广２ｌ８ 东化工 ２０１６年第２１期 ｗｗｗ．ｇｄｃｈｅｍ．ｃｏｍ 第４３卷总第３３５期 莫尔圆的理解及其在粉体力学中的应用 丁志杰，郭雨，郭腾，陈君华，魏居孟 （安徽科技学院化学与材料工程学院，安徽风阳２３３ｌ００） ［摘要】文章针对莫尔圆图解粉体层单元体斜截面上的应力状态时，初学者易混淆的点与面、夹角之间的对应关系进行了辨析：梳理了莫尔 圆在描述粉体压缩流动及料仓设计等工程实际中的应用。在教学过程中，采用探究学习式进行相应实验巩固所学理论，培养学生的学习能力。 【关键词］粉体力学；莫尔圆：探究学习；学习能力 【中图分类号】Ｇ６４２ 【文献标识码】Ａ 【文章￣］１００７—１８６５（２Ｏｌ６）２１－０２ｌ８－Ｏ２ Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｏｈｒ’Ｓ Ｃｉｒｃｌｅ ａｎｄ ｉｔ’Ｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｐｏｗｄｅｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｄｉｎｇ Ｚｈｉｊｉｅ，Ｇｕｏ Ｙｕ，Ｇｕｏ Ｔｅｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｊｕｎｈｕａ，Ｗｅｉ Ｊｕｍｅｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ ａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ａｎｈｕｉ，Ｆｅｎｇｙａｎｇ ２３３ １ ００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｎ Ｍｏｈｒ’ｓ ｃｉｒｃｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｂｌｉｑｕｅ ｐｌａｎｅ ｏｆ ｐｏｗｄｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｎｇｌｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｆｕｓｅ ｂｅｇｉｎｎｅｒｓ ｗｈｅｎ ｕｓｉｎｇ Ｍｏｈｒ’Ｓ ｃｉｒｃｌｅ ｔｏ ｍａｐ ｓｔｒｅｓｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｐｌａｎｅ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｏｈｒ’Ｓ ｃｉｒｃｌｅ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｌｏｗ ｏｆ ｐｏｗｄｅｒ ａｎｄ ｔｏ ｇｕｉｄｅ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｓｉｌｏ ｉｎ ｐｒｏｊｅｃｔ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｗｅｒｅ ｓｏｒｔｅｄ ｏｕｔ．Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｉｎｑｕｉｒｙ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｗａｓ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｏｌｉｄａｔｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｏ ｆｏｓｔｅｒ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｏｆｆｅｒｉｎｇ ｏｆｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｄｅｒ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；Ｍｏｈｒ’ｓ ｃｉｒｃｌｅ：ｉｎｑｕｉｙ ｌｒｅａｒｎｉｎｇ：ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｉｅｓ 莫尔应力圆是分析应力状态的图解法，它把代数运算通过简 单的作图反映出来，是１８６６年德国工程师Ｋａｒｌ Ｃｕｌｍａｎｎ首次提出 的。ｌ ８８２年土木工程￣）ｉ［ｉＣｈｒｉｓｉｔａｎ ０ｔｔｏ Ｍｏｈｒ对这种图解法分析应力 的思想进行了完善，把借助应力圆确定一点的应力状态的几何方 法推行到’ｒ二维和二维应力情况。莫尔圆已经在材料力学及岩土 力学等学科中得到广 泛应用Ｌｌ。Ｊ。粉体工程学具有理论性和实践性 强的特点，但是作为‘一门新兴交叉学科，它的基础理论还不是很 完善，有学者把莫尔应力圆引入到粉体工程学中，用以解决粉体 力学问题。粉体在输送、储存等单元操作中，粒子与粒子之间、 粒子与器壁之间的相对运动产生摩擦，从而构成粉体力学。由于 粉体在操作单元中经常出现堵塞问题，粉体的流动性在压缩成型 过程中决定着产品的质量，所以研究粉体流动特性显得尤其重要。 莫尔圆侄粉体流动性的描述中具有直观而简便的特点，可直观图 解得到粉体层任意斜截面的应力状态，与破坏包络线结合得到判 别粉体所处状态的莫尔一库伦定律，通过绘制莫尔圆求得流动函 数，与料仓结构参数相结合可得到判断料仓中物料流动性的判据， 刚时计算出最小的料斗开口尺寸，用于整体流料仓的设计。 本文针对学生在初学莫尔圆时容易出现概念模糊的问题，辨 析了莫尔圆与粉体层的几何对应关系，使学生透彻理解莫尔圆概 念和应力公式：结合莫尔圆在判断粉体压缩流动以及料仓设计时 的应用，使理论与工程实践应用相结合，举一反三，让学生深刻 理解、消化理论知识，采取理论学习与实验教学ｉ司步进行的措施， 通过实践应用巩固所学理论知识，同时培养学生的学习能力。 ｆａ）粉体层微单元体 ａ 的作用 １莫尔圆概念的理解 １．１由 元体斜截面应力得到莫尔圆 圈ｌ（ａ）表示处于ｘ，ｖ坐标中的粉体层微单元体，在二向应力 状态１Ｆ，相互垂直的ａｂ面和ｂｃ面上分￣Ｕｉｌ－－：用着最大主应力ｏ，和最 小主应力ｏ３（ｏｌ＞ｏ３），ａｃ为任意斜截面，则微单元体任意斜截面ａｃ 的应力状态为： Ｊ （ｂ）相对应莫尔应力圆 图１莫尔圆表示微单元体斜截面应力状态 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｏｂｌｉｑｕｅ ｐｌａｎｅ ｏｆｐｏｗｄｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｍｏｈｒ’Ｓ ｃｉｒｃｌｅ ｆｏ：华ｚ ＋半【Ｔ： ２ ｃｏｓ２ ｓｉｎ２０ （１） 正应力。和剪应力ｔ是倾角为０的任意斜截面上的应力，且规定 倾角从最大主应力面起，以逆时针方向旋转，可认为ａｂ面的倾角 为零。 由公式（１）可得到６和Ｔ的函数关系式（２）： ［ａ一（０１＋０３）／２］ ＋Ｔ ＝【（ｏｌ一０３）／２］ （２） 由公式（２）可作出图ｌ（ｂ）所示的莫尔圆，圆心与坐标原点的距 离为（ｏｉ＋ｏ３）／２，半径为（ａｒａ３）／２。莫尔应力圆圆周上的任意点，都 代表着粉体层微单元体中相应面上的应力状态。由图上的几何关 系，我们也很容易写出Ｐ点（ａ，Ｔ）的解析式为式（１），而不需要死记 做背。 ［收稿日期】２０１６－０９．２３ １．２莫尔圆上的点与单元体内各截面的对应关系 莫尔圆上的点与单元体内各截面的关系是一一对应的。如图 １所示，在粉体层微单元体中，最大主应力Ｇ．作用在０＝０的曲 面上，最小主应力ｏ，作用在０＝ｒｄ２的 面上，而在相应的莫尔 圆中，Ａ点对应单元体的曲面， 点对应单元体的 面，这两 点是处在圆心的对称位置上．