广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理数试题

模拟考试理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11.若集合Ax|yx2，Bx|yln(x1)，则AB（ ）

A．[0,) B．(0,1) C．(1,) D．(,1)

22.下面是关于复数z2i的四个命题：p1：|z|5；p2：z34i；p3：z的共轭复数为2i；p4：

z的虚部为1，其中真命题为（ ）

A．p2，p3

B．p1，p2

C．p2，p4

D．p3，p4

3.在如图所示的矩形ABCD中，AB4，AD2，E为线段BC上的点，则AEDE的最小值为（ ）

A．12

B．15

C．17

D．16

4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是（ ）

①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长； ③去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江； ④2016年同期浙江的GDP总量也是第三位． A．①②

B．②③④

C．②④

D．①③④

5.若函数f(x)2sinx(01)在区间0,



上的最大值为1，则（ ） 3

C．

A．

1 4B．

1 31 2D．3 2116.若alog1，be3，clog3cos，则（ ）

53A．bca B．bac C．abc D．cab

7.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B（ ）

A．15

B．29

C．31

D．63

8.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，b3，A30，B为锐角，那么角A:B:C的比值为（ ） A．1:1:3

B．1:2:3

C．1:3:2

D．1:4:1

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．2045 B．1245 C．2025

D．1225 10.在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且

BACBCD90，BC2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA的长度的取值范围是（ ） A．(0,2) 22B．(0,6) 3C．(2,2) 2D．(6,2) 3y21右支上一点，M，N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，11.设P为双曲线x15设|PM||PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|mn|（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

12.ab表示一个两位数，十位数和个位数分别用a，b表示，记f(ab)ab3ab，如

f(12)123129，则满足f(ab)ab的两位数的个数为（ ）

A．15

B．13

C．9

D．7

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知实数x，y满足不等式组14.已知sincos1xy2,y1则z的最大值是 ．

x11xy1,1，(,)，则tan ． 5215.直线xa分别与曲线y2x1，yxlnx交于A，B，则|AB|的最小值为 ． 16.设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l：

x2y0的距离为d．当d最小时，圆C的面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知各项均为正数的等差数列an满足：a42a2，且a1，4，a4成等比数列，设an的前n项和为Sn． （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设数列Sn的前n项和为Tn，求证：Tn3． nn218.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：

x y 1 12 2 28 3 42 4 56

（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数甲乙说明； （Ⅲ）建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？． 附注：参考数据：(yy)ii14232.6，52.24，xiyi418．

i14参考公式：相关系数r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nn，

2bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 回归方程yab(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xix)2i1ni1nxi2nxi12ybx． ，a19.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC2FB．

（Ⅰ）证明：平面AEF平面ACC1A1；

（Ⅱ）若ABEC2，求二面角CAFE的余弦值． 20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e边形的周长为8，面积为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P(x0,y0)为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x4y0y120，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点． 21.设函数f(x)mlnx2．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四2n，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为yx1． xabf(a)f(b)bf(b)af(a))，B1，试判断A，B，C三者，C22ba（Ⅰ）求实数m，n的值； （Ⅱ）若ba1，Af(是否有确定的大小关系，并说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos,在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以x轴

y3sin的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos(（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲

3)3．

已知函数f(x)|xa|1（a0）． 2a（Ⅰ）若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值； （Ⅱ）当a

1时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围． 22017年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试理科数学试卷答案

一、选择题

1-5:ACBBC 6-10:BDBAB 11、12：CC

二、填空题

13.2 14.4 15.2 16.2 3三、解答题

17.（Ⅰ）解：根据题意，等差数列an中，设公差为d，a42a2，且a1，4，a4成等比数列，a10，

a13d2(a1d),即解得a12，d2， a1(a13d)16,所以数列an的通项公式为ana1(n1)d22(n1)2n． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a1d2，则Sn2n∴bnn(n1)2n2n， 2Snn1． n2n2n234n1∴Tn123…n，（*）

2222123nn1Tn 23…nn1，（**） 2222212111n1∴Tn123…nn1， 22222211(1n1)111n1n11n12∴Tn212…n1n22n3n1n3．

1222222212∴Tn3．

18.解：（Ⅰ）作出散点图如图：

（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：

4x52422，y6942，xiyi418，iy)32.6，i30，

i1(yi1xi1444(xix)(y5iy)1xiyixi1yi41813873，ii124(xix)24x2nx2i304(5)252.24， i1i124ix)(yiy)r(xi14473(xx)22.2432.60.9996．

