E 坐标；
（4） 求ACD 的面积 SACD .
图 1
解：
图 2
4.
OC 4 ， SABC 16 ； 5.（1） AB 8 ，
（2） CB 2 5 ， EB 2 m 2
第 4页
（3）设直线 AC 的解析式为 y kx b （k≠0）， 将 A（﹣6，0）、C（0，﹣4）代入 y kx b ，得：
{
k 2
6k b0 3 b4 ，解这个方程组，得 b4
{
2
∴直线 AC 的解析式为 y x 4
3
11
因为 DF 垂直于 x 轴且 D(4, )
2 所以点 E 的横坐标为-4
2 4
当 x 4 时， y (4) 4
E
3 3 4
故点 E 坐标为(4,)
3
11
（4） 因为 DF 垂直于 x 轴且 D(4, )
2
11 4 25 D F
2 3 6
1 1 1 1 25 25 DE x x DE x DE OA 6 S S S EDC A D D ACD AED
22 22 6 2
25
所以ACD 的面积 S ACD 是 。
2 所以点 F(-4，0)
DE y y
（师生活动：课前学生独立完成，可结合教材，课中教师检查完成情况，并点出基本要点，同时深入学生之间交流，掌握学情，为展示交流做准备。） 【设计意图】学生通过自主梳理，经历回顾、比较、概括等过程，课前完成以上第 1 至第 3 题的阅读与填空，唤醒和加深对二次函数图象及性质的理解， 构建二次函数知识体系，提升归纳概括的能力。针对本节的重难点作分解与突破，设置辅例练习第 4，5 题是呼应突破本节典型例题中求解三角形面积等综合问题，以突出本节重点，使难度得以分解。 二、考点，难点突破
1. 典型例题（引用 2018 年河北省衡水市武邑中学 2018 届九年级上第一次月
考数学试卷第 22 题）
已知如图 3，抛物线 y ax2 3ax c(a 0) 与 y 轴交于点 C，与
x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧．点 B 的坐标为（1，0） OC=3OB．
(1) 直接写出 C 点的坐标；
图 3
第 5页
(2) 求抛物线的解析式；
(3) 若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值。
【教师分析题意：学生先审题，教师巡堂观察学生完成情况，并以问题的形式，师生共同提出以下解题思路】
解：
(1)∵点 B 的坐标为（1，0），OC=3OB， ∴OB=1，OC=3，
∴点 C 的坐标为（0，﹣3）．
(2)将 B（1，0）、C（0，﹣3）代入 y ax2 3ax c ，得：
，解得：
，
3 9
∴抛物线的解析式为 y x2 x 3
4 4
(3)如图 4，过点 D 作直线 DE∥y 轴，交 AC 于点 E， 交 x 轴于点 F，过点 C 作 CG⊥DE 于点 G 当 y=0 时，有 3 x2 9 x 3=0
4 4 解得： x 1=﹣4， x 2 =1，
第 6页
图 4
∴点 A 的坐标为（﹣4，0）， ∴AB=5．
设直线 AC 的解析式为 y kx b （k≠0），
将 A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入 y kx b ，得：
，解得： ，
3
∴直线 AC 的解析式为 y x 3
4 3 2 9 3
设点 D 的坐标为（t， t t 3 ），则点 E 的坐标为（t， t 3 ），
4 4 4
3 3 93
∴ED= t 3﹣（ t 2 t3 ）= t 2 3t ，
4 4 4 4 ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED，
3
∵ ＜0，
2
1 AB•OC+ 1 ED•AF+ 1 E = D•CG， 2 2 2
1 AB•OC+ 1 ED•AO，
= 2 2
1 ×5×3+1×4（ 3 2 = t 3t ）， 2 4 2
3 t 2 6t 15 = 2 2 3 27= (t 2)2 2 2
27 2
∴当 t=﹣2 时，四边形 ABCD 的面积取最大值，最大值为 27
答：四边形 ABCD 面积的最大值为 。
2 形式进行展示，让学生总结提升思想方法】
．
【教师点拨如下内容，解题完毕后，教师对此题进行点播，以 ppt 幻灯片的
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数求最值及割补法求图形的面积，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.
