图形的相似知识点训练含答案

一、选择题

1．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则

FE＝（ ） EC

A．

1 2B．

1 3C．

1 43D．

8【答案】C 【解析】 【分析】

连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】

解：连接OE、OF、OC． ∵AD、CF、CB都与⊙O相切，

∴CE＝CB；OE⊥CF； FO平分∠AFC，CO平分∠BCF． ∵AF∥BC，

∴∠AFC+∠BCF＝180°， ∴∠OFC+∠OCF＝90°， ∵∠OFC+∠FOE＝90°， ∴∠OCF＝∠FOE， ∴△EOF∽△ECO， ∴

OEEF=，即OE2＝EF•EC． ECOE1a，CE＝a． 2设正方形边长为a，则OE＝∴EF＝∴

1a． 4EF1＝． EC4故选：C．

【点睛】

本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.

2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则

的值为（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B． C． D．

由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为【详解】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，

∵DE把△ABC分成面积相等的两部分， ∴S△ADE＝S四边形DBCE， ∴∴

＝

＝， ＝

，

，

的值为

．

故选：C． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．

3．如图，点E是YABCD的边AD上一点，DE2AE，连接BE，交AC边于点F，下列结论中错误的是（ ）

A．BC3AE 【答案】D 【解析】 【分析】

B．AC4AF C．BF3EF D．BC2DE

由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可． 【详解】

解：∵在YABCD中，AD//BC，ADBC， ∴VAEF:VCBF, ∴

AEAFEF==, CBCFBF3DE=3AE，选项A正确，选项D错误， 2∵DE2AE ∴BC=∴

AFAEAE1===，即：CF3AF， CFCB3AE3∴AC4AF， ∴选项B正确， ∴

EFAEAE1===，即：BF3EF， BFCB3AE3∴选项C正确， 故选：D． 【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．

4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B 【解析】 【分析】

作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】

解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E， 则BD∥B′E，

由题意得CD＝2，B′C＝2BC， ∵BD∥B′E， ∴△BDC∽△B′EC， ∴

CDBC1==， CEB'C2∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3， ∴点B'的横坐标是3， 故选：B．

【点睛】

本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．

5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边

DE40cm，EF20cm，测得边DF离地面的高度AC1.5m，CD8m，则树高AB是（ ）

A．4米 【答案】D 【解析】 【分析】

B．4.5米 C．5米 D．5.5米

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB. 【详解】

解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB ∴

BCDC EFDEBC8解得：BC=4 0.20.4∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m ∴

∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米 故答案为：5.5. 【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

6．如图，在矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使

B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )

A．2 【答案】D 【解析】 【分析】

B．3

C．15 2D．15 2可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】 解：∵AB1，

设AD=x，则FD=x-1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴

EFAD=，即DFAB11x， x11解得：x15，15（不合题意，舍去）

x222经检验x15，是原方程的解． 2∴AD=1+5． 2故选：D． 【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．

7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是（ ）

A．1.5cm 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

B．1.2cm C．1.8cm D．2cm

由图2知，点P在AC、CB上的运动时间时间分别是3秒和4秒，

∵点P的运动速度是每秒1cm ， ∴AC=3，BC=4．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴根据勾股定理得：AB=5．

如图，过点C作CH⊥AB于点H，则易得△ABC∽△ACH． ∴

CHACACBC3412CH． ，即CHBCABAB5512），F（7，0）． 5设直线EF的解析式为ykxb，则

∴如图，点E（3，

123kb{5， 07kb3k5解得：{．

21b5∴直线EF的解析式为y321x． 55352161.2cm． 55∴当x5时，PDy5故选B．

8．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（ ）

A．

3 5B．

4 3C．

5 3D．

3 4【答案】C 【解析】 【分析】

首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出NE角形，从而求出CE． 【详解】

解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，

∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°， ∴∠DEC=∠EFN， ∴Rt△FNE∽Rt△ECD，

∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF， ∴两三角形相似比为1：2， ∴可以得到CE=2NF，NE∵AC平分正方形直角，

1CD2.5，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三21CD2.5 2∴∠NFC=45°，

∴△CNF是等腰直角三角形， ∴CN=NF，

2255NE. 3323故选C． 【点睛】

∴CE此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）

A．

3 2B．

9 2C．33 2D．33 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC，

3．故选A． 2考点：相似三角形的判定与性质．

∵AC=3，AB=6，∴AD=

10．已知的三边长分别为2，6，2，ABC的两边长分别是1和3，如果ABC与ABC相似，那么ABC的第三边长应该是（ ） A．2 【答案】A

B．2 2C．6 2D．3 3【解析】 【分析】

根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求． 【详解】

解：根据题意，易证ABC∽△ABC，且相似比为：2:1，

△ABC的第三边长应该是故选：A． 【点睛】

22． 2本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁．

11．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）

A．7 : 12 【答案】B 【解析】 【分析】

B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72

根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题； 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∵DF=CF，BE=CE， ∴∴

DHDF1BGBE1，， HBAB2DGAD2DHBG1， BDBD3∴BG=GH=DH，

∴S△ABG=S△AGH=S△ADH， ∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH， ∴S△AGH：S平行四边形ABCD=1：6， ∵E、F分别是边BC、CD的中点, ∴

