弹簧压轴题(非常实用)

　　在有关弹簧类问题中，要特别注意使用如下特点和规律：　　1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。　　2. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

　　3、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，故它引起的物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

　　4、对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可

结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。若关联物同时处在电磁场中，要注重过程分析。

　　5、两端均有关联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。

　　下面我们结合例题来分析一下弹簧类问题的研究方法。

1.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上．平衡时，弹簧的压缩量为x。，如图4所示．一物块从钢板正上方距离为3x。处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连．它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点．若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离．

解析：设质量为m的物块与钢板碰撞时的速度为v。，由机械能守恒得：

①设

表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时问极短，由动量守恒得：

②刚碰完时弹簧的弹性势能为

当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零，由机械能守恒得：

设

表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有：

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为0，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g,过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g,由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g，故在0点物块与钢板分离，分离后，物块只受重力作用．

设：质量为2m的物块脱离钢板后，上升的最大高度为h，因机械能守恒，故有：

⑦

2.A、B两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k，木块A的质量为m，物块B的质量为2m。将它们竖直叠放在水平地面上，如图所示。

ABCH

（1）用力将木块A竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面。

（2）如果将另一块质量为m的物块从距A高H处自由落下，C与A相碰后，立即与A结合成一起，然后将弹簧压缩，也可以使木块B刚好离开地面。如果C的质量减为m/2，要使B不离开水平地面，它自由落下的高度距A不能超过多少？

18、（1）A、B用轻弹簧相连接，竖直放置时，弹簧被压缩，由A受重力和弹力平衡得弹簧压缩量x1=.　　　

A提起到B将要离开水平地面时，弹簧伸长，由B重力和弹力平衡得弹簧伸长量x2=.　　

A向上提起的高度为x1+x2=

(2)C自由落下到与A相碰前的速度为v=

C与A相碰后一起向下运动的初速度设为v1，有mv=(m+m)v1　　C和A具有的动能为　　　

C和A将弹簧压缩后，再伸长，到B刚好离开地面，这个过程中，A和C上升了x1+x2，重力势能增加了2mg(x1+x2),弹簧的弹性势能增加量设为EP。

有　＝2mg(x1+x2)＋EP　　　

若C的质量变为m/2（称为D物块），设D从距A高h处自由落下，将使B刚好能离开水平地面。这时D与A自由落下与B相碰前具有的动能为。　　

D与A上升（x1+x2）距离时，速度刚好为零，则有＝mg(x1+x2)＋EP　　　　解得h=

．（05年全国）如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A．B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解：开始时，A．B 静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g ①

ABm2km1

挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g ②

B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为ΔE＝m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

(m3+m1)v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)－m1g(x1+x2)－ΔE ④由③ ④ 式得(m3+2m1)v2=m1g(x1+x2) ⑤由①②⑤式得v= ⑥

评分标准：①②各2分　，③④⑤各4分　、⑥3分

剖析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，由平衡条件有 kx1=m1g ①

挂C并释放后，C向下、A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，由平衡条件有k x2=m2 g ②

B离开地面但不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，C向下、A向上移动的距离均为（x1+ x2），所以与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

ΔE = m3g（x1+ x2）- m1g（x1+ x2） 　 ③

同理：C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，也为ΔE.

由机械能守恒定律有 （m1+ m3）υ2 / 2 +m1υ2 / 2=（m1+ m3）g（x1+ x2）- m1g（x1+ x2）-ΔE ④由③④式得（2m1+ m3）υ2 / 2 = m1g（x1+ x2）⑤由①②⑤式得 答案

4如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质

量分别为mA=1kg，mB=1kg，mC=2kg，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后，A恰好在B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且与B发生碰撞后粘在一起．

求：

（1）在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；

ABC

（2）A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值．【答案】（1）3J；（2）0.5J

解析：（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A和B为研究对象，假设爆炸后瞬间A、B的速度大小分别为vA、vB，取向右为正方向由动量守恒：－mAvA+mBvB=0

爆炸产生的热量由9J转化为A、B的动能代入数据解得vA =vB =3m/s

由于A在炸药爆炸后再次追上B的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A追上B之前弹簧已经有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取B、C和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时B、C达到共速vBC，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep1．

由动量守恒，得mBvB=（mB+mC）vBC由机械能守恒，得代入数据得EP1=3J

（2）设B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度大小分别为vB1和vC1，则由动量守恒和能量守恒：mBvB=mBvB1+mCvC1

代入数据解得：vB1=－1m/s，vC1=2m/s

（vB1 =3m/s，vC1=0m/s不合题意，舍去．）

A爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回．当A追上B，发生碰撞瞬间达到共速vAB由动量守恒，得mAvA+mBvB1=（mA+mB）vAB解得vAB =1m/s

当A、B、C三者达到共同速度vABC时，弹簧的弹性势能最大为EP2由动量守恒，得（mA+mB）vAB+mCvC1=（mA+mB+mC）vABC由能量守恒，得代入数据得EP2 =0.5J

5.如图所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止

在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / s2，求：　　（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。　　（2）此过程中外力F所做的功。　　

　　[解析]　　（1）

　　A原静止时，设弹簧压缩x1，由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg------------①

　　物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F最小，设为F1。　　由牛顿第二定律：F1+kx1—mg=ma-----------②

　　当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大，设为F2。　　对B：kx2=mg------------③

　　对A：F2-kx2-mg=ma -----------④　　由位移公式对A有：----------⑤

　　又t=0.4s------⑥

　　由①②③④⑤⑥可得：　　

　　a=3.75m/s2

　　F1=45N　　F2=285N

　　（2）

　　0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s　　对A全程由动能定理得：WF－mg (x1+x2)=mv2

　　解得：WF=49.5 J

　　也可用能量守恒求解：

　　在力作用的0.4s内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力 做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即：　　

　　[点评]本题中考查到弹簧与物体A和B相连，在运动过程中弹簧的弹力是变力，为确保系统的加速度恒定，则外加力必须也要随之变化，解决本题的关键找出开始时弹簧的形变量最大，弹力最大，则外力F最小。当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则外力F最大。其次，求变力功时必须由动能定理或能量守恒定律求得。