（师生活动：教师结合巡视检查，学生思考完成，约 3 分钟，然后师生共同分析解题思路，第一问学生很快地准确写出答案，教师让个别学生口头回答， 第二问中，待定系数法解决，大部分学生能准确解答，同时也发现部分一直在考虑点 A 的坐标，希望通过点 A，B 的坐标求解二次函数的解析式，而不
第 7页
能立刻下笔。第三问，难点是求△ADC 的面积，部分学生能思考出必须将△ ADC 分割两个可求底和高的三角形来求解，从而推理出正确地做辅助线，此问由中等生或优等生展示解题思路，或解答过程）
【设计意图】立足教材，指向中考常考热点。学生通过口答、计算，加深对二次函数的图象及性质的理解和应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生数形结合思想方法。
2. 变式训练
【设计思路】
变式训练 1 中，给定 2 个点的坐标求二次函数解析式，呼应例题，再要求顶点 C 坐标，巩固求二次函数最值，为后续变式训练做好伏笔。
变式训练 2 中，抛物线与直线（含坐标轴）相交，通过求交点坐标后，代入求解二次函数解析式，培养学数形结合能力，为变式训练 3 做好铺垫。
变式训练 4 中，第（1）问已知二次函数解析式求其图象上点的坐标，培养学生逆向思维能力； 第（2）问动点问题求三角形面积的最大值，跟变式 3 中一样——两定点分居不同的坐标轴上， 不同点在于本题中动点在第四象限，解法思路类似于例题，同时再一次结合例题和变式 3 升华总结出在平面直角坐标系中求三角形面积的方法； 第（3）问，二次函数与等腰三角形的综合问题。
变式训练 3 中，第（1）问动点问题求三角形面积的最大值，动点跟例题中动点同在第三象限，不同的在于本题中两定点 A，B 分居不同的坐标轴上，解法思路类似于例题，同时升华总结出在平面直角坐标系中求三角形面积的方法；第（2）问，直线与抛物线相交， 突出图象中点坐标与其解析式的对应关系， 掌握用字母表示式子的意义。
变式训练 1：(引用 2014 年广州中考数学试卷第 24 题改编)
已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)，B(4,0)，抛物线 y ax2 bx 2(a 0)
过点 A，B，顶点为 C。求抛物线的解析式与顶点 C 坐标。 【解题思路如下图】
第 8页
解法 1：待定系数法：直接带入点坐标列出方程组求解。
解得
{解：依题意得把 A,B 的坐标代入得：
1 3
抛物线的解析式为 y x2 x 2
2 2
ab20
16a4b40
{
1a 2 3b2
b 3
顶点横坐标 x ，
2a 2
3 C( , )
2 8
解法 2：待定系数法：韦达定理列出方程组求解。 ∵抛物线过点 A(-1,0)，B(4,0)
25
2
x1 1， x2 4 是关于 x 的方程ax2 bx 2 0 的两个实数根
由韦达定理，得
b 2
x x ，x x 1 2 1 2
a a b 2 即 3 ， 4
a a 1 3 a ， b 2 2
1 3
抛物线的解析式为 y x2 x 2
2 2 顶点横坐标 x
b 3 2a 2
2
25 3 1 3 3 3
将代 x 入抛物线得 y 2
2 2 2 2 2 8 3 25C( , )
2 8
（师生活动：教师结合巡视检查，让部分学生先展示，充分的暴露问题，再由其他同学纠错、说理、补充、评价、修正。教师特别指出答题的规范性， 使学生书写做到无瑕疵，强调学生得全分的要求）
【设计意图】变式训练 1 从中考真题出发，设计精取常考“求抛物线解析式” 题型，提起学生动手的兴趣。
第 9页
变式训练 2：（引用 2018 年广州市荔湾区 2019 届九年级上学期期末考试数
学试题第 25 题改编）
如图 5，已知直线 y＝x+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点
抛物线 y x2 mx 4 经过点 A，求抛物线的解析式。
【解题思路如下图】
图 5
解：把 y＝0 代入 y＝x+4 得：0＝x+4，解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）．
把点 A 的坐标代入 y x2 mx 4 得：m＝3，
∴抛物线的解析式为 y x2 3x 4
（师生活动：教师结合巡视检查，让部分学生先展示，充分的暴露问题，再由其他同学纠错、说理、补充、评价、修正。教师特别指出答题的规范性， 使学生书写做到无瑕疵，得全分）
