习题课：电场能的性质
[学习目标] 1.进一步理解电势差、电势、等势面的概念.2.掌握电场力做功与电势差的关系，并会进行有关计算.
一、对电势的理解及电势高低的判断
例1 将一正电荷从无穷远处移入电场中M点，电势能减少了8.0×10J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10J，则下列判断中正确的是( ) A.φM＜φN＜0 C.φN＜φM＜0 答案 C
解析 取无穷远处电势为零，则正电荷在M点的电势能为－8×10 J，负电荷在N点的电势能为9×10 J.由φ＝知，M、N点的电势φM＜0，φN＜0，且|φN|＞|φM|，即φN＜φM＜0，故C正确.
1.电场中某点φ的大小是由电场本身决定的，与在该点是否放入检验电荷、电荷的电性、电荷量均无关. 2.电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低.
(2)电势能判断法：由φ＝知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高.
二、电场线、等势面和运动轨迹的综合
例2 如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )
－9
－9－9
－9
B.φN＞φM＞0 D.φM＞φN＞0
Ep
qEpq
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图1
A.带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小 B.带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大 D.带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小 答案 A
解析 根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右.假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误.
1.速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧. 2.电势能大小的判断方法
(1)电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.
(2)利用公式法：由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大.
针对训练 如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在电场力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处.由此可知( )
图2
A.O为负电荷
B.在整个过程中q的电势能先变小后变大 C.在整个过程中q的速度先变大后变小
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D.在整个过程中，电场力做功为零 答案 D
解析 由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正电荷，A错；从a到
b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，
B、C错；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力不做功，D对. 三、电势、电势能、电场力做功的综合分析
例3 如图3所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为3gh.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差.
图3
1mgh答案 mgh － 22q解析 因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解. 因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：静电力做功W和重力做功mgh，12
由动能定理得：W＋mgh＝mvB
2
11
代入已知条件vB＝3gh得静电力做功W＝m·3gh－mgh＝mgh
221
由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝mgh.
2因为U＝＝Wmghmgh,由于φA＜φC，所以UAC＝－. q2q2q
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
1.利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB. 2.利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场. 3.利用公式WAB＝qUAB求解. 4.利用动能定理求解. 推荐精选K12资料
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例4 为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图4所示.若AB＝0.4m，α＝37°，q＝－3×10C，F＝1.5×10N，A点电势φA＝100V.已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(不计重力)
－7
－4
图4
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值； (2)q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？ 答案 (1)见解析(2)电势能增加4.8×10J
解析 (1)由平衡条件可知静电力方向与F方向相反、大小相等，又知电荷带负电，故电场强度方向与静电力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示.
－5
F1.5×10－42E＝＝－7N/C＝5×10 N/C， |q|3×10
UBA＝φB－φA＝－EABcosα，φB＝φA－EABcosα＝－60V.
(2)负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为 ΔEp＝|qUBA|＝3×10×160J＝4.8×10J.
静电场中常用的五种功能关系
类型 电场力做的功等于电势能的减少量 重力做的功等于重力势能的减少量 弹簧做的功等于弹性势能的减少量 合外力做的功等于物体动能的变化量 除重力和系统内弹力之外的其他力做的总功等于物体表达式 －7
－5
W电＝－ΔEp WG＝－ΔEp W弹＝－ΔEp W合＝ΔEk (动能定理) W其他＝ΔE 推荐精选K12资料
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机械能的变化量
(功能原理)
1.(多选)如图5所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
图5
A.三个等势面中，a的电势最高 B.带电质点通过P点时电势能较大 C.带电质点通过P点时动能较大 D.带电质点通过P点时加速度较大 答案 BD
解析 由轨迹QP可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以判断P点电势高.由Q到P，电场力做负功，电势能增加，故质点在P点电势能较大，由于P处等势面密集，所以带电质点通过P点时加速度较大.
2.(多选)图6中虚线1、2、3、4表示匀强电场的等势面.一带正电的粒子只在电场力的作用下从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示.下列说法中正确的是( )
图6
A.等势面1电势最低
B.粒子从a运动到b，动能减小 C.粒子从a运动到b，电势能减小
D.粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和不变 答案 CD
解析 由图可知电场力的方向，由于粒子带正电，所以电场线方向从左向右，则等势面1的电势最高，故A错误；粒子从a运动到b，电场力做正功，动能增加，电势能减小，故B推荐精选K12资料
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错误，C正确；粒子仅在电场力作用下做功，所以此过程中电势能与动能之和不变，故D正确.
