颗粒堆积型多孔介质内孔喉模型的研究

华北科技学院,北京东燕郊 101601

摘要:本文用两种方法研究和探讨了毛细管中孔喉对颗粒堆积型多孔介质内流体流动阻力的影响,此模型揭示了流动的内部机理,在低速(或低雷诺数流动时,流动阻力主要是由粘滞能量损失引起的。在高雷诺数时,流体流动变成湍流,流动阻力主要由不规则的孔隙引起的局部能量损失决定。

D的函数。

所得到的模型是孔喉比、孔隙率、颗粒的大小、流体的速度、以及分形维数 f

关键词:多孔介质孔喉模型阻力分形

A pore-throat channel model for porous media with sphericai particles Wu Jinsui Yin Shangxiang

North China Institute of Science and Technology, Beijing, 101601

Abstract: In this paper, two methods of the pore-throat model used to research the resistance for fluid flown porous media with spherical particles. This model reveals the internal mechanism of the flown, that pressure drop is mainly determined by the viscous energy loss in low Reynolds number, at high speed (or at high Reynolds numbers the flow may become turbulent and the irregularity of porous shape has the significant influence on the flow resistance and the kinetic/local energy loss dominates the pressure drop. The proposed model is expressed as a function of the pore-throat ratio, porosity, particle sizes, fluid velocity (or Reynolds number and fractal characters of porous media.

Key words porous media , pore-throat model, resistance, fractal

*E-mail: jinsui_wu@126.com, Supported by National Nature Science Foundation of China (No. 40672156,, The National Basic Research Program (973 program, 2006CB202200,The North China Institute of Science and Technology.

一 引言:

许多年来人们通过简化颗粒堆积型多孔介质内的孔隙结构,建立描述颗粒堆积型多孔介质阻力或渗透率的模型,主要用毛细管模型[1],在毛细管模型中,人们又建立了如图(1所示的四种模型,在图1a中,在颗粒堆积型多孔介质中的孔隙被看作是一束平行放置的直管子,也就是等径的平行的直圆管,这是最简单的和最理想化的模型,根据 Darcy定律和Hagen-Poiseuille 方程得到渗透率的关系式

8 2 R k φ= (1

其中φ是孔隙率 ,是管的个数,S是多孔介质的横截面积。方程(1经常用于粗略的描述有平均孔隙的多孔介质的渗透率。然而,这个模型估算的渗透率很难描述复杂的孔隙结构。

2(/t N R S π=t

N

图 1 不同的毛细管模型,白色的表示毛细管

为了和实际孔隙几何结构相符,下面几种方法用于修正毛细管模型 1 不同直径的平行管

假设多孔介质含有一种直径的圆管,显然与事实不符,当引入N个不同直径的管子(见图1b,结果变为

∑∑∑==== = t t t n i i n i i n i i

R S R R k 1 41 21488 π φ (2 其中41 (i n

i /R S φπ==∑是孔隙率,实验表明的非均匀直径的毛细管模型对大孔隙分布很敏感,过高地估算了渗透率。

2.孔喉模型

为了研究更复杂的颗粒堆积型多孔介质孔隙结构,建立了孔喉模型,在这种模型中,孔喉直径i R 和孔喉长度均变化(见图1c,得到以下渗透率的关系。

i l 2 1 24 1

1 1 (8 8//s

s s s N i i N N N i i i i i i i l L k S 4i R l l R l R φ π ===== = ∑∑∑∑ (3 其中21(/s N

i i i R l SL φπ==∑是孔隙率,因为孔喉模型对小孔隙的分布很敏感,所以过低地估算了渗透率值。

3. 弯曲管子

实际上多孔介质中的毛细管是弯弯曲曲的,长度L t 比直的管道L 长(见图1d,迂曲度等于/t L L τ=,这个参数是考虑三维效应在一维模型中的模型。然而,迂曲度是弯曲毛细管的一个基本性质。但弯曲管的长度很难测量。

