【高中数学】数列基本题型

等差数列的基本题型  用 a1和 d表示数列

ana1(n1)d anan1d an1an12an Snna1n(n1)d 21. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a21,a33，则S4 。

2. 等差数列{an}中，a11,a3a514，其前n项和Sn100，则n 。 3. 已知{an}是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d 。 4. 已知等差数列{an}中， a2a1672，则该数列的第9项a9 。 5. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，若S1221，则a2a5a8a11 。

 由 Sn构成的等差数列

6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39,S636，则a7a8a9 。 7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410，则S6 。 8. 设Sn是等差数列{an}的前n项和Sn，若

S31S，则6 。 S63S12 等差数列的求和

9. 已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn 。

10. 若数列{an}的前n项和Snn210n（n1,2,3,），则此数列的通项公式为 。

 巧用A2n1(2n1)an解题

11. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

的正整数n的个数是 。

12. 等差数列{an}中，Sn是其前n项和a12008，

S2007S20052，则S2008 。 20072005An7n45a，则使得n为整数Bnn3bn 等差数列的综合运用

13. 已知数列{an}的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k 。

214. 在各项均不为零的等差数列{an}中，若an1an an10(n2)，则S2n14n 。

15. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB=a1OA+a200OC，且A、B、C三点共线，求S200.

数列

等差数列的基本计算

1. 思想方法：用 a1和 d表示数列，通过一个二元一次方程求出a1和 d，进而求出所需结果。 2. （2009·福建卷·3）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S36,a34，则公差d 。 3. （2010·山东卷·4）已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，求an及Sn.

4. （2009·全国卷I·14）等差数列{an}前n项和为Sn，若S972，则a2a4a9 。 5. （2009·辽宁卷·14）等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4 。 6. 思想方法：用平均数的意识解题，巧妙利用A2n1(2n1)an解题

7. （2010·全国卷II·4）如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7

A、14 B、21 C、28 D、35

8. （2009·全国卷II·14）等差数列{an}前n项和为Sn，若a55a3，则

S9 。 S529. （2009·宁夏、海南卷·16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am1am1am0，

S2m138，则m 。

等差数列和的性质

10. 思想方法：由an求Sn时，分项求和后相加；由Sn求an时，anSnSn1，注意n=1的情况。 11. 已知an2n10，则其前n项和Sn 。 12. 已知Snn211n5，则an 。

13. 思想方法：Sn的变化趋势取决于an的正负，通过判断an的符号来确定Sn最大时n的值。 14. （2010·福建卷·3）已知等差数列{an}，若a111,a1a66,则当Sn取最小值时，n

A、6 B、7 C、8 D、9

15. （2009·安徽卷·5）已知{an}为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n 。

数列

等比数列的基础知识

1. 概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么

2这个数列就叫做等比数列。其通项公式为ana1qn1，且满足an1an1an.

2. 等比中项：如果三个数x,G,y组成等比数列，那么G叫做x和y的等比中项，即G2xy. 3. 同号两数有两个等比中项， 它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项。 4. 等比数列前n项和的公式：

Sn

na1(q1)a1(1qn)(q1)1q1，则公比q 。 4等比数列的基本题型

1. 已知{an}是等比数列，a22,a52. 已知等比数列{an}满足a1a23,a2a36，则a7 。 3. 等比数列{an}中，a44，则a2a6等于 。

4. 在等比数列{an}中，a11,a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9 。

8275. 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 。

326. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2 。

7. 设等比数列{an}的公比q2，前n项和为Sn，则 等比数列的求和

S4 。 a28. 设{an}是公比为正数的等比数列，若a11,a516，则数列{an}前7项的和为 。 9. 在等比数列{an}中，若a11,a41，则该数列的前10项和为 。 810. 等比数列{an}中，a29,a5243，则{an}前4项和为 。

11. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn2,S3n14，则S4n 。

数列

数列求和的基本方法  公式法

1. 运用等差、等比数列或常用公式进行求和。常见的公式有：

n(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1Sna1(1qn)a1anq(q1) 等比数列求和公式： 1q1qn(n1) 对n进行求和：Sn123(n1)n

2n(n1)(2n1) 对n2进行求和：Sn122232(n1)2n2

6 等差数列求和公式：Snn2(n1)2 对n进行求和：Sn123(n1)n

43333332. 求数列ann22n的前n项和。 3. 求数列an2n2n的前n项和。 4. 求数列an3n4n的前n项和。

5. 求数列an(2n1)2 的前n项和123252(2n1)2  倒序相加法

1. 倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)。 2. 用倒叙相加法求数列an3n1的前n项和。

12200832xf()f()f() 。 3. 已知函数f(x)，则2x200920092009330123n1n4. 已知组合数有如下性质：CnkCnnk1，CnCnCnCnCnCn2n

012n1n求数列akkCnk的前n项和Sn0Cn 1Cn2Cn(n1)CnnCn

裂项相消法

1. 基本原理：anf(n1)f(n)，即将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去

一些项，最终达到求和目的。 2. 基本裂项公式：an1111n1 =－ n(n1)nn1(n1)!n!(n1)!an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)3. 求数列

1111，，，…，，…的前n项和Sn 132435n(n2)1111 (nN*) 121231234123n4. 求值：1

错位相消法

1. 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}

的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。 2. 求数列an2n的前n项和Sn2122232n12n。

3. 求数列ann2n的前n项和Sn121222323(n1)2n1n2n。

n123n1nS。 的前n项和n3n3132333n13n4. 求数列an5. 求数列an2n11352n32n1Sn。 的前n项和nn123n13333336. 求数列an(2n1)2n的前n项和Sn121222323(n1)2n1n2n。 7. 已知数列{an}是等差数列，且a12,a1a2a312。

（I）求数列{an}的通项公式。

（II）令bnan3n，求数列{bn}的前n项和Sn.

数列

由递推关系求数列通项公式  叠加法求数列通项

1. 已知数列{an}中，a12，an1ann，求数列{an}的通项公式。 2. 已知数列{an}中，a12，an1an3n，求数列{an}的通项公式。 3. 已知数列{an}中，a10，an1an(2n1)2，求数列{an}的通项公式。 4. 已知数列{an}中，a11，an1an1，求数列{an}的通项公式。

n(n1)115. 已知数列{an}中，a1，an1an，求数列{an}的通项公式。

4n(n1)(n2) 构造特殊数列求数列通项

6. 已知数列{an}满足an13an2，且a12，求数列{an}的通项公式。 7. 已知数列{an}满足2an1an30，且a12，求数列{an}的通项公式。 8. 已知数列{an}中，a13，nan1(n1)an，求数列{an}的通项公式。 9. 已知数列{an}中，a19，an12an23n，求数列{an}的通项公式。 10. 已知数列{an}中，a15，an111. 已知数列{an}中，a11an(4an)，求数列{an}的通项公式。 2nan1，an1，求数列{an}的通项公式。 2(n1)an 由an与Sn的递推关系求数列通项

12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若恒有an3Sn2，求数列{an}的通项公式。

12an，求数列{an}的通项公式。 13. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Snan2114. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a11,an0，且Snan1an，求数列{an}的通项公式。

2115. 已知数列{an}的前n项和为Sn，已知a1，并且当n2时恒有Snn2ann(n1)成立，求

2数列{an}的通项公式。

数列

数列知识综合复习

 构造特殊数列求数列通项

1. 已知数列{an}满足an12an1，且a11，求数列{an}的通项公式。

22. 已知数列{an}满足3an1an20，且a1，求数列{an}的通项公式。

33. 已知数列{an}中，a13，(n1)an1(n2)an，求数列{an}的通项公式。 4. 已知数列{an}中，a13，(n1)an1nan，求数列{an}的通项公式。 5. 已知数列{an}中，a19，an13an36n，求数列{an}的通项公式。