【设计意图】变式训练 2 为变式训练 3 做好铺垫，分解重点考点，此变式是抛物线与直线结合考察的题型，考察学生看图，分析图的能力，是中考考察热点问题，尤其此题涉及直线与 x 轴交于点等价于一个式子是什么，以及抛物线过点 A 又等价于什么，教师引导学生由“形”到“数”，是解决此类问题的关键，设计精取常考“求抛物线解析式”题型，提起学生动手的兴趣， 培养学生数形结合的思想方法，初步使学生建立平面解析几何的思想。
变式训练 3：（引用 2018 年广州市荔湾区 2019 届九年级上学期期末考试数 学试题第 25 题改编）
已知直线 y x 4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，且 A(-4,0),抛物线 y x 3x 4
2
经过点 A，和 x 轴的另一个交点为 C．
（1） 如图 6，点 D 是抛物线上的动点且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；
第 10页
（2） 如图 7，经过点 M（﹣4，1）的直线交抛物线于点 P、Q，连接 CP、CQ
分别交 y 轴于点 E、F，求 OE•OF 的值．
图 6
图 7
【解题思路】
第 11页
解：（1）如图 8，过点 D 作 DH∥y 轴，与 x 轴交于点 H，交直线 AB 于点 K
设 D(t, t 2 3t 4) ，即 H t,0, K (t, t 4)
∴ DK y K y D t 4 t 3t 4 t 2t 8
2
2
1 1 1 DK x DK OH DK AH ， S SADK K DKB
2 2 2 SABD SADK SDKB
1 1
DK AH DK OH 2 2 1
DK OA ， 2 1
t 2 2t 8 4 2
2t 2 4t 16
∴当t
图 8
1 时， SABD =-2-4+16=10
2 2
4
∴当t 1时，△ABD 面积的最大，最大值为 10；
（2）把 y＝0 代入 y＝x2+3x﹣4，得：x2+3x﹣4＝0，解得：x＝1 或 x＝﹣4， ∴C（1，0），
设直线 CQ 的解析式为 y＝ax﹣a，CP 的解析式为 y＝bx﹣b．
∴ ∴xQ＝4﹣a
，解得：x＝﹣1 或 x＝4﹣a，
同理：xP＝4﹣b，
设直线 PQ 的解析式为 y＝kx+b，把 M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1．
∴ ，
∴x2 +（3﹣k）x﹣4k﹣5＝0，
∴xQ+xP＝4﹣a+4﹣b＝3﹣k，xQ•xP＝（4﹣a）（4﹣b）＝﹣4k﹣5，解得：ab＝﹣1． 又∵OE＝﹣b，OF＝a， ∴OE•OF＝﹣ab＝1．
（师生活动：教师结合巡视检查，学生思考完成，然后师生共同分析解题思路，第一问学生很快地准确写出答案，第二问较难，让部分完成的学生做讲解，教师点评，规范解答。）
第 12页
【设计意图】变式训练 3 主要考察二次函数图象结合平面几何问题，使前面 3 个变式训练得到提升，升华例题，更加接近考纲要求，突出本节重点，使难点得以分解，让学生加深对二次函数的图象及性质的理解和应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
变式训练 4：(引用 2018 年辽宁省阜新市中考试题第 22 题改编)
如图 9，已知二次函数 y x2 4x 3 图象交 x 轴于点 A（ a ，0），B（ b ，0）， ( a b ),交 y 轴于点 C。
（1） 求a , b 的值；
（2） 点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP
面积的最大值；
（3） 直线 x =m 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当
△BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值。
【解题思路如下图】
图 9
第 13页
解：（1）令 y 0 ，则 x2 4x 3 0
x1 1 或 x2 3 又 a b a 1, b 3
（2）当 x =0 时，y=3，即点 C（0，3）， 设 BC 的表达式为 y kx c ，
将点 B（3，0）点 C（0，3）代入函数解析式，得
{
