增长曲线模型未来观察的预测

第１７卷第１期　２００７年３月　湖南工程学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．１７．Ｎ０．１　Ｍａｒ．２０ｏ７　增长曲线模型未来观察的预测　黄介武　，高友武　（１．贵州民族学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳５５００２５；２．湖南工程学院数理系，湖南湘潭４１１１００）　摘要：研究了一般增长曲线模型未来观察的预测问题，在一定条件下得到了它的最优线性预测量，经　验最优线性预测量，最优线性无偏预测量．　关键词：增长曲线模型；最优线性预测量；经验最优预测量；最优线性无偏预测　中图分类号：Ｏ　２１２．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—１１９Ｘ（２００７）０１—００６８—０３　（ｙ，ｙ０）＝（ＸＦ￣Ｘ＇ｏ）ｏ（ｚ　ｚ０）＋（　△）　在模型（１）中，我们考虑用ｙ的线性函数来预测ｙ０，　０引　言　显然ｙ０的预测量依赖于有关　，ｚ，　，　，Ｚｏ，　，　。的　可利用的信息．本文在最小二次损失函数的意义下，　研究了它的最优预测问题　Ｙ：ＸＢＺ＋　，？Ｅ（　）＝ｏ，　（　）＝∑ｏ△　【Ｅ（Ｂ）＝　，　（　）＝　ｏ　（１）　１最优线性预测量　考虑线性函数：，，＝ＬＹ＋Ｌｏ　其中　是唧×唧的矩阵，　是唧维列向量．　定义１在二次损失的意义下，若存在形如（２）　（２）　这里ｙ是ｎ×ｑ的随机观察矩阵，　是ｎ×ｑ的　随机误差阵，　和ｚ分别是ｎ　ｘｐ和ｋ×ｑ的已知设　计阵，△，∑，　，　分别是ｇ阶，ｎ阶，ｐ阶，ｋ阶正　定矩阵．ｏ表示矩阵的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积，Ｅ（・）和　（・）分别表示随机向量的期望和方差阵．Ａ表示将　的线性函数　使得Ｅ（　一’０）　（歹一　）］＝ｒａｉｎＥ　［（　一’０）　（　一’０）］，则称　是’ｙ０的最优线性预测　量．　矩阵Ａ的行向量依次拉直排成的向量．　是Ｐ×ｋ的　随机矩阵且与　不相关．　模型（１）的预测问题就是利用已知随机观察矩　阵ｙ预测未来观测矩阵ｒｏ＝ＸｏＢＺｏ＋　。，其中Ｅ　（　０）＝Ｏ，　（　０）＝∑０ｏ△，　０是ｍ×ｑ的随机误　差阵，　和Ｚ。分别是ｍｘｐ和ｋ×ｑ的已知设计阵，　∑。是ｍ阶正定矩阵．　和　。相关．　与　。满足：　记Ｒ（Ｙ）＝Ｅ［（Ｙ—ｙ０）　（Ｙ—ｒｏ）］，要使Ｒ（Ｙ）　达到最小，必须满足　旦　：０宣　，：０　（３）　求解方程组（３）可得：　㈡＝（怒　）＝（　）　是ｎ×ｍ的矩阵，通过简单的矩阵向量化运算我　们可以得到：　（】，）＝（　）ｏ（ｚ　ＣＩＺ）＋（∑ｏ△）　Ｌｏ＝（ＸｏｏＺｏ　一［（　ｏ△］［（　）ｏ（ｚ　。　ｚ）＋　）　）ｏ（ｚ　ｚ）＋∑ｏ△］＿１（　Ｌ＝［（　）０（ｚ　。ｃ。ｚ）＋　ｏ△］［ｘＧｘ　）　ｏ（ｚ　ｃＩｚ）＋∑ｏ△］Ｉ１　定理１对于一般增长曲线模型（１），ｙ０的最　优预测量是：　（ｒｏ）＝（Ｘｏ　Ｘ＇ｏ）ｏ（ｚ　０ｃＩｚ０）＋（∑０Ｏ△）　收稿日期：２ＯＯ６—０９—２８　作者简介：黄介武（１９７７一），男，硕士研究生，研究方向：线性模型预测研究．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　黄介武等：增长曲线模型未来观察的预测　歹＝（Ｘｏ￣Ｚ＇ｏ）五＋［（蜀　）Ｏ（ｚ　。　ｚ）＋　Ｏ△］［（　）Ｏ（ｚ　ＧＩＺ）＋∑Ｏ△］－１［ｙ一　（ｘ￣ｚ　）　］　其相应的预测均方误差矩阵是：　一ｌｏｇ／；（ｙｌ，…，　ｆ　似然估计量：　；”，　）分别关于　一，　和　△　求偏倒导并令其等于零，便可得到它们的最大　（　∑－１　）－１（　∑　）　（△　Ｚ　）（ｚｚｘ－１Ｚ　）－１　ｌ　．　ｙＪ　＝ｙＪ。ＯＡ＋（　。）Ｏ（ｚ　。　ｚ０）　［（　）Ｏ（ｚｔＯＧＩＺ）＋　Ｏ△］［（ｘＦ，ｘ　）　△　寺善（（ｙ＝ｃ一船　ｚ）∑　（　一船　ｚ））　进而再用　，求取　，　的最大似然估计，容易　Ｏ（ｚ　ＧＩＺ）＋∑Ｏ△］－１［（　。）