第16届天津市大学数学竞赛试题

2001年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）

一、 填空: 1．设

e2x1,x0在(,)上连续，则af(x)xacosxx2,x0 。

2．设函数yy(x)由方程exycos(xy)0所确定,则dyx0 。 3．由曲线4．设

yx3x22x与x轴所围成的图形的面积A 。为闭区间[0,4]上使被积函数有定义的点的集合，则

EEcosxsinxdx 。

5．已知z(1xy)y,则z 。

y二、选择题：（每小题3分） 1.若 lim(x)u且lim0xx0uu0f(u)A,则（ ）

（A）

uu0limf[(x)]存在； （B）limf[(x)]A;

uu0（C）limf[(x)]不存在； （D）A,B,C均不正确。

uu02．设f(x) （A）

sinx0（ ） sinx2dx,g(x)x3x4,则当x0时，

f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小；

1

（B） （C） （D）

f(x)与g(x)为等价无穷小；

f(x)是比g(x)更高价的无穷小； f(x)是比g(x)更低价的无穷小。

3．设函数f(x)对于任意x都满足f(x1)af(x),且f(0)b,其中a,b均为非零常数，则f(x)在x1处（ ）

（A）不可导； （B） 可导，且f(1)a；

（C） 可导，且f(1)b； （D）可导，且f(1)ab 。 4．设f(x)为连续函数,且f(x)不恒为零,Ittf(tx)dx,其中

0ss0,t0,则I的值( )。

(A)与s和t有关; (B)与s、t及x有关; (C)与s无关,与t有关; (D)与s有关,与t无关。

5．设u(x,y)在有界闭区域

D

上具有二阶连续偏导数，且满足

22u2u。 0,及u20,则（ ）2xyxy （A）u(x,y)的最大值点和最小值点都在区域D的内部； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点都在区域D的边界上； （C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的

边界上；

（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的

2

边界上。 三、（6分）求极限limx0cosxe

2x[2xln(12x)]x223xacost在t3处的切线与ox轴的夹角。 四 （6分）求星形线,34yasint五 （7分） 已知方程xlnz定义了函数zzyz(x,y),求2z.

x2六 （6分）计算

0xexdx. x2(1e)七 （7分）计算Idy1214y12edx1dyedx

2yyx1yyx八 （8分）某工厂计划投资144（百万元）用于购进A,B两种生产线，

A生产线每套售价

若购进

4（百万元），B生产线每套售价3（百万元）。

套

x套A生产线和yB生产线，可使该厂新增年产值

126434（百万元）。问该厂应当分别购进A,B两种生L(x,y)xy3产线各多少套，能使该厂新增年产值最大，并求此最大值。 九 （8分）已知a0,x10,定义x证:limxn存在,并求其值。

nn11a(3xn3)(n1,2,3,),求4xn十 （7分）证明:当x

0时,arctanx1x。

3

2十一、（7分）设函数

且4f(x)在区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，

134f(x)dxf(0)，求证：开区间(0,1)内至少存在一点，使得

f()0.

十二、（8分）设函数

f(x)在区间[a,)上有二阶导数，且

f(x)M0,0f(x)M2,(ax).证明f(x)2M0M2。

2002年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）

一．填空：（每小题3分）

2 1．lim2x1sin1 。

x3x1x 2．设摆线方程为xtsint则此曲线在t处的法线方程

3y1cost为 。 3．

edx 。 2x(lnx1) 4．设uxcosyexz,则du222xx2x1yz0 。

5．将二重积分Idx12xf(x,y)dy变换积分次序得I 。

二．选择题：（每小题3分）

4

11．曲线yex2x2x1的渐近线有（ ）。 arctan(x1)(x2) （A）一条； （B）2条； （C）3条； （D）4条。 2．设f(x)[f(x)]2，则当n （A）n![f(x)]（C）[fn12时f(n)(x)（ ）。

n1 ； （B）n[f(x)] ；

(x)]2n1； （D）n![f(x)]2n 。

3．已知函数f(x)在(,)内有定义，且则x0是的极大值，则（ ）。 （A）x0是f(x)的驻点； （B）在(,)内恒有f(x)f(x0)； （C）x0是f(x)的极小值点；（D）x0是f(x)的极小值点。 4．设

xy,x2y20，则z22zxy0x2y20z(x,y)在点(0,0)处（ ）。

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微； （C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。 5．设D为由折线

xy1所围成的区域，D1,D2,D3,D4为D在第

1、2、3、4象限的部分，则 (A)42eD(x2y)dxdy（ ）

(xeD1y)dxdy; (B)4e(xD422y)dxdy;

2 (C)2

D1D2e(xy)dxdy; (C)2D1D4e(xy)dxdy.

