与单循环赛相关的计数问题例析

计算n个球队进行单循环比赛（每两队之间只赛一场）的总场数P．可这样来考虑：由于单循环赛中每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，即每一个球队比赛（n-1）场，n个球队应赛n（n-1）场，但两个球队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P的计算公式是P = n（n-1）（n为不小于2整数）．这个公式及其推导的思维方法在数学中应用较广，现举几例，供七年级同学参考．

一、代数问题

例1 ：参加一次朋友聚会的每两人都握了一次手，6位朋友共握手多少次？

分析：把每“一人”看成每“一个球队”，握“一次手”看成打“一场比赛”，则每一个人要与(6－1)个人握手，6个人要握手6(6－1)次，由于两个人之间只需握一次手，所以共握手的次数是 ×6×(6－1)＝15．推广：n个朋友要握 n（n-1）次手．

例2 参加一次商品交易会的每两家公司都要签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？[新课程人教版九年级数学上册P46．7题] 分析：把“公司”看成“球队”，“一份合同”看成“一场比赛”，设共有x家公司（x个球队）参加交易会，仿例1有， x(x－1)＝45，解得，x＝10（家）．

二、几何问题

例3 平面上5条直线两两相交，最多有多少个交点？ 分析：视每条“直线”为每个“球队”，两条直线的“交点”为两个队的一场“比赛”，则五条直线两两相交，共有 ×5×（5-1）= 10个交点（如图1）.推广：平面上n条直线两两相交共有 n（n-1）个交点.

例4 八边形共有多少条对角线？

分析：视八边形的每一个“顶点”为一个“球队”，每一个顶点和其它顶点形成的“线段”看成是“比赛”，除相邻两个顶点的线段“不是对角线”（不能比赛）外，从一个顶点出发共有（8－3）条对角线，因两个顶点之间只有一条对角线，故八边形共有 ×8×（8－3）＝20条对角线．推广：n边形共有 n（n－3）条对角线．

注：这个问题推出的结果虽然不符合上述计算公式，但其思维方法与单循环赛场数计算公式的推导思维方法是一致的．

望同学们在解题时注意规律的发现并从中总结出相应的计算公式，以求快速解题 练习：1．要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排

15场比赛，应邀请多少个球队参加赛？

2.某学校初三年级共有8个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班之间赛一场），那么该初三年级的辩论赛共有多少场次？

3.有一辆客车,往返两地,中途停靠三个车站,问有多少种不同的票价?要准备多少种车票?

2．同一条直线上的20个点共能产生多少条线段？ 3．图2中共有多少个三角形？试写出你的推导过程．

4.观察图①，由点A和点B可确定 条直线；

观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定 条直线；

（1）动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作 条直线；（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条 直线、n个点（n≥2）最多能确定 条直线。