2i(yiy)i1i1∵y与x的相关系数近似为0.9996，说明y与x的线性相关程度相当大， ∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x5444，y69，x2iyi418，i1x30，i1(x222ix)5，

i1nxiyinxybi1735，aybx69273nx25522， inx2i1故y关于x的回归直线方程为y735x2， 当x5时，y7355271， 所以第5年的销售量约为71万件．

19.（Ⅰ）证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则MG12ECBF又MG//EC//BF，

∴MBFG是平行四边形，故MB//FG．

∵MBAC，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC， ∴MB平面ACC1A1，而BM//FG， ∴FG平面ACC1A1， ∵FG平面AEF， ∴平面AEF平面ACC1A1．

，

（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Mxyz，则A(1,0,0)，C(1,0,0)，

E(1,0,2)，F(0,3,1)，AC(2,0,0)，AF(1,3,1)，AE(2,0,2)，

设平面ACF的一个法向量m(x1,y1,z1)，

2x10,mAC0,则有即 x13y1z10,mAF0,令y11，则m(0,1,3)，

设平面AEF的一个法向量n(x2,y2,z2)，

2x22z20,nAE0,则有即 x23y2z20,nAF0,令x21，则n(1,0,1)，

设二面角CAFE的平面角，

|mn||3|6则cos|cosm,n|． 4|m||n|22

x2y220.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为221(ab0)，焦距为2c，

ab由题设条件知，4a8，a2，

122cb23，b2c2a24，

2所以b3，c1，或b1，c3（经检验不合题意舍去），

x2y21． 故椭圆C的方程为43x02y021，可得x02， （Ⅱ）当y00时，由43当x02，y00时，直线l的方程为x2，直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0)． 当x02，y00时，直线l的方程为x2，直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0)．

123x0xy,4y0123x0x当y00时，直线l的方程为y，联立方程组

224y0xy1.34消去y，得(4y023x02)x224x0x4816y020．①

x02y021，可得4y023x0212． 由点P(x0,y0)为曲线C上一点，得43于是方程①可以化简为x22x0xx020，解得xx0， 将xx0代入方程y123x0x可得yy0，故直线l与曲线C有且有一个交点P(x0,y0)，

4y0综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0)． 21.解：（Ⅰ）f'(x)mn． xx2由于f(1)n0,所以m1，n0．

f'(1)mn1,（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx．

（i）ABlnablnalnbabln10, 222ab而ab，故AB． （ii）AClnabblnbalna1ab(1)． (ba)lnblnbalnaba2baba2xaxlnxalnaxa，x(0,)， 2设函数g(x)(xa)ln则g'(x)lnxaxaa(xa)，g''(x)． 2xxax(xa)2当xa时，g''(x)0，所以g'(x)在(a,+)上单调递增； 又g'(x)g'(a)0，因此g(x)在(a,)上单调递增． 又ba，所以g(b)g(a)0，即AC0，即AC．

blnbalnalnalnb1abab1(lnblnaab)．

ba2ba22xaxalnxlnaxa，x(0,)． 设h(x)221a11xalna，有h''(x)则h'(x)lnx．

22x222x2（iii）CB当xa时，h''(x)0，所以h'(x)在(a,)上单调递增，有h'(x)h'(a)0． 所以h(x)在(a,)上单调递增．

又ba，所以h(b)h(a)0，即CB0，故CB． 综上可知：ACB．

22.解：（Ⅰ）因为直线l的极坐标方程为cos(3)3，

即(cos123sin)3，即x3y230． 2x3cos曲线C的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，

y3sinx2y21． 可得93（Ⅱ）设点P(3cos,3sin)为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离

|32cos()23||3cos3sin23|4， d22故当cos(4)1时，d取最大值为

3223． 223.解：（Ⅰ）f(xm)|xma|1． 2a∵f(x)f(xm)|xa||xma||m|， ∴f(x)f(xm)1恒成立当且仅当|m|1，

∴1m1，即实数m的最大值为1．

13xa1,xa,2a1111xa1,ax, （Ⅱ）当a时，g(x)f(x)|2x1||xa||2x1|22a2a2113xa1,x.2a2∴g(x)min1112a2a1g()a0，

222a2a1a0,0a,∴或 222a2a10,2aa10,∴1a0， 212∴实数a的取值范围是[,0)．