泰勒公式在近似计算中的研究

2013届学士学位论文

泰勒公式在近似计算中的研究

学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 计算数学 学 生 姓 名 白 冰 学 号 *********** 指导教师姓名 王福章 指导教师职称 讲师

2013 年 3 月 23 日

摘 要

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文论述了泰勒公式的一些基本内容，主要采用举例分析的方法，讨论了泰勒公式在近似计算方面的应用及技巧。通过本文的论述，可知泰勒公式可以使近似计算问题的求解简便。 关键词：

泰勒公式，近似计算，应用

Abstract

Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus \"approximation\" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This paper discusses some of the basic content of the Taylor formula, mainly using the example analysis, the Taylor formula in the approximate calculation and skills. Through the discussion of this article, we can see the Taylor formula can approximate calculation problem solving is simple. Key words:

Taylor's formula, Approximate calculation, Applications,

目录

第一章 前 言 ............................................................................................... 1

第二章 预备知识 ......................................................................................... 2

2.1 Taylor 公式 .................................................................................. 2

2.2 Taylor 公式的各种余项 ............................................................... 3

第三章 泰勒公式在近似计算中的应用 .................................................... 6

3.1 近似计算估值 .............................................................................. 6

3.2 定积分的近似计算 ....................................................................... 8

结论 ............................................................................................................. 11

致谢 ............................................................................................................. 12

第一章 前 言

随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法[1]。泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便。如果将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了。这就使我们考虑可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此，有很多科学家和学者对此做出了重要的贡献。首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的。

泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式[2]。随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式。现代也有很多期刊和教材介绍了泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要的作用，它可以应用于就极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面[3]。

本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式。在此基础上，研究泰勒公式在近似计算中的应用方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题解答和文字说明,以便于读者更好地去理解。

1

第二章 预备知识

上一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的。

给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：

f(x0x)f(x0)f(x0)x(x)

这样当x1时可得近似公式

f(x0x)f(x0)f(x0)x

或

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，xx01

即在x0点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去逼近函数f，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高。因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f。

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量(xx0)，如果要求误差不得超过104，用f(x0)f(x0)(xx0)去替代f(x)行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数。

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题。

2.1 Taylor公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在x0附近去逼近f，即令

f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n （2.1）

从几何上看，这表示不满足在x0附近用一条直线去替代yf(x)，而是想用一条n次抛物线f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n去替代它。

我们猜想在点(x0,f(x0))附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数a0，

a1…an如何确定呢？

假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n

2

于是得：a0f(x0)

求一次导数可得：a1f(x0)

f(x0)再求一次导数可得：a2

2!这样进行下去可得：

f(4)(x0)f(n)(x0)f(x0)a3，a4，… ，an.

4!n!3!因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：

nf(n)(x0)f(k)(x0)nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)(xx0)k ,（2.2）

n!k!k0即x0附近的点x处的函数值f(x)可以通过x0点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在x0点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式 f(x0)f(n)(x0)2Tn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)n,

2!n!f(k)(x0)Tn(x)的各项系数称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式， (k1,2,3,...,n)，

k!称为泰勒系数。因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身。

2.2 Taylor公式的各种余项

对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点x0附近能近似地用它在x0点的n次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的。

定理 1[4] (带拉格朗日型余项的Taylor公式)

假设函数f(x)在|xx0|h上存在直至n1阶的连续导函数，则对任一

x[x0h,x0h],泰勒公式的余项为

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1

(n1)!其中x0(xx0)为x0与x间的一个值.即有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...f(n)(x0)f(n1)()n(xx0)(xx0)n1 n!(n1)!(2.3)

