人教版高中数学必修三单元测试 圆锥曲线及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．x13y2所表示的曲线是

A．双曲线

B．椭圆

D．椭圆的一部分

（ ）

（ ）

C．双曲线的一部分

2．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线距离是

A．

85 5B．

455

C．

83 3 D．

43 3x2y21上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离3．已知椭圆

2516为

A．2

B．3

C．5

D．7

（ ）

y2x2x2y24．连接双曲线221与221的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的

abba的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1：S2的最大值是 A．2

B． 1

C．

（ ）

1 2D．

1 4（ ）

x2y2101共焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为 5．与椭圆

16253

y2x21 A．54y2x21 C．53

x2y21 B．54x2y21 D．53

6．设k>1，则关于x，y的方程(1-k) x2+ y 2=k2-1所表示的曲线是

A．长轴在y轴上的椭圆 C．实轴在y轴上的双曲线

B．长轴在x轴上的椭圆 D．实轴在x轴上的双曲线

（ ）

x2y27．双曲线221的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是

ba（ ）

A．2 B．3 C．2 D．

3 28．动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）

A．直线

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

（ ）

9．抛物线y =-x2 的焦点坐标为

A．(0,

1) 42B． (0, -

1) 4C．(

1, 0) 4 D． (-

1, 0) 4（ ）

10．过抛物线y4x的焦点F作倾斜角为

A．

87 3B．

16 3的弦AB，则|AB|的值为 3816C． D．7

33二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

x2y21的一个焦点坐标是（0，1）11．椭圆，则m= ． m412．双曲线

x2-

y2=1截直线y =x+1所得弦长是 ． 413．已知抛物线y2=2x，则抛物线上的点P到直线l：x-y+4=0的最小距离是 ． 14．已知直线x- y =2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．求两焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0），且经过点P（2，

16．已知抛物线C的准线为x =5）的椭圆方程．（12分） 3p（p>0），顶点在原点，抛物线C与直线l:y =x-1相交所4得弦的长为32，求p的值和抛物线方程．（12分）

x2y21上的两点A（0，3）和点B，若以AB为边作正△ABC，当17．已知椭圆：43B变动时，计算△ABC的最大面积及其条件．（12分）

18．已知双曲线经过点M（6,6），且以直线x= 1为右准线． （1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程； （2）如果离心率e=2，求双曲线方程．（12分）

yAOCBx

x2y21的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个19．设F1，F2为椭圆94直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|,求

|PF1|的值．（14分） |PF2|

20．已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l:x1相切，点C在l上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点．

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围． （14分）

参考答案（12）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 D 9 B 10 B 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．3 12．

7282 13．

43 14．（4，2）

三、解答题（本大题共6题，共76分）

x2y222215．（12分）[解析]：由题意可知，c=2，设椭圆方程为221，则ab2 ①

ab522531又点P（2，）在椭圆上，所以2

3ab222 ②，

x2y22021 联立①②解得，b5或b（舍去），a9 故所求椭圆方程是

959216．（12分）[解析]：由题意，可设C的方程为

y2px(p0)，C与直线l:y =x-1相交于A、B两点，

y2px由此可得(x-1)2pxx2(2p)x10

y x-1

x1x2(2p)，x1x21

所以， =2(x1AB(x1x2)2(y1y2)2= (x1x2)2[(x11)(x21)]2

x2)2 2[(x1x2)24x1x2] 2(2p)282p28p= (32)2

p213， 故抛物线方程为y2(213)x．

2 因为p>0，所以解得

17．（12分）[解析]：由题意可设B（2cosθ, 则

23sinθ），

yAOCBAB4cos23(1sin)2sin26sin7

x 因为S△

AB12AB·sin60=3·ABC=242 =

(sin3)2163·

4

所以当sin=-1时，即B点移动到（0，-3）时，△ABC的面积最大，且最大值为33．

18．（12分）[解析]：（1）设P（x，y）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得

MF(x3)2(y0)2(63)2(60)2ex1x16161PF=

3

x2y21 化简整理得36（2）ec2c2a,又c2a2b2,b3a ax2y21， 因此，不妨设双曲线方程为22a3a因为点M（

6,6）在双曲线上，所以

661，得a24，b212 22a3ax2y21 故所求双曲线方程为

41219．（14分）[解析]：由已知得|况

若PF2F190,则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2(6|PF1|)220 解得|PF1||PF2|6,|F1F2|25． 根据直角的不同位置，分两种情

PF1||PF1|7144,|PF2| 33|PF2|2

若F1PF290,则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2.即20|PF1|2(6|PF1|)2

|PF2|2|PF1|2． |PF2|解得|PF|4120．（14分）[解析]：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，

所以曲线M的方程为y24x．

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y3(x1)由y3(x1)消y得

2y4x13x210x30,解得x1,x23.

3所以A点坐标为(,12316

，|AB|x1x22)，B点坐标为（3，23）.333假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形， 则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

16222(31)(y23)(),① 3  (11)2(y2)2(16)2② 333由①－②得42(y23)2(4)2(y23)2,

33解得y143. 9

但y143不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．

9因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形． （ii）解法一：

设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由y3(x1)得y23，

x1即当点C的坐标为（－1，23）时，A，B，C三点共线，故y23．

又|AC|2(11)2(y23)22843yy2，

3393

16256． |BC|2(31)2(y23)22843yy2， |AB|2()239 当|BC|2|AC|2|AB|2，即2843yy2 即

2843256， yy2939y23时,CAB为钝角． 92843256， yy22843yy2939 当|AC|2|BC|2|AB|2，即 即y103时CBA为钝角．

3又|AB|2|AC|2|BC|2，即 即y22562843yy22843yy2， 99344223y0,(y)0． 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角． 33339 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y103或y23(y23)． 解法二：

以AB为直径的圆的方程为(x5)2(y23)2(8)2．

333 圆心(,53823)到直线l:x1的距离为，

3323)． 3 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G(1, 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G

点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角． 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角． 过点A且与AB垂直的直线方程为y233123． (x).令x1得y3339 过点B且与AB垂直的直线方程为y231033． (x3)． 令x1得y33 又由y3(x1)解得y23，所以，当点C的坐标为（－1，23）时，A，B，C三点

x1共 线，不构成三角形．

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵y的取值范围是y103或y23(y23).

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