即相差７【，所以单元体中的夹角０， 相当于莫尔圆中的２０。单元体上任意斜截面ａｃ对应莫尔圆上 Ｐ（ｏ，ｔ）点，粉体层截面由ａｂ面始逆时针旋转至ａｃ面，旋转倾角 为０，对应由Ａ点始沿莫尔圆逆时针滑动到Ｐ点，圆心角 ＺＡＯＰ＝２０。莫尔圆中标识的各应力作用方向与粉体层中的实际应 力方向一致。 ［基金项目】安徽省高等学校省级质量工程教学研究项目：示范应用型本科核心课程“教学做合一”的研究与实践一以《粉体工程》为例（２０１４ｊｙｘｍ２７０） 【｛１ｊ者简介】 －］－志杰（１９７２一），女．山东阳谷县人，硕士研究生，主要研究方向为材料工程专业教学与研究。 ２０１６年第２１期 第４３卷总第３３５期 广东化工 ２１９ ＷＷＷ．ｇｄｃｈｅｍ．ｃｏｍ ２莫尔圆描述粉体流动性 ２．１粉体的抗剪强度规律 粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力 达到其抗剪强度，而这个剪应力与粉体材料本身性质和正应力在 破坏面上所造成的摩擦阻力有关。即粉体层发生破坏除了取决于 该点的剪应力，还与该点正应力相关。把莫尔应力圆与抗剪强度 相结合，可以判断粉体所处的状态。 ２．１．１莫尔圆与破坏包络线 当库伦粉体沿某截面产生滑动或者崩坏时，滑移面上的切应 力Ｔ与正应力ａ成正比，即满足破坏包络线方程（亦称库伦公式， Ｃｏｕｌｏｍｂ ｆｏｒｍｕｌａ）： Ｔ （『ｔｇ ｆ＋ｃ ｆａ＋ｃ，Ｉｔｉ＝ｔｇｔｐｉ 一内摩擦系数； 厂－－一内摩擦角，表示极限应力状态下的 剪应力和压应力之间的关系；卜附着力，内聚力的作用；若ｃ＝０， 则为无附着性粉体，如干砂。 此时，粉体达到极限应力状态，故粉体开始流动。破坏包络 线方程是粉体流动和临界流动的充要条件。 莫尔应力圆的坐标与破坏包络线的坐标系统一致，故可把破 坏包络线与表达该微元体应力状态的莫尔圆画在同～图中，如图 ２所示，这样即可得到粉体的抗剪强度规律——莫尔一库伦定律： 粉体内任一点的莫尔应力圆在破坏包络线的下方时，如图２中的 圆Ｉ，粉体将处于静止状态，因为此时该点在任何截面上的剪应 力都小于极限剪切应力；粉体内某一点的莫尔应力圆与破坏包络 线相切时，如图２中的圆ＩＩ，粉体处于临界流动或者流动状态。 图２莫尔圆与破坏包络线位置关系示意图 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆａｉｌｕｒｅ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ａｎｄ Ｍｏｈｒ’Ｓ ｃｉｒｃｌｅ 图中切点Ａ所代表的截面上剪应力等于极限剪应力，该截面 上剪应力与正应力之比达到最大值，等于内摩擦角的正切， ｔａｎ￣ｆ＝ＴＡ／ＯＡ，此时该平面处于极限平衡状态。虽然圆ＩＩ中，４５。截 面上的剪应力最大，其值为ＯＤ，但是未达到该截面上所具有的抗 剪切强度值ＯＥ（是内聚力Ｃ与内摩擦力ｍａｎｑ￣ 之和，￣Ｉ］ＯＦ＋ＦＥ），即 ＯＤ＜ＯＥ，这个截面未发生破坏。 如果已知粉体的内聚力和内摩擦角，则可依据莫尔．库伦定律 判断作用着压应力 和剪应力 的某一截面所处的状态。莫尔一 库伦定律是目前判别粉体所处状态最常用和最基本的准则。 ２．１．２实验绘制莫尔圆与破坏包络线 三轴压缩试验是测定粉体抗剪强度的一种较为完善的方法。 如图３所示，在试件周围施加一定的流体压力毋，再由上方施加 压力Ｇ 直到试件破坏。崩坏（或滑移）面与最大主应力ｏ 的作用面 夹角为ｎ／４一（０／２。由几对应力对（ｏ。，ｄ３）则可画出几个莫尔圆，莫 尔圆的公共外切线即为破坏包络线，见图４，图解可得粉体的内 聚力和内摩擦角数据。 直剪试验由于仪器构造简单、操作方便，易携带更适合现场 使用，在科研机构和企业中都得到广泛应用。通过实验可绘制破 坏包络线，得到破坏包络线方程。在剪切盒上方施加正应力，在 水平方向对上盒施加剪切力，可以获得垂直应力。