3k c0 k 1 c3 ，解这个方程组，得 c3
{
∴直线 BC 的解析是为 y x 3
如图 10 过点P 作PE∥y 轴，交直线 BC 于点E (t,t 3) ， PE= t 3 (t 2 4t 3) t 2 3t ，
1 2 3 327
(t )2 ∴S =S +S = (t 3t) 3 =
△BCP △BPE CPE
2 2 8 2
3 ∵ ＜0
2 3
27 ∴当t 时，S = .△BCP 最大
2 8
图 10
（3）M m,m 3，N m, m2 4m 3
MN= m2 3m ，BM= 2 m 3 ，
当 MN=BM 时，① m2 3m 2(m 3) ，解得m 2 ，
② m2 3m 2(m 3) ，解得m 2
当 BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m2 4m 3 0 ，
解得 m=1 或 m=3（舍去）
当 BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°， (m2 4m 3) m 3 ，
解得 m=2 或 m=3（舍去）
当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为 2,2,1,2 。
【教师点拨如下内容，解题完毕后，教师对此题进行点播，以 ppt 幻灯片的形式进行展示，让学生总结提升思想方法】
第 14页
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于 m 的方程，要分类讨论，以防遗漏。 （师生活动：教师巡堂，学生自主完成，第 1 问绝大多数学生都能准确规范 的写出正确答案，第 2 问是例题第 3 问的有效变式反馈练习，教师预留充足的时间让学生思考完成，并及时巡察指点，已突破本节难点，让学生主动展示解答过程，教师特别指出答题思路，答题的规范性，要求学生做到规范答题， 书写规范，无瑕疵，得全分）
【设计意图】变式训练 4 呼应例题和前面 3 个变式，分解重点考点，设计精取常考“已知点在抛物线上求该点坐标”题型，提起学生动手的兴趣，培养学生数形结合的能力和形成分类讨论的思想。更加接近考纲要求，突出本节重点，使难点得以分解，让学生加深对二次函数的图象及性质的理解和应用， 提高学生分析问题和解决问题的能力，这就是尽管此题学生在课堂上完成不了，笔者仍然放在此处的原因。
三．课堂小结
1. 求二次函数的解析式的方法：待定系数法
2. 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 与直线相交（2 个交点）问题
（1）与 x 轴的交点（ x1 ,0 ），（ x2 ,0 ）；
（2） 与 y 轴的交点（ 0, c ）；
（3） 与其他直线相交，交点坐标是直线与抛物线解析式组成方程组的解。
3.在平面直角坐标系求ABC 面积 S
(1) ABC 只有两个顶点在同一坐标轴上，如
1 1
顶点A，B 都在x 轴上，则 S AB y ；顶点 A，B 都在y 轴上，则 S AB x
C C
2 2 (2) ABC 有两个顶点在不同一坐标轴上，第三个顶点不在坐标轴上，如 顶点A 在x 轴上，顶点 B 都在y 轴上，则过点 C 作与y 轴平行的直线，把ABC 分成两个小三角形处理其面积问题。4.动点问题
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 上的动点可以设为t, at 2 bt c，以及推广到 直线上动点的设法。
第 15页
四．课后反馈练习（答案在本文最后的“附”） 【设计思路】
第 1 题中，求解二次函数解析式及动点问题求三角性面积的最大值，变化的地方，给出三点坐标求解析式，其次此时动点在第二象限，呼应例题， 突出本节重点。
第 2 题中，求解二次函数解析式及二次函数图象性质解决直线与其相交问题，呼应变式训练。
第 4 题，与变式训练 4 呼应。
第 3 题中，抛物线与 x 轴相交问题，交点坐标与对应一元二次方程根的关系， 训练学生阅读能力与代数运算能力。对本节难点进行反馈。
1.（引用 2018 年四川省雅安中学中考数学一诊试卷第 24 题改编）
如图 11，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 过点 A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0， 3），顶点为 D．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最