3.如图7所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C点为连线中垂线上距A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度E的大小、电势φ高低的比较，正确的是( )
图7
A.EA＝EC＞EB，φA＝φC＞φB B.EB＞EA＞EC，φA＝φC＞φB
C.EA＜EB，EA＜EC，φA＞φB，φA＞φC D.EA＞EB，EA＞EC，φA＞φB，φA＞φC 答案 B
解析 等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，根据电场线的疏密分布知，A点的电场线比C点密，B点的电场线比A点密，则EB＞EA＞EC；等量异种点电荷的中垂线为等势线，则A点的电势与C点的电势相等，沿着电场线方向电势逐渐降低，则A点的电势大于B点电势.所以φA＝φC＞φB，故B正确，A、C、D错误.
4.如图8所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速3
度大小为g，求：
4
图8
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用Q和h表示). 推荐精选K12资料
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3kQ答案 (1)3g，方向竖直向上 (2)－ h解析 (1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在AQq3Qq点时：mg－k2＝m·g.在B点时：k2－mg＝m·aB，
h4(0.25h)
解得aB＝3g，方向竖直向上.
3kQ(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
h
一、选择题(1～5题为单选题，6～10题为多选题) 1.下面关于电势、电势差和电势能的关系，正确的是( ) A.电荷在某点的电势能越大，该点的电势越高
B.在电场中的两点之间移动电荷，电场力做功越少，这两点的电势差越大 C.由于零电势点的选取是任意的，所以电场中两点间的电势差也是不确定的
D.电场中A点电势比B点高1 V，则将电荷量为10 C的正电荷从A移到B电势能减少10 J 答案 D
解析 根据电势能的公式Ep＝qφ可知：电场中电势越高的地方，正电荷在该点具有的电势能越大，负电荷在该点具有的电势能越小，故A错误；根据公式：UAB＝
－2
－2
WAB，在电场中的两点q之间移动电荷，电场力做功越多，这两点的电势差越大，故B错误；电势差与零电势点的选取无关，零电势点的选取是任意的，但是电场中两点间的电势差是确定的，故C错误；电场中A点电势比B点高1V，则将电荷量为10C的正电荷从A移到B电场力做功10J，电势能减少10J，故D正确.
2.如图1，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等.则( )
－2
－2
－2
图1
A.直线a位于某一等势面内，φM＞φQ B.直线c位于某一等势面内，φM＞φN 推荐精选K12资料
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C.若电子由M点运动到Q点，电场力做正功 D.若电子由P点运动到Q点，电场力做负功 答案 B
解析 电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，WMQ＝q(φM－φQ)＝0，电子由P点到Q点过程中，WPQ＝q(φ－φQ)＞0，故C、D错误.
3.如图2所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20eV，运动到b点的动能为2eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6eV时，它的动能为(不计重力和空气阻力)( )
P
图2
A.16eV C.6eV 答案 B
解析 设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别11根据动能定理得：－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：Ekc＝(Eka＋2Ekb)＝(20＋2×2) eV
33＝8 eV.因为c点电势为零，所以小球在c点时的电势能为零，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8 eV，所以当小球的电势能为－6 eV时，它的动能为14 eV.
4.如图3所示，虚线为某点电荷电场的等势面，现有两个重力可忽略不计的带电粒子，其比荷相同，二者以相同的速率从同一等势面的a点进入电场后沿不同的轨迹1和2运动，图中
B.14eV D.4eV
a、b、c、d、e是粒子轨迹与各等势面的交点，则可以判断( )
图3
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B.经过b、d两点时，两粒子的速率相等 C.经过b、d两点时，两粒子的加速度大小相等 D.经过c、e两点时，两粒子的电势能相等 答案 C
解析 由图可知电荷1受到中心电荷的斥力，而电荷2受到中心电荷的引力，故两粒子的电性一定不同，故A错误.电荷1受到中心电荷的斥力，a到b的过程电场力做负功；而电荷2受到中心电荷的引力，a到d的过程电场力做正功，所以两粒子在b、d两点的速率不相同，故B错误.两粒子经过b、d两点时，受到库仑力作用，由牛顿第二定律可知，两粒子的加速度大小相同，故C正确.两个粒子的初速度仅仅是方向不同，但速率相等，而粒子1从a到
c、粒子2从a到e电场力做功均为零，则经过c、e两点两粒子的速率相等.但电量大小不
一定相等，故两粒子的电势能无法判断，故D错误.
5.一带电粒子沿图4中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )
图4
A.粒子一定带正电 B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大 D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大 答案 B
解析 由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小.
6.如图5所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q为这条轨迹上先后经过的两个点，由此可知( )
图5
A.三个等势面中，a电势最高
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B.质点在Q点时，加速度较大 C.带电质点通过P点时动能较大 D.质点通过Q时电势能较小 答案 BC
解析 根据等势线与电场线的关系，可知电场线必处处与等势线垂直；由带正电质点的轨迹的弯曲方向，可知电场线方向如图所示.