人们已经通过实验[2]证实了流体在孔喉中的流动阻力与其在岩心中的渗流阻力在变化趋势上是一致的。因此收缩流道和扩张流道可作为研究流体阻力机理的模型。孔喉模型可以说是最简单的模型。不过以前已有很多科研工作者试图建立孔喉模型[1]来解释颗粒堆积型多孔介质内部流动的机理,但是得到结果并不理想。Wu和Yu [3、4]用两种方法很好的解决了颗粒堆积型多孔介质中模型中存在的问题。这两种方法分别是:一种是将孔喉模型和平均水力半径模型结合在一起,一种是将分形模型和孔喉模型结合在一起。 二 孔喉模型和平均水力半径模型结合

在第一种方法[3]中,将孔喉模型和平均水力半径模型结合在一起见图2,因以前考虑孔喉模型时,将孔隙的形状看作是圆形的,往往忽略了孔隙的形状是不规则的。在此方法中采取孔喉模型时,考虑了孔隙的形状,也就是在孔喉模型中也采用平均水力半径的方法,即把两种模型即孔喉模型和平均水力半径模型结

合起来,可以得到不含任何经验常数的解析式。 图二 孔喉模型

从而建立最简单的颗粒堆积型多孔介质里的流动阻力模型。并且此模型得到的结果和实验数据符合的较好。此模型中将能量损失分为粘滞能量损失和动力学能量损失,在忽略了动力学能量损失时,粘滞能量损失表示为

2123

72(1s p v P L D μτφφ−Δ= (4

μ为流体的粘滞系数, 为压力梯度,其中L 是多孔介质的直线长度,P Δτ是迂曲度 是颗粒的平均直径,从(4式可以看出粘性能量损失的Blake-Kozeny方程p D [5] 类似,

也就是证明了层流时流体流动阻力主要由粘质能量损失引起的,而Blake-Kozeny方程中的C是一个经验常数,不随孔隙率变化。而这里τ有明确的物理意义,并且是孔隙率的函数,从方程(4也可以看出随着迂曲度的增加,压降也增大,和实际情况是一样的。这说明方程(4比Blake-Kozeny方程更有意义。

动力学能量损失表示为 24223 315

3(1(224s p v P L D τφρββ

φ−+−Δ= (5 其中孔喉比β

为 1/(1BF p BF L D L β+= =− (6

其中平均迂曲度为

[10][15] τ= (7

从方程(5可以看出压强的变化随着β的增加而减小, 这和实验结果是相符合的[2]方程(5 表示局部能量损失,可以看出和Burke-Plummer方程[5]很相似,因为Burke-Plummer方程适用于湍流的情况,这说明在速度较大(或高雷诺数时,流体的流动将变为湍流,孔的形状对流动的影响变为主要的,即湍流时局部损失占主要地位,可以忽略沿程损失。但是Burke-Plummer方程中f 是经验常数,没有物理意义,然而(5式中不含任何经验常数,每个参数都有明确的物理意义,和厄根方

程[5]

相比方程(5体现了迂曲度和孔喉比对压降的影响,也就是说方程(5比 Burke-Plummer更合理。

总的压强损失是沿程损失和局部损失之和

122 42223

33153(1(72(1224s s P p P P P L L L

v v D D τφμτφββρφφΔΔΔ=+−+−−=+ (8 总之,通过结合平均水力半径模型和孔喉模型,得到了流体在颗粒堆积型多孔介质中流动阻力的解析解。新的模型是迂曲度、孔隙率、孔喉比等的函数。本模型不含任何经验常数,每个参数都有明确的物理意义,本模型比厄根方程更合理更有意义,此本模

