第一章 空间几何体
1.1 柱、锥、台、球的结构特征
（ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行， 由这些面所围成的几何体。
分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示 ：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 或用对角线的端点字母，如五棱柱 ' B C D E
'
B C D E
AD
几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（ 2）棱锥
定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 A 'B'C 'D '
E 'B'C'D'E 几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截
面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。
（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 P B C D E
P
'
'
'
A 几何特征 ：① 上下底面是相似的平行多边形 ② 侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 , 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：① 底面是全等的圆； ②母线与轴平行； ③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一个矩形。
（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是一个圆； ② 母线交于圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个扇形。 （ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征： ①上下底面是两个圆； ②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③ 侧面展开图是一个弓形。
（ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征： ① 球的截面是圆； ② 球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
（1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面
正投影） 俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上 左右的位置关系，了物体的
即 高度和长度；
；侧视
图
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长
度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（2）画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3）直观图：斜二测画法
（
4 （ 1 ） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； ）
（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； 斜
二（ 3） .画法要写好。 测
（ 5画 法
）
1：用.3 空间几何体的表面积与体积
斜（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
测
（ 2）特殊几何体表面积公式（ c 为底面周长，
为高，
h
h 为斜高， l 为母线）
画法1
画 S 正棱锥侧面积
出长ch
S直棱柱侧面积
方ch S 圆柱侧
rh
1）画轴
2）
画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图 S 正棱台侧面积
(c1 c )h'
S圆
R)
2
S 圆锥表
S 圆台表
r 2 rl
3）柱 体、锥体、台体的体积公式
Sh
V
圆 柱
Sh
V
Sh
V
3
V台
(S
S S S)h
V
圆 台
3
(S SS S)h (r rR 4）球体的表面积和体积公
式：
V 球
= 4
R
；
S
球面
4 R
3
=
第二章 3
直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
（ 1）平面 ① 平面的概念：
A. 描述性说明；
B. 平面是无限伸展的；
② 平面的表示： 通常用希腊字母 α、 β、 γ表示，如平面 α（通常写在一 个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC ③ 点与平面的关系： 点 A 在平面 内，记作 A
；点 A 不在平面 内，记作 A
rl
圆锥侧面积
Rl R2
2
)h
体
点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上，记作： A ∈l； 点 A 在直线 l 外，记作 A l ； 直线与平面的关系
：直线 l 在平面 α内，记作 l α；直线 l 不在平面 α内，记作 l α
2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用： 检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1： A l, B l, A ,B l
3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
的，点 O 推论：一般取在两直 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定 2定.2 直线与平面平行的判定 选 ，一平面 1与公 、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与择 与无公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 理此平面平行 简记为：线线平行，则线面平行。 O （ 4符平面 α 和 β相交，交线是 a，记作 α∩β＝ a。 ） 号：符号语言： P A B A B l,P l 及
公3
的作用： 理 ①它是判定两个平面相交的方法。 其 推
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公
共点。 论 作 ③ 1用.4 空它
可间中直线与直线之间的位置关系
①
1 空间以的两条直线有如下三种关系： 有且只有一个公共点； 它共面直断 线 它是 点 相交直线：同一平面内，没有公共点； 没有公
空异面直线
平行直线：同一平面内， 共点。 在2间
直： 内 公理线
平行于同一条直线的两条直线互相平不同在任何一个平面内，
上4： 上 号表
行。 确符
定
平a∥b =>a∥c c
∥b
强、a ②公调它是、干
b
证个
c
明 是平三面条重直合线
的依据
3： 理 等角点
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相
等或互补
44
理公
注意线点： ① 的4 重
4 '
线作中的一重
条上； 实
。 ：③
两条异面直线所成的角 θ∈（0 ， ） ； 是 2
空当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，
行条④ 记作 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通 所所 具直1 有线成常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 .5 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关 角递行
1的平传、直线与平面有三种位置关系：
，（大的（性 1系 小在
只
（ 3 2）直线与平面相交）直线在平面内 —— —— 有无数个公共点有且只有一个公共点
平面外，可用平 由指）直线在平面平行 — — 没有公共点 面出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在
a α来表示
a⊥b
；
符号表示：
1.6 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a∩b = P a∥α b∥α
β∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（ 1 ）用定义； （ 2 ）判定定理；
（ 3 ）垂直于同一条直线的两个平面平行。
1.7 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a ∥ α a β a ∥ b
α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间
的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β α∩γ= a a ∥b
β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义
如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直，记作 L⊥ α，直
线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时
, 它们唯一公共点 P 叫做垂