推论1 当n0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

f(x)f(x0)f()(xx0) 所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广。

3

推论2 在定理1中,若令

f(n1)()Rn(x)(1)n1p(xx0)n1(p0)

pn!x0则称Rn(x)为一般形式的余项公式, 其中。在上式中，pn1即为拉

xx0格朗日型余项。若令p1，则得

f(n1)()Rn(x)(1)n(xx0)n1n!(p0),

此式称为柯西余项公式。

当x00，得到泰勒公式：

f(0)2f(n)(0)nf（n1）(x)n1f(x)f(0)f(0)xx...xx，(01) （2.4）

2!n!(n1)!则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。

定理 2 （带皮亚诺型的余项的Taylor公式） 若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有

Pn(x)(x0)(xx0)k， k!k0Rn(x)f(x)Pn(x)．

nf(k)则当xx0时，Rn(x)((xx0)n)．即有

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)n((xx0)n) （2.5）

n!Rn(x)f(x)Pn(x)，定理3所证的（2.5）公式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，

称为泰勒公式的余项的，形如((xx0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中x00时，可得到

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xx...x(xn) （2.6）

2!n!（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用。

由于Rn(x)((xx0)n)，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段。这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍。

4

定理 3[5] 设h0，函数f(x)在U(x0;h)内具有n2阶连续导数，且

f(n2)(x0)0，f(x)在U(x0;h)内的泰勒公式为

f(x0h)f(x0)f(x0)h...f(n)(x0)nfhn!(n1)(x0h)n1h,01 （2.7）

(n1)!则lim1．

h0n2证明：f(x)在U(x0;h)内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)f(x0h)f(x0)f(x0)h...(x0)nf(n1)(x0)n1f(n2)(x0)n2hhh(hn2)n!(n1)!(n2)!

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

f(n1)(x0h)-f(n1)(x0)n1f(n2)(x0)n2hh(hn2)，

(n1)!(n2)!从而

(n1)!f(n1)(x0h)fh(n1)(x0)(x0)(hn2)， n2(n2)!hff(x0)，

(n2)!(n2)(n2)令h0，得

1limf(n1)!h0(n2)(x0)故limh01. n2 由上面的证明我们可以看得出，当n趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好。

5

第三章 泰勒公式在近似计算的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点x0及x0处函数f(x0)及n阶导数值：

f(x0)，f(x0)，…，f(n)(x0)，以及用这些值表示动点x处的函数值f(x)。泰勒

公式是函数逼近思想的一个重要应用，在数值计算中也有着非常广泛的应用[6]。本章研究泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用f(x)麦克劳林展开得到函数的近似计算式为

f''(0)2fn(0)n[8]

f(x)≈f(0)+ f(0)x+ x + + x ,

2!n!其误差是余项Rn(x)。

'3.1 近似计算估值

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些数值的近似值。泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二

阶导数……相联系起来。

例 1 设函数fx在0,2上存在二阶导数,并且当x0,2时,有

fx1,fx1,

证明：x0,2, fx2.

[7]

证明 对 x0,2,由泰勒公式, 将fx在x0展开为：

x2f0fxxfxf1 01x

2! 将fx在x2展开为：

f2fx2xfx两式相减得

2fxf2f0从而有

2x2!2f x22

112f1x2f22x 22112f1x2f22x 2222fxf2f0x22x 2 226

x13 134 所以

2fx2 x0,2.

例 2 求330的近似值.

1解 ：3303273331 9令 fx31x,则

25123fx1x fx1x3

3981110804fx1x3 fx1x3

2781 所以

1f01 f0

3210f0 f0

927从而

4xx4f(0)23ff(x)f(0)f(0)xxx

2!3!801111253811+xxx1x3x4 39814!

0x

故

3111111518011193998181729814!91131 94 从而

330=32733311 911312401111153113998181729814!91 947

111115 31

39981817293.10725

例 3 计算lg11的值,准确到10-5 .

111解: lg11=lg(10+1)=1+lg(1+)=1+ln(1+)

10ln1010nx2x3xn+1nn-1x+(-1)因为 ln(1+x)=x-+， +……+(-1)23n(n+1)(1+θx)n+1(-1)n10-(n+1)10-n+1|<0<θ<1, x>-1, 要使|<10-5

θ(n+1)(1+)n+1ln102(n+1)10⇒ 2(n+1)>105-(n+1)=104-n

取n=4，故

11111(-++)≈1.04139 lg11≈1+ln1010200300040000

例 4 计算e的值，使其误差不超过106. [8] 解：f(x)ex,由f(n1)(x)ex,得到

x2xnexxn1,01,x(,) e1x2!n!(n1)!x11e有:e11

2!n!(n1)!e3故 Rn(1),当n9时,便有

(n1)!(n1)!33R9(1)106

10!3628800从而略去R9(1)而求得的近似值为

111e112.718285

2!3!9!