26. 已知数列{an}中，a12，an1an，求数列{an}的通项公式。

7. 已知数列{an}中，a11，anan12an1an，求数列{an}的通项公式。 2 由an与Sn的递推关系求数列通项

8. 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn2n1,nN*，求数列{an}的通项。 9. 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn32an,nN*，求数列{an}的通项。

210. 数列{an}的前n项和为Sn，若a11，当n2时，有2Sn(2Sn1)an成立，求{an}的通项。

11. 数列{an}对任意nN*都有a12a23a3nann21成立，求数列{an}的通项。 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a12，Sn13Sn2,nN*，求数列{an}的通项。

2213. 正项数列{an}满足a12a2ann2,nN*，求数列{an}的通项。

 辽宁省高考题

14. （2010·辽宁卷）已知数列{an}满足a133,an1an2n，则

an的最小值为__________。 n15. （2009·辽宁卷）设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若

S6S3，则9__________。 S3S6数列

数列知识综合复习

1. （2008·宁夏、海南卷）已知{an}是一个等差数列，a21,a55。

（I）求{an}的通项an； （II）求{an}的前n 项和Sn的最大值。

2. （2008·全国卷II）等差数列{an}中，a410，且a3,a6,a10成等比数列，则S20__________。 3. （2008·宁夏、海南卷）设等比数列{an}的公比q2，前n项和为Sn，则

S4__________。 a24. （2008·全国卷I）已知等比数列{an}满足a1a23,a2a36，则a7__________。 5. （2008·全国卷I）在数列{an}中，a11,an12an2n.

（I） 设bnan，证明：数列{bn}是等差数列。 2n1（II） 求数列{an}的前n项和Sn.

6. （2007·为天津卷）在数列{an}中，an14an3n1,nN*.

（I） 证明数列{ann}是等比数列； （II） 求数列{an}的前n项和Sn.

17. （浙江卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)

3（I）求a1,a2； （II）求证：{an}是等比数列

8. （2009·福建卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d=__________。 9. （2009·宁夏、海南卷）设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若

S6S=3 ，则9=__________。 S3S610. （2009·全国卷I）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 。 11. （2009·浙江卷）设等比数列{an}的公比q1S，前n项和为Sn，则4 。 2a412. （2010·北京卷）在等比数列an中，a11，公比q1.若ama1a2a3a4a5，则m= 。 13. （2010·广东卷）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1，且a4与2a75等差中项为，则S5＝ 。

4

数列

数列知识综合复习

1. 等差数列{an}中，a13,a10036，则a3a98 。 2. 含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )

2n1n1n1n1A、 B、 C、 D、

nnn2n3. 在等差数列{an}中，公差为d，已知S10＝4S5，则4. 设{an}是公差为－2

a1 。 d的等差数列，如果a1a4a7a9750，则

a3a6a9a99 。

151,,，则a101 。 5. 等差数列{an}中，前三项依次为

x16xx6. 数列{an}的通项公式an1n1n，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n 。

7. 已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6a7 。

8. 在项数为2n+1的等差数列中，奇数项的和为165，偶数项的和为150，则n 。 9. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 。

110. 等差数列{an}的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99= 。

291211. 在等比数列中，首项，末项，公比，求项数。

83312. 等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前和等于 。 13. 已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20= 。

1111则其前n项和Sn= 。 14. 已知数列,,,,61220(n1)(n2)15. 已知等差数列{an}的公差d≠0, 且a1,a3,a9成等比数列,

a1a3a9的值是 。

a2a4a1016. 若数列{an}, a121,且an1an(nN)，则通项an= 。 3(n2)(n1)717. 等比数列{an}中，已知a1·a2·a3=1，a2+a3+a4=，则a1为 。

418. 若数列{an}、{bn}都是等差数列，且它们的前n项的和之比为

5项的比为 。

Sn3n1，则这两个数列的第Tn2n1