和剪切应力ｔ数 对，在ｏ，ｔ坐标系中，把各数对代表的点连成线，即可得到破坏 包络线，同时也测得粉体的内聚力和内摩擦角数据。 为巩固所学理论知识，学习过程中开设直剪试验进行实践探 索。取当地石英砂矿石经破碎、粉磨系列实验后小于１２０目试样 为剪切物料。依照先“置疑”即布置实验预习任务，如何操作剪 切仪，实验步骤能否调整，哪些实验细节需要注意观察，要记录 和处理实验数据，数据曲线趋势说明什么问题；后“学生探究”， 即通过阅读实验教材、上网查询、去实验室观察、运行仪器等方 式完成任务；再到实验课上的“教师指导”，实验的讲解及操作 均由学生完成，实验教师只起指导、监督和协调的作用。这样通 过三步教学方式，激发学生学习主动性，增强学习兴趣，让学生 在“做（学习探究）”中“学（掌握知识）”。 垂直压力（最大主应力） 图３三轴压缩实验原理 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｔｒｉａｘｉａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｔｅｓｔｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｄｒ尸 图４三轴压缩实验结果的一例 Ｆｉｇ．４ Ａ ｃａｓｅ ｏｆｔｈｅ ｔｒｉａｘｉａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｔｅｓｔｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ２．２在判断料斗仓中物料流动状况时的应用 ２．２．１绘制莫尔圆获得密实最大主应力和开放屈服强度以计算出 流动函数 Ａｎｄｒｅｗ Ｊｅｎｉｋｅ［５Ｊ发现低压下真正松散颗粒的破坏包络线经常 是一条接近直线的曲线，该轨迹（称为屈服轨迹）也不随ａ值的增 加而无限增加，而是终止在初始密实状态的密实点Ｅ（ｏ，ｔ１。进行 直剪试验时，首先要对一组粉体在相同条件下进行预先密实 ， 然后在不同的小于预先密实应力的垂直应力下，对每一个粉体样 品进行剪切破坏实验。测得３个或３个以上ｏ，Ｔ数对，描点连线 得到该粉体的屈服轨迹，如图５所示。过密实点Ｅ作密实应力圆 与屈服轨迹相切，圆心位于横轴，这个圆与盯轴的交点ａ 为密 实最大主应力，ｄ 为密实最小主应力。粉体在这种应力条件下密 实。 图５由莫尔圆确定ａ・与 Ｆｉｇ．５ Ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｏ＂１ ｎａｄｆ￣ｆｒｏｍ Ｍｏｈｒ’Ｓ ｃｉｒｃｌｅ 开放屈服强度 是指物料在自由表面上的强度，而自由表面 上的主应力和剪应力均为零，这就相当于存在一个莫尔圆，这个 圆上的最小主应力ａ３＝Ｏ，剪应力ｒ＝Ｏ，那么它的最大主应力Ｏ＂１就 是 。在料仓中，粉体由于受到周围物料的作用而密实形成一定 的强度，即为开放屈服强度 。 Ｊｅｎｉｋｅ还创建了一套科学地表示散状物料流动性能的指标，发 展了流动一不流动的判据，根据这些流动性指标设计料仓等容器， 是很实用的方法。 把密实最大主应力ｏ （料斗仓中则称为预压实应力）与开放屈 服强度 的比值定义为流动函数（Ｆｌｏｗ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＦＦ）。ＦＦ表征仓 内粉体的流动性，当 ＝Ｏ时，ＦＦ＝ｏ。，即粉体完全自由流动，也就 是说，在一定的密实应力ｏ１的作用下，所得开放屈服强度 小的 粉体，即ＦＦ值大者，粉体流动性好。 ２．２．２料仓中物料流动与不流动的判据 流动函数ＦＦ指标与料仓结构配合可作为判断料斗仓中物料 流动性的指标。流动因数ｆｆ即为体现料仓结构的参数， 定义为 密实最大主应力６ 与作用于料拱脚处的主应力。１的比值。作用在 流动通道上的密实应力越高，以及作用在料拱上的应力越低，流 动通道的流动性或料斗的流动性就越低。 ｎ 转第２２１页）