3.2 定积分的近似计算

能够精确计算定积分的函数知识大量函数中很少的一部分，事实上，在实际计算定积分时大量采用的是近似计算的方法，而在这其中运用泰勒公式对某些函数的定积分进行近似计算不失为一种很好的方法[9]。

设F(x)为f(x)的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[a,b]上的

8

定积分，有：

baf(x)dxF(a)F(b)

但是，并不是区间[a,b]上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数ex、sinxx等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。

1sinxdx的近似值. 例 5 求定积分0x 分析：由于被积函数的原函数不是初等函数，用牛顿-莱布尼兹公式无法求出其精确的解。若用泰勒展开，就能方便的求得其近似解。

解：由泰勒公式得

27sin(x)x3x52x7 sinxx 3!5!7! 故有

7sin(x)sinxxx2x6 1x3!5!7! 所以由牛顿-莱布尼兹公式

247sin(x)1sinx1xx2dx(x)x6dx 0x33!55!007!3517 因为, sin(x)1

21sinx1111111111dx110.09461 故0x3!35!57!73!35!5

例 6 求定积分exdx的近似值,精确到105.[10]

012解： 因为e01x21dx中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现

2用泰勒公式的方法求exdx的近似值.

09

在e的展开式中以x代替 x得e逐项积分，

x2x2x41x2!2x2n(1)n!n

2n1xx4nedx1dxxdxdx(1)dx00002!0n!

111111•(1)n•32!5n!2n1 11111111310422161329936075600

1x21121

上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项Rn(x)的估计式知

1|R7|0.00001575600

所以

1111111x2edx10.74683603104221613299360

1 0

结论

本文在阅读大量有关泰勒公式的资料后然后做出一些整理，这篇文章主要通过比较大的篇幅和例子比较系统的介绍了泰勒公式的由来以及发展经过的有关知识。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分的各个领域都有很重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式近似计算方面的应用技巧。通过对泰勒公式的研究，使我们在特殊情况形成特定的思想，使解体能够达到事半功倍效果。只有了解了这些相关的知识，才能走在此基础上进行训练、总结，才能牢固掌握并且能熟练运用。只有这样的学习可以是学者能灵活的从不同的角度寻找解题途径，能培养成良好的数学思维习惯，形成独特的解题技巧，在数学研究中取得一定的成绩。

参考文献：

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[9]张天虹. 泰勒公式在解题中的研究[J]. 数学教学与研究，2009（51）：94-95 [10]龚冬保. 泰勒公式在解题中的妙用—从2008年的几道数学考研题说起[J]. 高等数学研究, 2008 (05)：11-12

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致 谢

首先，我要感谢淮北师范大学，感谢数学科学学院对我四年的培养，让我学到了许许多多的知识，感谢各位老师在这四年里对我的关怀与照顾，在此致以我深深的谢意。

本论文从选题到最后定稿成文，王福章老师一直给予了悉心指导，王老师那种严谨求实的作风，广博深邃的洞察力，孜孜不倦的开拓精神和敬业精神令我深受启迪和教益，谨向我的指导老师王福章老师致以深深的谢意。

我国古代有句成语叫做“管中窥豹，略见一斑”，本文也正是从泰勒公式定理入手，对泰勒公式在计算方法中的应用进行了分析和探讨。但是，由于笔者水平有限，在理论的描述、资料的运用等方面难免有不当、不深，不周之处，有些观点也尚欠成熟，敬请各位老师批评指正。

最后，我还要向所有曾经帮助过我的同学和朋友们致敬。你们的鼓励和帮助永远是我前进的动力。

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