型和实验数据符合得很好，证明了模型是正确的。 三 孔喉模型和分形方法结合 第二种方法是将孔喉模型和分形方法结合在一起[4]，粘滞能量损失 vs Δp1 32 μ 3 + DT − D f 1 − φ = 1− DT * L L 2 − Df φ λmax (1+ DT 其中 Df = 2 − ln φ ln( （9） λmin λmax (10 λ* = max Dp φ 1−φ (11 φs 方程（9）式表示了由粘滞能量损失引起的压降损失， （9）式中不包含任何经验常数， 每项都有明确的物理意义。如果把（9）式与 Blake-Kozeny 方程作比较，不难发现，通 过（9）式，我们把影响粘滞能量损失的机理揭露了出来，这些机理如：流体的黏性、 孔隙大小、毛细管的弯曲度分形维度数、孔隙分形维度数等。方程（9）式还表示，当 孔隙率 φ = 1 时，压力降为零。而当孔隙率趋于零时，压力降趋于无限大。这些与实际情 况相一致的。方程（9）式是严格推导出来的。 动力学能量损失 Δ p2 3 1 5 ρ vs2 1 2 ( 2 DT −2 (2− 2 DT =( + 4 − DT L λ 2 β 2 β 2 2φ 2 l l （12） 方程（12）式表示了由局部损失引起的压强损失，和代表动力学能量损失的 Burke-Plummer 方程类似，但是 Burke-Plummer 方程中的 f 是经验常数，而（12）式中 不包含任何经验常数，每项都有明确的物理意义，并且压降和速度的平方成正比。也就 是说（12）表示的动力学能量损失。 总的压强损失即为单位长度上沿程损失和单位长度上局部损失的和

Δp1 Δp2 + L l 32 μ v 3 + DT − D f 1 − φ 1 = 1− DT s 1+ φ λmaxDT 2 − Df L 3 1 5 ρ v 2 1 2 ( 2 DT −2 (2− 2 DT + ( + 4 − 2 s DT L λ 2 β 2 β 2φ 2 l （13） 一般认为最小的孔隙比最大的孔隙至少小两个数量级，本文假设 λmin / λmax = 10 −2 . DT 可以根据郁伯铭教授的文章[30][31]确定 (14 λ 我们给出了流体在颗粒堆积型多孔介质中流动阻力的解析解。 我们的模型基于毛细 管模型和孔喉模型以及孔隙的分形特征。 (13式是孔喉比、孔隙率、流体性质、孔隙 和粒子的大小、流体的速度、以及分形维数 D f 和迂曲度维数 DT 的函数。没有经验常数， 每个参数都有明确的物理意义。本模型和实验数据符合得很好，从而证明了模型的合理 性。 四 结 论 综合两种方法，可以得到分析颗粒堆积型多孔介质阻力时考虑孔喉的影响是合理 的、也是必要的。分析结果显示：层流时粘滞能量损失占主要地位，局部阻力对压强变 化影响很小，可以忽略，也就是可以不考虑毛细管形状的变化；湍流时局部阻力对压强 的变化影响很大，不能忽略，但是粘滞能量损失可以忽略不计。两种方法证明了孔喉引 起的能量损失（也就是局部能量损失）对颗粒堆积型多孔介质内阻力的影响，两种方法 均证明孔喉模型可以用来描述多孔介质内部结构，建立了简单的多孔介质模型。此模型 中不包含任何经验常数，每项都有明确的物理意义。如果与 Ergun 方程作比较，不难发 现，通过孔喉模型我们把影响粘滞能量损失的机理揭露了出来，这些机理如：流体的黏 性、孔隙大小、孔喉比、毛细管的弯曲度分形维度数、孔隙分形维度数等。我们建立了 最简单可以用来模拟颗粒堆积型多孔介质模型，此模型得到结构和实验数据符合的很 DT = 1 + ln τ

好，证明了此模型的正确性。 参考文献： [1] Proefschrift and Karl Filip Jerome DENYS (Netherlands Karl Denys 2003. [2] 张立娟，岳湘安，聚合物溶液在孔喉模型中的阻力特性，中国科学技术大学学报，2004. Vol. 34， 12-18. [3] Wu J S, Yu B M, Yun M J Transp Porous Med 2008 71 331, [4] Wu J S, Yu B M International Journal of Heat and Mass Transfer 2007 50 3925. [5] Sabrl Ergun，Fluid Flow Through Packed Columns, Chemical Engineering Progress 89-94. 1952. Vol.48 Flow of Polymer Solutions Through Porous Media

颗粒堆积型多孔介质内孔喉模型的研究 作者： 作者单位： 吴金随， 尹尚先 华北科技学院,北京东燕郊 101601 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_7205189.aspx