一、 选题背景
混沌(chaos) 研究是20 世纪物理学的重大事件。 混沌现象普遍存在于自然界和人类社会中，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统特有的一种运动形式。混沌具有三个特点：随机性；遍历性；规律性。随着高精度电子器件的广泛应用，电路中出现了大量的非线性现象。已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为，又不能指导非线性电路的分析与综合，于是有关非线性电路的理论研究迅速展开，非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起。1984 年，Chua 提出著名的“蔡氏电路”，这个电路为非线性电路中分岔、混沌现象的研究提供了经典的范例。 1、 蔡氏电路模型
蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻。这样可以把电路分为线性和非线性两部分。其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2；非线性部分由分段线性电阻NR来完成。电路原理图如下：
图一 蔡氏电路原理图 图二 分段线性电阻NR的伏安特性曲线 2、 蔡氏电路理论基础
由Kirchhoff结点电流定律（KCL）得到蔡氏电路的动力学状态方程为：
蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采用多种方式实现。一种较简单的实现电路见图三。
图三 用集成运放组成蔡氏二极管电路
二、 电路实现和仿真验证
（1） 用直流扫描分析蔡氏二极管的伏安特性。已知R1=3.3kΩ，R2=22kΩ，R3=22kΩ，
R4=2.2kΩ，R5=220Ω，R6=220Ω。
通过双运算放大器（型号：TL082）和6个电阻来实现非线性电阻。在仿真时，除集成运算放大器外均使用的是虚拟元件。
电路原理图如下：
通过直流扫描（DC Sweep），得到蔡氏二极管的伏安特性曲线如下：
从而得到分段线性电阻NR的伏安特性曲线中U0=0.966V
（2） R=1.6kΩ，L =18mH，C1=10nF，C2=100nF，初值为零，蔡氏二极管按（1）中参数
实现。仿真观察电容电压和电感电流的动态波形，以及此时电容电压uC1和电感电流iL的关系。
电路原理图如下：
在实际仿真时，由于不能直接观测电感电流，因此在电感支路中串联～电压电流转换器，将电流转换为电压（设置比例系数为一，则能直接反映电流值大小），然后再通过示波器观测波形。测量电路电感支路如右图所示。
观测到如下波形：
电感电流波形
电容C1电 压 波 形
电容C2电 压 波 形
电感电流与电容C1电压的关系曲线
（3） 改变电阻R的值分别为1kΩ和2kΩ，其余条件仍按（2），仿真观察电容电压和电感
电流的动态波形，以及此时电容电压uC1和电感电流iL的关系，并说明与（2）中结果的不同之处。
A. 当R=1KΩ时，观测到如下波形：
电感电流波形
电容C1电 压 波 形
电容C2电 压 波 形
电感电流与电容C1电压的关系曲线
与前面参数R的值相比，无论是电感电流还是两电容的电压都经历了明显的起振过程。电路是在某种干扰信号的作用下引发了自激振荡，但由于集成运放最大输出电压的限制，使得电路趋于稳态。通过对比发现，电感电流与电容C1的关系曲线大不相同，此时电路处于欠阻尼振荡态。
B. 当R=2KΩ时，观测到如下波形：
电感电流波形
电容C1电 压 波 形
电容C2电 压 波 形
电感电流与电容C1电压的关系曲线
与前面参数R的值相比，无论是电感电流还是两电容的电压都经历了明显的衰减振荡过程，使电路最终趋于稳态。通过对比发现，电感电流与电容C1的关系曲线大不相同，通过查阅资料，了解到此时电路处于稳定态。
（4） 改变电感电流的初值，或电容电压的初值，再仿真观察电容电压和电感电流的动态
波形，以及此时电容电压uC1和电感电流iL的关系，并说明与（2）中结果的不同之处。 A. 将电感电流的初值设为100mA，观测到如下波形：
电感电流波形
电容C1电 压 波 形
电容C2电 压 波 形
电感电流与电容C1电压的关系曲线
注：为了给电感设置初值我们采用了在实验室实际操作时设置初值的方法，设置电路如下：
B. 将电容C1的初始值设为50V，观测到如下波形：
电感电流波形
电容C1电 压 波 形
电容C2电 压 波 形
电感电流与电容C1电压的关系曲线
注：为了给电容设置初值我们采用了在实验室实际操作时设置初值的方法，设置电路如下：
比较设置初值后的电路输出的波形，发现无论是电感电流还是各个电容电压的波形都与（2）中的情况不同。它们最终趋于稳态，而不会像（2）中电路的波形不稳定。这说明蔡氏电路对储能元件的初值不同会表现出不同的特性，事实上，本人在仿真中即便对储能元件的初值做微小变化，电路的状态都会有很大的不同，说明了蔡氏电路对储能元件的初值是十分敏感的。
三、 仿真结论
本文基于逐段线性电路理论，对蔡氏电路中的混沌现象进行了仿真实验, 仿真软件采用了Multisim 7。经过实际测试，发现蔡氏电路中确实存在混沌现象，而且通过调节R在不同的非线性参数组合条件下，系统将产生各种极其丰富的分岔并进而达到混沌。实验中还发现,混沌对初始条件极端敏感。 两个任意靠近初值出发的轨迹,在一定时间间隔内将会以指数率分离,初始条件稍有差别就会使系统的最终状态出现巨大的差异。采用上述方法，可以较方便地找出混沌与各种电路参数之间关系。
四、 仿真收获
通过这次仿真，本人对蔡氏电路以及电路中的混沌现象有了初步了解。在仿真过程中，应用了电路原理实验中为储能元件设置初值的方法。进一步熟悉了仿真软件的应用，对直流扫描以及瞬态分析功能的使用以及适用范围有了更加深入地认识。
参考文献：
[1] 葛海波,王海潼 著，混沌现象的电路原理和实现，《陕西师范大学学报(自然科学版)》 [2] 林馨蕊，王启志 著，基于蔡氏电路的M A TLA B 仿真，《福建电脑》
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