5

三、（6分）已知极限limx02arctanxlnxn1x 1xC0,试确定常数n和C的值。

x四、（6分）已知函数五．（7分）设方程x4f(x)连续，g(x)tf(tx)dt,求g(x)。

0axb0，

(1) 当常数a,b满足何种关系时，方程有唯一实根？ (2) 当常数a,b满足何种关系时，方程无实根。 六、（8分）在曲线yx2(x0)某点

成图形的面积为1，

12A作一切线，使之与曲线及x所围

A点的坐标；

（2）过切点A的切线方程。

试求：（1）

（3）该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。

七、（7分）计算

1(x21)3dx

八、（7分）设uf(x,y,z),(x2,y,z)0,ysinx,其中

续的一阶偏导数，且0,求

zf,具有连

du. dx九、（7分）设某工厂生产A,B两种产品，当这两种产品的产量分别为x和

y（单位为吨）时总收益函数为

，已知生产产R(x,y)15x34yx22xy4y236（万元）

6

品

A时，每吨需支付排污费1万元；生产产品B时，每吨需支付排

污费2万元。若要限制排污费为14万元，试问这两种产品的产量各为多少时，工厂的总利润最大？最大总利润为多少？ 十、（7

分）计算

Isinx(D，d其yd)xy中区域

D:0x,0y 2十一、（7分）证明：当0x1时，1xe2x。

1x十二、（8分）已知函数

（1）证明（2）计算

f(x)在区间[0,2a](a0)上连续，

a2a0f(x)dx[f(x)f(2ax)]dx;

00xsinxdx. 21cosx2003年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）

一、（每小题３分）填空：

1．设对一切实数x,y恒有f(xy)f(x)f(y)，且知f(2)1,则

f(12) 。

2sinxln(1t)dt0 2．设,2f(x)2x2e2ex1x0a,x0;在x0处连续，则

a 。

7

3．设f(x,y,z)ezyz2,其中zz(x,y)是由方程xyzxyz0

所确定的隐函数，则fy(0,1,1) 。 4．

01dx 。 2x(1x)2 5．设x(t)其中(t)具有二阶导数，则x 。

,2y2ykt二、（每小题３分）选择题 1．当x0时，下列无穷小量

①1tanx1sinx ②12x313x ③x(41cosx)sinx ④e33x4x1

从低阶到高阶的排列顺序为（ ） （A）①②③④ ； （B）③①②④； （C）④③②①； （D）④②①③。

32．设f(x)xarccotx,x0在x0处有最高阶导数的阶数为（ ）

x00,（A）1阶； （B）2阶； （C）3阶； （D）4阶。 3．设函数则xyf(x)在x1处有连续的导函数，又limf(x)2，

x1x11是（ ）

yf(x)的极大值点； （D）以上答案都不正确。

，f(x)m(m为常数）

（Ａ）曲线yf(x)拐点的横坐标； （B）函数yf(x)的极小值点； （Ｃ）函数 4．设函数

f,g在区间[a,b]上连续，且g(x)则曲线yg(x),yf(x),

xa,xb所围平面图形绕直线

8

ym旋转而成的旋转体体积为( )

(A)[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx;

ab(B)[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx;

ab (C)[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx;

abab(D)[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx.

5． 设

f(u)是关于u的奇函数，D是由x1,yx3,y1所围成

的平面区域，则

[xD3f(xy)]dxdy（ ）

(A)0; (B)1; (C)2; (D)f(xy)dxdy.

47D三、（6分）a,b,c为何值时，等式lim2xtdt1c成立。 2x0sinxaxb1t四、（8分）设函数

(x)cosx,x0其中(x)具有连续二f(x)xx0a,阶导函数，且(0)1。

（１） 确定a的值，使f(x)在点x0处可导，并求f(x)。 （２） 讨论f(x)在点x0处的连续性。 五、（6分）设正值函数f(x)在[1,)上连续，求函数

F(x)x1[(22lnx)(lnt)]f(t)dt的最小值点。 xt9

六、（6分）设y(x)arctan(x1)2,且y(0)0,求

10y(x)dx

22七、（７分）设变换uxay，把方程zyz1z0，化为

22vx2yxy2y2z0, 试确定a. uv八、（7分）计算

Iasin0edy2y2b2y2a2y2edxx2bsinasinedyy2b2y2ytanexdx,

2其中0ab,0,且a,b,均为常数。

九、（8分）设函数f(x)具有二阶连续导函数，且f(0)0,f(0)0,

f(0)0.在曲线上任取一点(x,f(x))(x0)作曲线的切线，此切

线在x轴上的截距记作，求limx0xf()。

f(x)十、（7分）设函数

f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，

且f(0)0,f(1)1.试证明：对于任意的正数a,b在(0,1)内存在不同的,，使

abab. f()f()1十一、（7分）设F(x)1(1e1)(xt)et2dt，试证明在区间

21[1,1]上F(x)有且仅有两个实根。

10

十二、（8分）设函数

f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界

2D上的值恒为零。证明：f(0,0)lim10xfxyfyxy22dxdy。

其中：D为圆域2x2y21.