由图可知，电场强度EQ＞EP，电势φc＞φb＞φa，EpQ＞EpP.因此A、D错误，B正确.由能量守恒可知，当质点通过P点时，动能较大，所以C正确.
7.电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10J，在B点的电势能为0.80×10J.已知A、B两点在同一条电场线上，如图6所示，该点电荷的电荷量大小为1.0×10
－9
－9
－8
C，那么( )
图6
A.该电荷为负电荷 B.该电荷为正电荷
C.A、B两点的电势差UAB＝4.0V
D.把该点电荷从A移到B，电场力做功为WAB＝0.40×10J 答案 AD
解析 A点的电势能大于B点的电势能，将该点电荷从A点移到B点电场力做正功，所以该电荷一定为负电荷，且WAB＝EpA－EpB＝1.2×10J－0.80×10J＝0.40×10J，故A、D正
－8
－8
－8
－8
WAB0.40×10－8确，B错误；UAB＝＝V＝－4.0V，故C项错误.
q－1.0×10－98.在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图7所示.若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动.粒子从b点运动到d点的过程中( )
图7
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A.先做匀加速运动，后做匀减速运动 B.先从高电势到低电势，后从低电势到高电势 C.电势能与机械能之和保持不变 D.电势能先减小，后增大 答案 CD
解析 a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量同种点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量同种正点电荷连线中垂线上的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带电粒子从b到d运动过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确.故选C、D.
9.两个不规则的带电导体间的电场线分布如图8所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则( )
图8
A.场强大小关系有Eb＞Ec B.电势大小关系有φb＞φd
C.将一负电荷放在d点时其电势能为负值
D.将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做正功 答案 BD
解析 由电场线的疏密表征电场强度的大小可知，Eb＜Ec，故A项错误；沿着电场线方向电势降低，达到静电平衡状态的导体是等势体，可知φb＞φd，故B正确；由于a点电势高于
d点电势，将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做功W＝q(φa－φd)＞0，为正功，故
D正确；由于无穷远处为零电势点，故d点电势为负，负电荷放在d点时其电势能Epd＝(－
q)×φd＞0，为正值，故C错误.
10.如图9所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是( )
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图9
A.O点电场强度为零 B.D点电场强度为零
C.若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大 D.若将点电荷－q从O移向C，电势能增大 答案 BD
解析 题中A、B两个＋Q在O点的场强矢量和为0，所以O点的场强等于C点在O点产生的场强(不为零)，A选项错误；题中A、B、C三点电荷在D点产生的场强如图所示，
大小相等，设EA＝EB＝EC＝E，EA、EB的矢量和沿x轴正方向，大小也等于E，EC方向沿x轴负方向，故三个场强的矢量和为0，B选项正确；x轴上x＜0的区间，合场强方向沿x轴负方向，所以将正电荷从O移向C，电场力做正功，电势能减小，将负电荷从O移向C，电场力做负功，电势能增大，C选项错误，D选项正确. 二、非选择题
11.把带电荷量2×10C的正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服电场力做功8×10
－8
－6
J，若把该电荷从无限远处移到电场中B点，需克服电场力做功2×10J，取无限远处电
－8
势为零.求： (1)A点的电势； (2)A、B两点的电势差；
(3)若把2×10C的负电荷由A点移到B点电场力做的功. 答案 (1)0.04V (2)0.03V (3)－6×10J
－7
－5
W1－8×10－8解析 (1)无限远处与A点间的电势差U∞A＝＝－6V＝－0.04V，而U∞A＝φ∞－φA，
q2×10
由题可知φ∞＝0，则φA＝0.04V.
W2－2×10－8
(2)无限远处与B点间的电势差U∞B＝＝－6V＝－0.01V，则U∞B＝φ∞－φB，由题可
q2×10
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知φ∞＝0，则φB＝0.01V.
则A、B两点的电势差为：UAB＝φA－φB＝0.04V－0.01V＝0.03V. (3)电场力做的功：W＝q′UAB＝－2×10×0.03J＝－6×10J.
12.如图10，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点.已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力.求A、B两点间的电势差.
－5
－7
图10
2
mv0 答案
q解析 设带电粒子在B点的速度大小为vB.粒子在垂直于电场方向上的速度分量不变，即
vBsin30°＝v0sin60°
由此得vB＝3v0
① ②
122
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有qUAB＝m(v －v ) ③ B0
2
2
mv0
联立②③式得UAB＝.
q13.如图11所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2gR.求：
图11
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势. －mgR答案 (1)7gR (2)
2q解析 (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零. 3R由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
2
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3RmvC mvB
根据动能定理有mg·＝－ 222解得vC＝7gR.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC). －mgR又因为φC＝0，可得φA＝. 2q
2
2
mvC
2
2
，又根
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