2、判定定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
,x lα4：的 注线的斜率公式 : 的倾斜角 α一定存在≠ x2, , 但是斜率用两点的坐标来表示直 k 不一定存在 .P1P2 的斜率：
当、< 取
轴意 取 线 1 l给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 点
直：点x
的轴斜b 与率公式 : k=y2-y1/x2-x1 两条直 1.8 线倾当1、 a
判定、 平：面与平面垂直的 0）
线的平行与垂直 l 3.1.2角斜 x
轴 轴平 定
理,行 α= 90 °, k 了
α不存在“ . 中时 的, α=0 °, k = tan0 α“ 直
°=0; α-l- β或 α-AB- β
：两 3
表 、两条
个 示 相
示
面 1空从 .9 —平面互相垂直平的判定定交一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 的性质 理： 2.3.4 直线垂与平面、平面与平面垂直
1间、定 直直
直。 线理：垂直于同一个平面的两条
直线平行。 2一
性质”定理：
这
两个与平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面
垂直。
线
出 直 本 线 发 的
与 章 直平面(公理 1 、知公理 2、公理 3、公理 4)
两 个
线
半 垂 直
平
形 空间直线、平面的位置关 互
系
相
第三章 直线与方程
的2.4 α
直线的倾斜角和斜 倾
斜2.3.2
率倾斜角和斜
率 叫 1 角 、 做的 的 2直角直线的斜率 ⑴
2 ⑵当 : 直 当
α( α≠90°) 的正切值叫做这条直线的斜
, 斜率常用小写字母 k 表示 , 也就是 概一条直线的倾斜直 念 由线此可直角 tan α 直线知 , 一条直率
α 线 l 线
线 k =
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率
相等，
那么它们平行，即
注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥ L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负 倒数，那么它们互相垂直，即
y0
1.10 直线的点
PP
y
2
y
1
斜式方程
1、 直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点 P0 (x , y ) ，且斜率为 k 0 0
2、、直线的 斜截式
方程：已知直线
l 的斜率为
k ，且与 y
轴的交点为
(0, b)
y kx b
1.11 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程： 已知两点 P1 (x ,x ), P ( x , y ) 其中 (x1
x , y y )
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2 2 1
2
2、直线的截距式方程： 已知直线 l 与 x 轴的交点为
A ( a,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b) ，其中1.12 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于 x, y
的二元一次方程
Ax By C 0 (A ，
B 不同时为 0 )
2、各种直线方程之间的互化。 2.5 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标
： 3x +4y -2=0 L1 ： 2x +y +2=0
解：解方程组
3x 4y 2 x=-2 ， y=2
2x
2y 2
0
得所以 L1 与 L2
的交点坐标为 M -2，2)
3.1.3 两点间距离
a
0,b 0
两点间的距离公式
3.1.4
点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点( , )
P x0 y 到直线 l : Ax By 0
Ax By C d
0202
A
B
C 0 的距离为：
2 2
2、 两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直
线 1 和 l2 的一般式方程为
ll1 ： Ax By C1 0 ，
Ax By C2
0 ，则 l 1 与 l2 的距离为 d
第四章
圆与方程
1.13 圆的标准方程 1、圆的标准方程：
2 2
(x a) ( y b)
圆心为 A（a,b）, 半径r 的圆的方为 2 2 程 2
2、点 M (x 0, y0) 与圆 (x
a) (y b)
r 的关系的判断方法：
2 2
2
2 2 2
（1） (x
a) ( y
b) >
r ，点在圆外
（2）
(x a) ( y b) = r
，点在圆
0
0
0 0
上
2
2
2
（
3） (x
a) ( y
0
0
b) < r ，点在圆内
1.14 圆的 一般方程1、圆的一般方
x2 y2
Dx Ey F 0
程：
2、圆的一般方程的特点：
（1） ① x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ② 没有 xy 这样的二次项． （2） 圆的一般方程中有三个特定的系数
D、 E、 F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
（3） 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出
了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
2.6 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2
y Dx Ey F
2 D
设直线 l ： ax by c 0，圆 C ： x 0 ，圆的半径为
r ，圆心 （
2 线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：到直E
)
2
（ 1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；（ 2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； （ 3 ）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交；
2.7
圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；
M 的横坐标，3)当 y | r叫做点1 r2 | l r M 1 的纵坐标，r2 时，圆 C1 与圆z 叫做点 C2 相交； M 的竖坐标。
来表该数组x O M' Q
2示， 叫
2.9 、有序实数组空间两点间的距离公式 ( x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点 4 )当 | l r|
1 r 时，圆 C1 与圆 C 2 内切； 2
5)当 l |r1 x r2 叫做点|时，圆 C1 与圆 C2 内含；
3 、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 做点
1.15
直线与圆的方程的应用 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记况，基本上由下列两种方法判断 M 设直线(x, y, z) l : Ax By C， 1)
0 ，圆 2 2 Aa Bb C ，圆心 C a,b 到 l 的距离为 d
C
: x a
则有 d r l 与 C 相离 ； 设d
r
l 与 C 相切 ； l 与 C 相交
( 2 ) 直线 l : Ax By C 02
，
圆 r ，先将方程联立消元，得到一个一元二 方程之后，令其中的判别式
C : a
则有
次
为 0
与
C
相 离
；
l 与 C 相
切 ；
l 与 C 相交
2
xx0 yy r 去解直线与圆相切的问题， 其中
x0 , y0 表示
如果圆心的位置在原点，可使用 切点坐注：
r 表示半
公式
0 标， 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置径。
关系；
2 、过程与方
法
用坐标法解决几何问题的步
骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问
题转化为
代数问 题；
第二步：通过代数运算，解决代数问
题； 第三步：将代数运算结翻译 ”成几何结
果 论． (3)过圆上一点的切线方 程： 2
，圆上一点为 (x
xx0 yy
r (课本命题 )． ① 圆 x2+y 2=r 0
y0 )，则过此点的切线方程
，
为
2
+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为
(x 0 -a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 ( 课本命题的
推
②圆(x-a) 广)．
2.8 空间直角坐标 1系、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、 Q 、 R
R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标
x
1、空间中任意一点 P1(x1 , y1 ,z1) 到点 P2 (x 2, y2, z2 )之间的距离公
P2
O
M2 H N2
M1 N1
x
M
N
y
222
P1P
(x x ) ( y y ) ( z z )
1 2 1 2 1 2
2
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