2004年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）

一、（每小题３分）填空：

1．设函数f(x)ln1x,则 f(x)f(1)的定义域为 。

2x1x 2．设要使函数

1(cosx)x2,x0 在区间(,)上连续，则af(x)a,x0  。

3．设函数

xyy(x)由参数方程 。

f(t) 所确定，其中3tyf(e1)f可导，

且

f(0)0，则dzdxt0 4．由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点

(1,0,1)处的全微分dz 。

5．设z1f(xy)y(xy)，其中f,具有二阶连续导数，则 x2z 。

xy

11

二、（每小题３分）选择题：

1．已知lim1f(x)tanx13,则limf(x)（ ）

2xx0e1x0（A）12； （B）3； （C）1； （D）0。

2．设f(x)在x0的一个邻域内有定义，则在x0处存在连续函数g(x)使f(x)f(x0)(xx0)g(x) 是

。 f(x)在x0点处可导的（ ）

（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。

21，3．设f(x)x,0xF(x)2x,1x2x0则F(x)（ ）。 f(t)dt，

x3x3,0x1,0x1 33(A);(B);2212xx,1x22xx,1x2232x3x3,0x1,0x1  33(C)3;(D).22x2xx,1x272xx,1x222634．函数f(x,y)xy，在点(0,0)处f(x,y)（ ）

（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；

（C）连续，但偏导数不存在。 （D）不连续且偏导数不存在。 5．设(x)为区间上的正值连续函数，a,b都是任意常数，区域

12

D{(x,y)0x,y1}则

Da(x)b(y)dxdy（ ）

(x)(y) （A）a; （B）b; （C）ab; （D）1(ab)

2三、（6分）设函数

f(x)在x0的某邻域内具有二阶导数，且

1f(x)xlim(1x)e3. x0x 求：f(0),f(0),f(0)及lim(1f(x))x.

x0x11x)lnx 四、（6分）计算ln(x(1x)dx五、(6分)求函数f(x)x2ln(1x)在x0点处的100阶导数值。

六、（7分）设f(x)为定义在(,)上，以T0为周期的连续函数，

且

T0f(x)dxA.。求limx0f(t)dtxx.

七、（6分）设正整数n少有两个实根。

1,证明方程x2na1x2n1a2n1x10至

八、（7分）求过直线L:3x2yz5与曲面2x22y22z5相切的

8xyz0平面方程。

九、（8分）在椭球面2x22y2z21上求一点，使函数

f(x,y,z)x2y2z2在该点沿方向lij的方向导数最大。

13

十、（8分）计算Ix2y22xyx2y2dxdy.

十一、（8分）（8分）设x0,x2(1xn1)(n1,2,3,).证明limxn0nn2xn1存在，并求之。

十二、（8分）设函数f(x)在[0,1]上连续，且

10f(x)dx0,xf(x)dx1，

01试证：（1）x0[0,1],使得f(x0)4;

（2）x1[0,1],使得

f(x1)4.

2005年天津市大学数学竞赛试题（经管类）

一、 填空题（每空3分） 1． limx4x2x1x1 。

2xsinx 2．设函数

yy(x)由方程

xye22yarctanx所确定，则曲线

yy(x)在点(1,0)处的法线方程为 。

3．设f(x)为连续函数，且则

dxtf(x2t2)dt 。 0dx 4．设函数

f和

g都可微，uf(xxy),vg(xy),则

uv 。

xx 14

5．设

1212sinxxarcsinx1x2dx 。

二 选择题（每空3分） 1．设函数

f(x)在闭区间[1,2]上具有二阶导数，

。 f(1)f(2)0,F(x)(x1)2f(x),则F(x)在开区间(1,2)内（B ）(A)没有零点； (B)至少有一个零点； (C)恰有两个零点； (D)有且仅有一个零点。 2．设函数

f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑下面两个命题，

f(x)g(x),则f(x)g(x); f(x)g(x),则f(x)g(x).

（1）若

（2）若

则正确的是( A )

(A)两个命题均正确； (B) 两个命题均不正确； (C)命题（1）正确，命题（2）不正确； (D) 命题（2）正确，命题（1）不正确。 3. 设常数记I0, 在开区间(,)内，恒有f(x)x2,f(x)0,f(x)dx, 则 ( C )

(A)I0; (B) I0;

15

(C) I0; (D)I非零，且其符号不确定.