Ｏ（ｚ　Ｚｏ）＋　△］　推论１对于一般增长曲线模型（１），若　是非　随机的，则有：　歹＝（ＸｏＯｚ　。）秀＋（　Ｏ△）（ｙＪ￣ｚｘ）－１［　一　（ｘ￣ｚ　）　］　即　夕＝Ｘｏ　＋Ｉ，，∑　（Ｙ－ｘＢｚ）　其相应的预测均方误差矩阵是：　ｙＪ　＝（∑。一Ｉ，，∑　Ｏ△　推论２若记　是　的最小二乘估计，则有　＝（ｘ＇ｙＪ－１Ｘ）－１（　∑－１）ｙ（△－１ｚ，）（ｚ△－１ｚ　）～，也　记为：　＝Ｕ１（Ｘ　∑　）ｙ（△　ｚ　）　，其中　＝（Ｘ　∑Ｉ１　）～，　＝（ｚ△－１ｚ　）～．　推论３对于一般增长曲线模型（１），若　～　（０，　Ｏ　），占～Ⅳ删（０，ｙＪ０Ａ），且相互　时，则夕也是ｙ０的最优预测量．　２经验最优线性预测量　由定理１可见，最优线性预测量全部依赖于参　数　，∑，　，△，　，　，在许多实际应用中，这些参数　不可能全部已知的，此时未知参数可运用它的历史　数据所得的相应估计量代替，这就得到相应的经验　最优线性预测量．　假设对一般增长曲线模型（１）的得到了Ｚ个相　互的观察：　＝ＸＢ　Ｚ＋占ｉ，　＝１，…，Ｚ．并假设：　１）参数∑，Ｉ，是已知的，而△，　，　是未知的；　ｚ）ｚ　Ｃ，ｋＺ＝△．要求预测未来观察ｒ＇ｏｉ＝Ｘｏ，ＢｉＺ饼　＋　，ｉ＝１，…，Ｚ这里由于△，　和　是未知的，因　此得通过　＝ＸＢｉＺ＋　，　＝１，…，Ｚ求出它们的估计　量．若　～　（ｏ，　Ｏ　），占～　（０，∑ＯＡ），　＝　１，…Ｚ则ｙｌ，…，　关于　“，Ｂｌ的条件分布密度　是：　～　－ｌ　（ｙｌ…　ＩＢｌ，…，　１）＝（２仃）一　Ｉ∑Ｉ一　Ｉ△Ｉ。　，　１　Ｉ　，　ｅｘｐ｛一寺五　∑－１（　一胎ｉｚ）△－１（　一船　ｚ）　｝将　验证　。…，　相互，同服从矩阵正态矩阵分布：　（　，（　＋　）Ｏ　），类似的可求得　与　＋　的最大似然估计是：　ｌ　．　丘＝÷互Ｂ‘，（Ｆｍ＋Ｕ１）　１　１．　一丘）　（　一丘）　・　定理２的经验最优预测量是：　ｙ０　＝五　ｚ０＋［（蜀　＋　）Ｏ△］［ｙ一丘（　Ｏｚ）］Ｉｘ　＋∑－１）Ｏ厶　］其中　＝（　∑　）－１（　∑－１）ｙｉ（厶－１ｚ　）（ｚ厶－１ｚ　）＿。，　１　ｆ　（Ｆ，，．＋　。）＝古　（‘Ｉ　Ｂ　一丘）　（Ｂ；一丘）　，　１　ｊ　△　（（　—　ｚ）　∑－１（　一凇　ｚ））　３最优线性无偏预测量　定理３对于一般增长曲线模型（１），线性函数　ｙ＝Ｌ　ｌ，＋　是ｙ０的无偏预测的充要条件是：　．ｒ　。＝０　【　Ｏ（姻ｚ　）＝（　ＯＺ　。）　证：由Ｅ（　ｙ＋　）＝Ｅ（ｙ０）可得　＋皿（ｙ）　＝Ｅ（ｙ０）而Ｅ（Ｙ）＝（ＸＯＺ　，Ｅ（ｙ０）＝（ＸｏＯＺ　。）　，我们有　＋　（　ｚ　）　＝（　Ｏｚ　对一切　成　立．所以有：　ｏ　【　Ｏ（　Ｏｚ　）＝（ＸｏＯＺ　。）　定理４对于一般增长曲线模型（１），ｙ０的最　优线性无偏预测量是：　夕＝Ｘｏ　Ｂ￡　＋Ｉ，，∑　（Ｙ－ＸＢＬＺ）　证：设Ｔ＝Ｌ　ｙ是ｙ０的任意线性无偏预测量，则　其预测误差的条件协方差是：　Ｅ｛（ｙ０一　ｙ）（ｙ０一　ｙ）　Ｉ　）　＝Ｅ｛（ｒｏ一夕）（ｙ０一夕）　ｆＢ｝＋　维普资讯 http://www.cqvip.com

７０　｛（ｙ０一　ｙ）（ｙ０一　ｙ）　１８｝＋　｛ｙ　一夕）（夕一Ｌ　ｙ）（ｙ０一夕）　１８｝＋　Ｅ｛ｙ一　ｙ）（ｙ０一夕）　１８｝　通过计算可得：　湖南工程学院学报　汉大学学报，１９８０，（１）．　２００７年　［２］　卞国瑞．关于多元线性模型未来观察的预测［Ｊ］．数学　年刊（Ａ辑），１９８３，４（２）．　［３］喻胜华，何灿芝．任意秩多元线性模型中的最优预　测［Ｊ］．应用数学学报，２００１，２４（２）．　［４］Ｒａｏ，Ｃ．Ｒ．Ｌｉｎｅａｒ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉ．　ｃａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９７３．　［５］Ｐｕｋｅｌｓｈｅｉｍ，Ｆ．．Ｏｎ　Ｈ叭§ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．　