大值．
2.（引用 2017 年广州中考数学试题第 23 题）
图 11
已知抛物线 y1 x2 mx n ， 直线 y 2 kx b, y1 的对称轴与 y2 交于点
A1, 5 ，点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4。
（1） 求 y1 的解析式；
（2） 若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的
解析式。
第 16页
3.（引用 2012 年 2012 届广东省汕头市濠江区中考模拟考试数学卷第 22 题）
若 x ， x 是关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两个根，则方程的
1
2
b c
两个根 x ， x 和系数a, b, c 有如下关系： x + x ， x x 。我们把它
1 2 1 2 1 2
a a
们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x
轴的两个交点为 A(x1 ,0) ，B(x2 ,0) .利用根与系数关系定理我们又可以得到 A、B 两个交点间的距离为：
b 4c b2 4ac 2
4x x AB x1 x2 x 1 x 2 1 2
a a a 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:
设二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴的两个交点为 A(x ,0) 1，
2
B(x2 ,0) .，抛物线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形.
（1） 当ABC 为等腰直角三角形时，求b2 4ac 的值；
（2） 当ABC 为等边三角形时，求b 4ac 的值。
2
4．（引用 2016 年 2016 届广东省中考考前押题数学试卷（五）第 23 题） 1
如图 12，抛物线 y x2 x 4 与坐标轴相交于 A、B、C 三点，P 是线段
2
AB 上一动点（端点除外），过 P 作 PD∥AC，交 BC 于点 D，连接 CP．
（1） 直接写出 A、B、C 的坐标；
（2） 求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值时，以 PA、
PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．
图 12
第 17页
（师生活动：学生课后完成，上交给教师批改，教师认真批改后，在下一课进行讲评） 【设计意图】课后反馈练习主要检验学生本节课学习的情况，让教师掌握每一个学生课堂学习的情况，做好下一节反馈跟踪工作。同时，让学生对本节重点内容进行“沉淀”，内化， 使自我得到提升。
（师生活动：教师提问，学生共同问答，ppt 幻灯片展示结果）
【设计意图】 此部分是学生对本节课的主要内容得到整体的把握，总结提升。
（七）教学反思
1. 基于本节课的特点是对旧知识的复习与总结，为了更有效地突出重点、突破难点，应
着重采用任务驱动进行复习归纳。所以，本节课采用以题代纲，梳理知识；查漏补缺，讲练结合；归纳总结，提升能力的方法，让学生在“自主梳理---讨论交流---展示归纳---巩固提升---回顾反思”的教学活动中再次回顾和理解二次函数的图象及性质，教学过程设置合理， 能兼顾绝大多数学生，少部分学生未能完成到变式训练 3，掌握本节课核心思想，教师将利用课后的时间跟踪辅导，使每一个学生得到提高发展。
2. 本节课以导学案的形式，让学生预习书本的内容，回归教材，培养学生自主学习的能
力，指向中考常考点和热点，激发学生学习的动力。本节课教学遵循“从具体到抽象”、“从感性到理性”的认知规律，发挥学科与信息技术的整合优势，借助多媒体教学，由于本教学内容涉及的难度是中考后三题的程度，难度较大，所教学生数学素养虽不低，但是能力在后30%的同学必需“抓”起来，本人将通过课后作业进一步让学生消化，巩固，提升。这也是后续教学必要的反馈工作。