4．limf(x)f(a)1，则

2xaf(x)在xa处（ D ）

(xa) （A）导数存在，且

f(a)0； (B)导数不存在；

(C)取得极小值； (D)取得极大值。

 5． 累次积分

(A) (C)

120dyy2cos0f(rcos,rsin)rdr可以写成（D ）。

dy0101f(x,y)dx； (B)

dy011y20f(x,y)dx；

0dx0f(x,y)dy； (D) dx01xx20f(x,y)dy。

t三 、（6分）求由参数方程xa(lntancost)所确定的函数

2yasint2的二阶导数dy。

yy(x)dx2四、（6分）设

f(x)在[0,)上可导，f(0)0，其反函数为g(x),若

xf(x)xg(tx)dtx2ln(1x), 求：

f(x)

五、（6分）计算

0sinxsin2xdx

六、（7分）设闭区域D:x2y2y,x0.f(x,y)为D上的连续函数，

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且f(x,y)1x2y28七、（7分） 求函数zf(u,v)dudv，求f(x,y). Dx2y2在区域D:x2y222x22y5上的最大值及最小值。

八、（7分）设函数

f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1,fd3(x)dxx1x(1,1)2,

fy(1,1)3,(x)f(x,f(x,x))，求

。

九、（8分）证明

20sinxcosx2dxdx。 2201x1x十、（8分）设正值函数

证明：

f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(x)dxA，

ababbaf(x)ef(x)dx1dx(ba)(baA)。 f(x)十一、（7分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：

存在(a,b),使得

4ab[f(a)2()f(b)]f(). 2(ba)2十二、（8分）设函数

f(x)在闭区间[2,2]上具有二阶导数，f(x)1,且[f(0)]2[f(0)]24,证明：存在一点(2,2),使得

f()f()0。

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2006年天津市大学数学竞赛试题（经管类）

一、 填空题（每空3分）

nisx1e,x0 1．若是(,)上的连续函数,则axrctanf(x)a,22xae1,x0.  。

2．函数

2yx2sinx 在区间[,]上的最大值为 .

2x 3．

2(xx)edx .

4．设区域D{(x,y)x2y21,y0},则

1xD12y2dxdy .

5．设函数z则dzz(x,y)由方程zyxxezxy2所确定,

 .

0时,该函数在x0处

二 选择题（每空3分）

1．设函数f(x)可导,并且f(x0)5,则当x微分dy是y的（ ）

(A)等价无穷小； (B) 同阶但不等价的无穷小； (C) 高价无穷小； (D) 低价无穷小. 2．设函数f(x)在xa处可导,则f(x)在xa处不可导的充要

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条件是（ ）

(A)f(a)0且f(a)0； (B)f(a)0且f(a)0；

(C)f(a)0且f(a)0； (D)f(a)0且f(a)0.

3. 曲线yxx2x1 （ ）

(A) 没有渐近线; (B) 有一条水平渐近线和一条斜渐近线; (C) 有一条铅直渐近线 ; (D) 有两条水平渐近线.

4．曲线yx(x1)3(x2)与x轴所围成的平面图形的面积为（ ） (A)20x(x1)3(x2)dx; (B)x(x1)3(x2)dx;

012012(C)x(x1)3(x2)dxx(x1)3(x2)dx; (D)x(x1)3(x2)dx0121x(x1)3(x2)dx.

5．设D是xoy平面上以点(1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形

区域,

D1是

D

在第一象限的部分,则

(xycosxsiny)dxdy（ ）

D(A) 2(C)4xydxdy; (B) 2cosxsinydxdy;

D1D1(xycosxsiny)dxdy; (D)0.

D1三 、（6分）设函数f(x)具有连续的二阶导数,且

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f(x)f(x)x lim0,f(0)4,求lim[1].x0x0xx1x12t2四、（6分）设函数yy(x)由参数方程u(t1)所确12lnteduy1ud2y定,求

dx2x9.

五、（7分）设n为自然数,计算积分In120sin(2n1)x

dx.sinx六、（6分）计算x2xkdx,其中k为常数.

0七、（8分）已知曲线方程为xyz1(x （2）写出该点处的切平面方程. 八、（7分）设函数

0,y0,z0),则

（1）在曲面上求一点,使其到原点的距离最小；

f(x,y)连续,且f(x,y)xyf(x,y)d,其中

DD为由y0,yx2,x1围成的区域,求f(x,y).

九、（7分）设

f(r)在[0,1]上连续,则

limnx2y21(x2y2)nf(x2y2)dxdy0.

十、（8分）设

f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)f(1),对于任意给

定的整数n2,必存在xn[0,1)使得f(xn)1f(xn).

n 20

十一、（7分）设函数f(x)是除x第一类跳跃间断点,证明处不可导.

0外处处连续的奇函数,x0为其

0点

x0f(t)dt是连续的偶函数,但是在x十二、（8分）设常数kln21,证明：当

时,(x1)(xln2

x0且

x1x2klnx1)0.

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