Ｍａｔｈ．Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｄｏｒｅｈ，Ｓｍｔｉ￣，Ｓｅｔ．Ｓｍｔｉｓｔｉ￣，１９７７，８（３）．　｛（ｙ０）一夕）（夕一Ｌ　Ｙ）　１８｝　＝　｛（夕一Ｌ　Ｙ）（ｙ０一夕）　１８｝＝０　对一切Ｂ成立．由上式可见，当且仅当Ｌ’Ｙ＝歹　时，使　｛（’０一Ｌ　）（’０一　）　Ｉ　）达到最小，也即　使　［６］　Ｒａｏ，Ｃ．Ｒ．，Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ￣ｔｕｒｅ　ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｗｉｈｔ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｅｆｅｒｒｅｎｃｅ　ｔｏ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌｓ，Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ—ＩＶ，　Ｅｄｉｔｅｄ　ｂｙ　Ｐ．Ｒ．Ｋｒｉｓｈｎａｉａｈ［Ｍ］．Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ。Ｎｅｗ　｛（　一　ｙ）（ｙ０一　ｙ）　１８｝　达到最小，因此　是ｙ０的最优线性无偏预测　量．　Ｙｏｒｋ．１　７７．　参考文献　［１］张尧庭，肖佑恩．线性模型中方差分量的估计［Ｊ］．武　Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｇｒｏｗｔｈ　Ｃｕｒｖｅ　Ｍｏｄｅｌ　ＨＵＡＮＧ　Ｊｉｅ—ｗｕ　．ＧＡＯ　Ｙｏｕ—ｗｕ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃａｌ　ｃｉＳｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｎｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｉｔｅｓ，Ｇｕｉｙａｎｇ　５５００２５，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐｔ．ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ，Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｉｔｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　４１１１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｕｒｖｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｌｉｎｅ—　ａｒ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｔｉｌ　ｏｐｔａｉｍａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｕｎｂｉａｓｅｄ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｕｒｖｅ　ｍｏｄｅｌ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｕｒｖｅ　ｍｏｄｅｌ；ｏｐｔｉｍａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ；ｅｘｐｅｒｉｅｎｔｉｌ　ｏｐｔａｉｍａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌ　ｉｌｎｅａｒ　ｕｎｂｉｓｅｄ　ｐｒｅｄｉａｃｔｉｏｎ