EF1, BD2∴

SVEFC1, SVBCDD4∴

SVEFCS四边形ABCD1, 8∴

SVAGHSVEFC117=7∶24,

S四边形ABCD6824故选B. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．

12．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则

DG（ ） CF

A．2 3B．2 2C．3 3D．3 2【答案】B 【解析】 【分析】

连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得【详解】 连接AC和AF，

DG的值． CF

则

ADAG2， ACAF2∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC， ∴∠DAG=∠CAF． ∴△DAG∽△CAF． ∴

DGAD2． CFAC2故答案为：B. 【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．

13．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）

A． B．

C．

D．

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．

解：设AC与BD交于O点， 当P在BO上时， ∵EF∥AC， ∴

EFBPyx即， ACBO43∴y4x； 3DPEFy6x即， DOAC43当P在OD上时，有∴y=4x8． 3

故选C．

14．如图，在VABC中，DE//BC,AFBC,ADE30，2DEBC,BF33,则DF的长为（）

A．4 C．3B．23 3 D．3

【答案】D 【解析】 【分析】

先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF． 【详解】 解：∵DE//BC， ∴VADE~VABC， ∵2DEBC， ∴点D是AB的中点，

∵AFBC,ADE30，BF33， ∴∠B＝30°，

BF6，

cos30∴DF=3， 故选：D． 【点睛】

∴AB此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．

15．（2016山西省）宽与长的比是51（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴2藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）

A．矩形ABFE 【答案】D 【解析】 【分析】

B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】

解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，DF12225 FG5 CG51 CG51 CD2∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是51的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 2

16．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的两边分别与函数y图象交于B、A两点，则

等于（ ）

12,y的xx

A．

2 2B．

1 2C．

1 4D．

3 3【答案】A 【解析】 【分析】

过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO∽△ODB.根据反比例函11SOBDOB2()＝2＝利用相似三角形面积比等于相似比数比例系数k的几何意义得出

SAOCOA21的平方得出【详解】

OB2 OA2∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠CAO＝90°， ∠CAO＝∠BOD， ∴△ACO∽△BDO， ∴

SOBDOB2() , SAOCOA∵S△AOC＝

111 ×2＝1，S△BOD＝×1＝， 22211OB2∴()＝2＝ ， OA21∴

OB2， OA2故选A．

【点睛】

此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解

17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（ ）

A．①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】

B．①②④ C．②③④ D．①②③④

将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确． 【详解】

解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1， ∴△ABC≌△AB1C1， ∴AC1＝AC，

∴△AC1C为等腰三角形；故①正确； ∴AC1＝AC，

∴∠C1＝∠ACC1＝30°， ∴∠C1AC＝120°， ∴∠B1AB＝120°， ∵AB1＝AB，

∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，

∵∠ADB1＝∠BDC，

∴△AB1D∽△BCD；故②正确； ∵旋转角为α， ∴α＝120°，故③错误； ∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°， ∴∠B1AC＝75°， ∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°， ∴∠AB1C＝75°， ∴∠B1AC＝∠AB1C， ∴CA＝CB1；故④正确． 故选：B． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．

18．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④SFCG＝3，其中正确的有（ ）．

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推

180oFGC180oFGC,从而判断③；过点F作出FCG，由①可得AGB22FM⊥CE，用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得△ECF和△EGC的面积，从而求出△FCG的面积，判断④． 【详解】

解：在正方形ABCD中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90° 又∵AG=AG

∴Rt△ABG≌Rt△AFG，故①正确； 由Rt△ABG≌Rt△AFG

∴设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4 ∴在Rt△EGC中，(6x)4(x2) 解得：x=3 ∴BG＝3，CG=6-3=3 ∴BG＝CG，故②正确； 又BG＝CG，

222180oFGC∴FCG

2又∵Rt△ABG≌Rt△AFG 180oFGC∴AGB

2∴∠FCG=∠AGB

∴AG∥CF，故③正确； 过点F作FM⊥CE，

∴FM∥CG ∴△EFM∽△EGC ∴

FMEFFM2 即GCEG356 5解得FM∴SFCG＝SVECGSVECF正确的共3个 故选：C． 【点睛】

1163443.6，故④错误 225本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．

19．如图，RtABO中，AOB90，AO3BO，点B在反比例函数y上，OA交反比例函数y2

的图象x

kk0的图象于点C，且OC2CA，则k的值为（ ） x

A．2 【答案】D 【解析】 【分析】

B．4 C．6 D．8

过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得

SVBOFOB21()，SVOADOA9SVCOEOC24()，根据反比例函数比例系数的几何意义求得SVBOF21，从而求得SVAODOA92SVCOE4，从而求得k的值．

【详解】

解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵AOB90

∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵AO3BO，OC2CA ∴

OB1OC2 ，

OA3OA3SVBOFOB21SVCOEOC24()() ∴，SVOADOA9SVAODOA9SVCOE4 ∴

SVBOF∵点B在反比例函数y∴SVBOF2的图象上 x21 2∴SVCOE4

∴

k4，解得k=±8 2又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故选：D．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．

20．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 ) A．48 cm 【答案】A 【解析】

试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．

解：两个相似多边形的面积比是9：16， 面积比是周长比的平方，

则大多边形与小多边形的相似比是4：3． 相似多边形周长的比等于相似比， 因而设大多边形的周长为x， 则有

=，

B． cm

C．56 cm

D． cm

解得：x=48．

大多边形的周长为48cm． 故选A．

考点：相似多边形的性质．