3. 笔者在教学过程中，也存在一定的不足。课堂节奏上，不应该“赶时间”，教师自己
总结，应该放手让学生发表自己的想法并加以提炼总结，学生学习的效果会更加。笔者将不断提升自身的专业水平，做到立德树人。
附：课后反馈练习答案1.解：
（1）将 A，B，C 点的坐标代入解析式，得方程组：
第 18页
解得
抛物线的解析式为 y x2 2x 3
（2）配方，得 y x 1 4 ，顶点 D 的坐标为（-1，4）
2
作 B 点关于直线 x 1 的对称点 B' ，如图 13 则 B' (4,3)
1 19
可求出直线 DB的函数关系式为 y x ，
5 5
'
图 13
当 M(1，m)在直线 DB' 上时，MN+MD 的值最小，
1 19 18
则m 1 5 5 5 （3）作 PE x 轴交 AC 于 E 点，如图 14
AC 的解析式为 y x 3 ，设 P(m,m2 2m 3) ， Em, m 3， PE m2 2m 3 m 3 m2 3m
1
1 2
3 3
2
27
27 3
当m 时，APC 的面积的最大值是 ；
8 2
2
2. 解：（1）∵抛物线 y =﹣x+mx+n，直线 y =kx+b，y 1 2 1 的对称轴与 y 2 交于点 A（﹣1，5），点
A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4． ∴B（﹣1，1）或（﹣1，9）， ∴﹣
=﹣1，
=1 或
=9，
解得 m=﹣2，n=0 或 8，
∴y =﹣x2﹣2x 或 y =﹣x2﹣2x+8； 1 的解析式为 y 1 1
（2）①当 y =﹣x2﹣2x 时，抛物线与 x 轴交点是（0.0）和（﹣2.0）， 1 的解析式为 y 1 ∵y1 的对称轴与 y2 交于点 A（﹣1，5）， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（﹣2，0）， 把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得
，
第 19页
解得 ，
∴y2=5x+10．
②当 y =﹣x2﹣2x+8 时，解﹣x2﹣2x+8=0 得 x=﹣4 或 2， 1 ∵y2 随着 x 的增大而增大，且过点 A（﹣1，5）， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（﹣4，0）， 把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得
，
解得
∴y2= x+
；
．
3. 解：⑴ 当ABC 为等腰直角三角形时，过 C 作CD AB ，垂足为 D，如图 15
则 AB 2CD
∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴ 0 ， ∴ b2 4ac b2 4ac
b2 4ac b2 4ac ∵ AB ， CD ， a 0 ，
a 4 a ∴ b2 4ac
b2 4ac 2
∴ b2 4ac
2 b2
2
4ac4
2
图 15
∴ b
2
b 4ac
4ac4
∴ b2 4ac 4
⑵当ABC 为等边三角形时，由（1）可知
CD= 3 AB
∴ 3 b2 4ac
b2 4ac 2
∴ b2 4ac 12
第 20页
4．解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）； （2）PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形， 理由如下：
设 Px,0 2 x 4
∵ PD // AC PD PB ∴ AC AB
解得 PD
2 2 x 23
0
∵C 到 PD 的距离（即 P 到 AC 的距离） d PA sin 45
2 2
1 1 1 2 8
∴△PCD 的面积 S PD d x 24x x2 x 2 3 3 3 3
1 2
即 S x 1 3 3 ∴△PCD 面积的最大值为 3，
4 x，
2 2 1 2 2 2 ， 3
当△PCD 的面积取最大值时， x 1 ， PA 4 x 3 ， PD
∵PA≠PD，
∴PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形．
第 21页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容